數(shù)學(xué)物理方法1經(jīng)典實(shí)用

1、數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法1 復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論 微分微分 積分積分 柯西積分定理柯西積分定理 柯西積分公式柯西積分公式 解析函數(shù)的無限次可微性 柯 西不 等式 圓域內(nèi)圓域內(nèi)泰勒泰勒級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 環(huán)域內(nèi)的環(huán)域內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù) 留數(shù)定理留數(shù)定理 留數(shù)和定理留數(shù)和定理 輻角原理 莫勒納定理 劉維爾定理 最大模原理 平 均值 公式 三 類典 型實(shí) 積分 的計(jì)算 傅里葉積分傅里葉積分變換變換 拉拉普拉斯普拉斯積分積分變換變換 數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法1 數(shù)學(xué)物理方法是理工科類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)物理方法是理工科類專業(yè)的一門重要

2、基礎(chǔ)課，既是數(shù)學(xué)課程，又是物理課程，其教學(xué)目的課，既是數(shù)學(xué)課程，又是物理課程，其教學(xué)目的是進(jìn)一步系統(tǒng)的提高和培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)理模型，是進(jìn)一步系統(tǒng)的提高和培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)理模型，解決物理問題的能力。是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問解決物理問題的能力。是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的方法，首先先從數(shù)學(xué)知識(shí)開始講起題的方法，首先先從數(shù)學(xué)知識(shí)開始講起。引言引言數(shù)學(xué)物理方法1數(shù)學(xué)物理方法11-1 復(fù)數(shù)基本運(yùn)算復(fù)數(shù)基本運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的表示法一、復(fù)數(shù)的表示法注意：復(fù)數(shù)的虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)注意：復(fù)數(shù)的虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)一個(gè)復(fù)數(shù)的共扼一個(gè)復(fù)數(shù)的共扼通常記做通常記做*zz或（物理學(xué)中常用中常用z z* *表示）表示）數(shù)學(xué)物理方法121322(

3、 , )here, 1 1, cre( )im( )|arg 2arg (cos szxiyx yiiiiizxzyzrxyzzzkzzri : ， 顯然 可表示表示二維平面上的一個(gè)點(diǎn)，該平面被稱為復(fù)平面，一般用 表示 ： 實(shí)部和虛部分別相等： | 模 輻角： 輻角的主值：復(fù)數(shù)其它表示 ：復(fù)數(shù)相等實(shí)部虛部定義in )ire2.復(fù)數(shù)的幾何表示復(fù)數(shù)的幾何表示 實(shí)數(shù)組實(shí)數(shù)組(x,y)(x,y)與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn) 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng). .因此因此, ,復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z z也與也與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng), ,這樣的平面叫做復(fù)平面。兩個(gè)坐標(biāo)這樣的平面叫做

4、復(fù)平面。兩個(gè)坐標(biāo)軸分別叫做實(shí)軸和虛軸。軸分別叫做實(shí)軸和虛軸。 （具體圖示參看課本具體圖示參看課本）數(shù)學(xué)物理方法1主值主值argz的范圍的范圍(z=x+iy)：argz=arctg,0,00,arctg0arctgarctg0,0(yyyxxyyyxx當(dāng)x（z在第一象限）;y 或者2 ，當(dāng)xz在第四象限）,0,02y 當(dāng)x（在坐標(biāo)軸上）arctg,0,00,0yyxy當(dāng)x（z在第二象限） 當(dāng)x（z在第三象限）,0,0y當(dāng)x其中arg22ytgx補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容幅角幅角應(yīng)注應(yīng)注意的意的問題問題數(shù)學(xué)物理方法13.復(fù)數(shù)的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)表示復(fù)數(shù)的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)表示cossinieisin2iie

5、eicossinieicos2iiee數(shù)學(xué)物理方法1二、復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則二、復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則1. 復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算如果復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部都等于零, 則復(fù)數(shù)等于零，記作 z=0。圖示具體見教案圖示具體見教案數(shù)學(xué)物理方法12. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則數(shù)學(xué)物理方法11212()()111 21 2221 2121 21212121212,.,arg()argarg/,arg(/)argargiizrzz zrr ezezrz zzzz zzzzzzzzzzz共扼復(fù)數(shù)的性質(zhì)：111212121222,.,zzzzzzz zz zzz222.re( )im( )z zzzz2re( ),2 im( )zzz

6、 zziz復(fù)數(shù)的乘法與除法的代數(shù)形式與指數(shù)形式的計(jì)算總結(jié)復(fù)數(shù)的乘法與除法的代數(shù)形式與指數(shù)形式的計(jì)算總結(jié)*112112212122112*22222222222()()()()()zz zxiyxiyx xy yi x yx yzzz zxiyxiyxy12112212121221()()()zz zxiyxiyx xy yi x yx y可見復(fù)數(shù)的乘除法用指數(shù)形式方便數(shù)學(xué)物理方法13.復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根(重點(diǎn)重點(diǎn))具體見下頁用指數(shù)形式求解用指數(shù)形式求解數(shù)學(xué)物理方法111(cossin ),(cossin )(cossin)(cossin )2,coscos ,0, 1, 2,01

7、2nnnnnzriuiuzuzninrikrnrkn 設(shè)即即不難驗(yàn)證，當(dāng)k ， ， ， n-1時(shí)，存在n個(gè)幅角不同的方根，當(dāng)k取其它值時(shí)，所得方根是這n個(gè)不同方根中的一個(gè)。 如果在復(fù)平面上畫出這n個(gè)不同方根,它們就是以原點(diǎn)為中心,以r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn) .1121(2)22(cossin)kiiknnnnnkkzrer erinnk=0,1,2.n-1數(shù)學(xué)物理方法1for example!38求的根解：1、先把代數(shù)式化為指數(shù)式因?yàn)?1的輻角為，而模為8。2、根據(jù)公式可得123331388228 (cossin),(0,1,2)33kiekkik 381302sin)2()

8、13221,2sin)2553,2sin)2sin)132()1322iiikikiiii 123因此的三個(gè)根為k ，z（cos33z （cosz（cos（cos3333333811求， ，的三個(gè)根數(shù)學(xué)物理方法14、方根的圖示、方根的圖示ie5圖示為z =數(shù)學(xué)物理方法1三、例題三、例題1、2、3、4見課本見課本38i求的根數(shù)學(xué)物理方法1在實(shí)變函數(shù)微積分學(xué)中的在實(shí)變函數(shù)微積分學(xué)中的只是一個(gè)符號(hào)而已只是一個(gè)符號(hào)而已。而復(fù)球面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)球面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 卻是一個(gè)完全確定的點(diǎn)，卻是一個(gè)完全確定的點(diǎn)，并且只有一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)并且只有一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。補(bǔ)充一些內(nèi)容補(bǔ)充一些內(nèi)容具體見課本具體見課本數(shù)學(xué)物理方法1

9、數(shù)學(xué)物理方法1復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)數(shù)的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方法1本節(jié)總結(jié)與注意1、掌握書上的例題，并且會(huì)舉一反三。例題1要根據(jù)復(fù)數(shù)的模的基本性質(zhì)證明。例題2要記住結(jié)論。例題3此類題目用z=x+iy代入方程化簡即可。22zz與 的區(qū)別222.zzzz zz是復(fù)數(shù)z的模r的平方是復(fù)數(shù) 的自乘，即3、2、復(fù)數(shù)的冪和根式的求法（見例題4） 重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容 首先要求把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為極坐標(biāo)形式，找出模與幅角的主值。數(shù)學(xué)物理方法1一、復(fù)變函數(shù)的定義一、復(fù)變函數(shù)的定義畫圖說明數(shù)學(xué)物理方法1 以某點(diǎn)z0為圓心,以任意小的正實(shí)數(shù)為半徑的圓的內(nèi)部，稱為z0 的鄰域。鄰域。 二、復(fù)平面上的區(qū)域二、復(fù)平面上的區(qū)域 點(diǎn)z的

10、集合不包含點(diǎn)z0,叫做點(diǎn)z0的去心鄰域去心鄰域. 具體見課本與教案要畫圖說明數(shù)學(xué)物理方法1三、單與復(fù)連通區(qū)域三、單與復(fù)連通區(qū)域“有洞”“無洞”畫圖說明畫圖說明單連通區(qū)域可以經(jīng)過變形而縮成一點(diǎn)，而多連通區(qū)域就不具有這個(gè)特征。數(shù)學(xué)物理方法1abc復(fù)連通區(qū)域單連通化（補(bǔ)充）數(shù)學(xué)物理方法1區(qū)域的判斷方法及實(shí)例分析區(qū)域的判斷方法及實(shí)例分析(補(bǔ)充補(bǔ)充)數(shù)學(xué)物理方法10lim( )zzf za(1)、定義：去心鄰域去心鄰域四、復(fù)變函數(shù)的極限四、復(fù)變函數(shù)的極限f(z)數(shù)學(xué)物理方法1 解釋一下作業(yè)題數(shù)學(xué)物理方法100000000000000lim ( , )re1) lim( )lim ( , )imlim (

11、 )( )lim( )2) lim( ) ( )lim( )( )lim, 0( )xxxyzzxxxyzzzzzzzzzzu x yauf zauivv x yavf zg zabf zaf z g zabg zbf zabg zb(2)、復(fù)變函數(shù)極限的基本定理、復(fù)變函數(shù)極限的基本定理復(fù)變函數(shù)與二元實(shí)變函數(shù)極限的區(qū)別在于復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)與二元實(shí)變函數(shù)極限的區(qū)別在于復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中包含兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)中包含兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u(x,y)和和v(x.y).因此有下面的定理因此有下面的定理:求復(fù)變函數(shù)的極限就是求兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限求復(fù)變函數(shù)的極限就是求兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限,因此具有相同的因此具有相同的幾何意義幾何意義. 因此可以證明因此可以證明,在存在極限在存在極限limz-z0f(z)=a, limz-z0g(z)=b的的條件下條件下, 下列極限運(yùn)算法則對(duì)復(fù)變函數(shù)的極限運(yùn)算也成立下列極限運(yùn)算法則對(duì)復(fù)變函數(shù)的極限運(yùn)算也成立:具體證明見課本數(shù)學(xué)物理方法1五、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)五、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)數(shù)學(xué)物理方法10000000000lim