積分例題精選干貨

1、積分例題2020-12-242例例5 計算下列積分計算下列積分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxc(3). deexxxc11111( ) d( )( )122ln 2 2ln2xxxxcc (2)2020-12-243例1. 設(shè)曲線通過點(1,2), 且其上任一點處的切線且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的兩倍斜率等于該點橫坐標的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2cx 2所求曲線過點所求曲線過點 ( 1 , 2 ) , 故有故有c2121 c因此所求曲線為因此所求曲線為12 xyyxo)2, 1 (積

2、分常數(shù)的確定2020-12-244例例2 2 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 2020-12-245例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-246例例3 3 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xf

3、y 根據(jù)題意知根據(jù)題意知, x2y ,cxxdx2y2 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy2020-12-247基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;c|x|lnxdx)3( 3.基本積分公式基本積分公式 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx 2020-12-248由不定積分的定義，可知有如下由不定積分的定義，可知有如下性質(zhì)性質(zhì)14.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dx)x(g)x( f )1(;)()( dxxgdxxf dx)x( fadx)x(a

4、f0a )2(例例 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 2020-12-249一、一、 填空題：填空題：1 1、 一個已知的函數(shù)，有一個已知的函數(shù)，有_個原函數(shù)，其中任意個原函數(shù)，其中任意兩個的差是一個兩個的差是一個_；2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分；3 3、 把把)(xf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù))(xf的圖形叫做函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是

5、，它的方程是 cxfy )(；4 4、 由由)()(xfxf 可 知 ， 在 積 分 曲 線 族可 知 ， 在 積 分 曲 線 族cxfy )( )(是是任任意意常常數(shù)數(shù)c上橫坐標相同的點上橫坐標相同的點處作切線，這些切線彼此是處作切線，這些切線彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_，則在該區(qū)間上，則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在；練習題練習題2020-12-24106 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .2020-12-24

6、11一、一、1 1、無窮多、無窮多, ,常數(shù)；常數(shù)； 2 2、全體原函數(shù)；、全體原函數(shù)； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連續(xù)；、連續(xù)； 6 6、cx 2552； 7 7、 cx 2332； 8 8、cxxx 223323； 9 9、cxxxx 2325332523、 1010、cxxx 252352342. .練習題答案練習題答案2020-12-2412 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2020-12-2413例例1

7、 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-2414例例3 設(shè)曲線通過點設(shè)曲線通過點(1,2), 且其上任一點處的且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍切線斜率等于這點橫坐標的兩倍, 求此曲線求此曲線方程方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy ,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1 1，2 2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy)(xfx2即即是是的一個原函數(shù)的一個原函數(shù). .20

8、20-12-2415 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx 2020-12-24161. (3cos )xex dx 2. 2xxe dx (2 )xe dx (2 )ln(2 )xece(2 )ln21xec 3 cosxe dxxdxsinxexc 2020-12-2417例例5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarcta

9、n3 xarcsin2 c 2020-12-2418例例6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxc 提示：提示：(3)ln;dxxcx 2020-12-2419說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx(3)ln;dxxcx 2020-12-2420例例7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2020-12-2421 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .答案：答案：2020-12-2422例例 求積分求積分(1+x3)2dx。解解dxxxdxx)21 ()1 (63