含字母系數(shù)的一元二次方程常見錯(cuò)解剖析

1、含字母系數(shù)的一元二次方程常見錯(cuò)解剖析河北省灤平縣第二中學(xué)（068250）許志儒一元二次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，然而很多同學(xué)由于受思維定勢(shì)的影響，往往會(huì)忽視含有字母系數(shù)的一元二次方程中的隱含條件，致使解答陷入誤區(qū)。具體表現(xiàn)主要有以下幾方面：一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍擴(kuò)大 例1. 已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)根，求a的取值范圍。錯(cuò)解：因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以0即解得剖析：由一元二次方程的定義知：。而上述解題過程恰恰忽略了這一點(diǎn)，正確解法應(yīng)為： 依題意得： 解得且（注：例1等價(jià)于：已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍）二、忽視0導(dǎo)致錯(cuò)解 例2. 已知：是方程的兩實(shí)根，求的最大值。錯(cuò)

2、解：由根與系數(shù)的關(guān)系得：所以 所以當(dāng)時(shí)，有最大值19。剖析：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，此時(shí)0，方程無實(shí)根！錯(cuò)因是忽略了0這一重要前提，由于方程有兩實(shí)根，故0，即：解得所以當(dāng)時(shí)，有最大值18。三、忽視“方程有實(shí)根”的含義，導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍縮小 例3. 已知關(guān)于x的方程，當(dāng)k為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？錯(cuò)解：因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以0 即解得，又因?yàn)樗郧移饰觯骸胺匠逃袑?shí)根”在此題中應(yīng)理解為：方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根或有二個(gè)實(shí)數(shù)根，故此題應(yīng)分一元一次方程與一元二次方程兩種情況討論。（1）當(dāng)k0時(shí)，原方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋鋵?shí)根為，故k可取0。（2）當(dāng)時(shí)，原方程為一元二次方程，須滿足0，即且，綜合（1）、（2）知：。

3、四、忽視對(duì)一元二次方程兩根的具體分析導(dǎo)致字母系數(shù)取值范圍擴(kuò)大 例4. 若二次方程的兩實(shí)根都大于2，則m的取值范圍為_。錯(cuò)解：設(shè)方程兩實(shí)根為，則所以依題意得解得剖析：當(dāng)m0時(shí)，原方程為，其根為，顯然不合題意，錯(cuò)因在于：由，且得成立；反之，由則不一定有且成立。正解：設(shè)方程的兩實(shí)根為，則依題意得解得 例5. 已知方程的兩實(shí)根中僅有一根為負(fù)數(shù)，求a的取值范圍。錯(cuò)解：設(shè)方程兩實(shí)根為，因兩根中僅有一根為負(fù)數(shù)，故另一根為0或正數(shù)，故有：解得或剖析：當(dāng)且時(shí)有成立；反之當(dāng)時(shí)則不能保證兩根中必有一個(gè)為負(fù)數(shù)！正確解法應(yīng)分兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，有即（2）當(dāng)時(shí)，有解得或，綜合（1）、（2）知：或五、忽視題目中的隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)解 例6. 已知a、b是方程的兩個(gè)根且a、b是某直角三角形的兩條直角邊，其斜邊長(zhǎng)等于1，求k的值。錯(cuò)解：因?yàn)閍、b是方程的兩個(gè)根所以又由已知得：所以即解得剖析：由于a，b既是方程的兩根，又是直角三角形的兩直角邊，所以，從而，當(dāng)時(shí) ，故 不合題意，舍去。當(dāng) 時(shí)，故k的值為。注：通過以上幾例錯(cuò)解剖析，提醒同學(xué)們?cè)谡莆找辉畏匠逃嘘P(guān)基本知識(shí)、基本技能和基本解題思路的同時(shí)，要注意挖掘題目中的隱含條件，并對(duì)所解答案進(jìn)行分析，并判斷其合理性，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)反思，同時(shí)要注重分類討論思想在解題中的合理運(yùn)用。（初三）年級(jí)初中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題含字母系數(shù)的一元二次方程常見錯(cuò)解剖析分類索引號(hào)g.622.4