積分例題精選干貨

1、積分例題2020-12-242例例5 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxc(3). deexxxc11111( ) d( )( )122ln 2 2ln2xxxxcc (2)2020-12-243例1. 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2), 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2cx 2所求曲線過(guò)點(diǎn)所求曲線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 故有故有c2121 c因此所求曲線為因此所求曲線為12 xyyxo)2, 1 (積

2、分常數(shù)的確定2020-12-244例例2 2 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 2020-12-245例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-246例例3 3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xf

3、y 根據(jù)題意知根據(jù)題意知, x2y ,cxxdx2y2 由曲線通過(guò)點(diǎn)（由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy2020-12-247基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;c|x|lnxdx)3( 3.基本積分公式基本積分公式 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx 2020-12-248由不定積分的定義，可知有如下由不定積分的定義，可知有如下性質(zhì)性質(zhì)14.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dx)x(g)x( f )1(;)()( dxxgdxxf dx)x( fadx)x(a

4、f0a )2(例例 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 2020-12-249一、一、 填空題：填空題：1 1、 一個(gè)已知的函數(shù)，有一個(gè)已知的函數(shù)，有_個(gè)原函數(shù)，其中任意個(gè)原函數(shù)，其中任意兩個(gè)的差是一個(gè)兩個(gè)的差是一個(gè)_；2 2、 )(xf的的_稱為稱為)(xf的不定積分；的不定積分；3 3、 把把)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù))(xf的圖形叫做函數(shù)的圖形叫做函數(shù))(xf的的_，它的方程是，它的方程是)(xfy ，這樣不定積，這樣不定積 dxxf)(在幾何上就表示在幾何上就表示_，它的方程是

5、，它的方程是 cxfy )(；4 4、 由由)()(xfxf 可 知 ， 在 積 分 曲 線 族可 知 ， 在 積 分 曲 線 族cxfy )( )(是是任任意意常常數(shù)數(shù)c上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，這些切線彼此是處作切線，這些切線彼此是_的；的；5 5、 若若)(xf在某區(qū)間上在某區(qū)間上_，則在該區(qū)間上，則在該區(qū)間上)(xf的的 原函數(shù)一定存在；原函數(shù)一定存在；練習(xí)題練習(xí)題2020-12-24106 6、 dxxx_ _；7 7、 xxdx2_；8 8、 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .2020-12-24

6、11一、一、1 1、無(wú)窮多、無(wú)窮多, ,常數(shù)；常數(shù)； 2 2、全體原函數(shù)；、全體原函數(shù)； 3 3、積分曲線、積分曲線, ,積分曲線族；積分曲線族； 4 4、平行；、平行； 5 5、連續(xù)；、連續(xù)； 6 6、cx 2552； 7 7、 cx 2332； 8 8、cxxx 223323； 9 9、cxxxx 2325332523、 1010、cxxx 252352342. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案2020-12-2412 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2020-12-2413例例1

7、 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx2020-12-2414例例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2), 且其上任一點(diǎn)處的且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線求此曲線方程方程.解解設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy ,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過(guò)點(diǎn)（由曲線通過(guò)點(diǎn)（1 1，2 2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy)(xfx2即即是是的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù). .20

8、20-12-2415 dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx 2020-12-24161. (3cos )xex dx 2. 2xxe dx (2 )xe dx (2 )ln(2 )xece(2 )ln21xec 3 cosxe dxxdxsinxexc 2020-12-2417例例5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarcta

9、n3 xarcsin2 c 2020-12-2418例例6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln.xxc 提示：提示：(3)ln;dxxcx 2020-12-2419說(shuō)明：說(shuō)明： , 0 x,ln cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx(3)ln;dxxcx 2020-12-2420例例7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 2020-12-2421 dxxx)23(2_；9 9、 dxxx)1)(1(3_；1010、 dxxx2)1(=_=_ ._ .答案：答案：2020-12-2422例例 求積分求積分(1+x3)2dx。解解dxxxdxx)21 ()1 (63