正余弦定理三角形形狀判斷

1、如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!正余弦定理與三角形形狀的判斷一、掌握基本原理 常用的定理或公式主要有以下幾個： （1）在abc中，a + b + c = ， ， sin（a+b/2）=cos（c/2）， （2）正余弦定理及其變式： 如a = 2r sina ，b2 + c2a2 =2b c cosa ，這里， r為三角形外接圓的半徑 （限于篇幅，定理原文及其它相關(guān)變式請讀者自己回憶并寫出） （3）射影定理：a = b cosc + c cosb（用余弦定理很容易證得，請讀者作為練習(xí)自行證之） 二、弄清題目類型 1.目標(biāo)明確型例1 在abc中，a2+b2=c2+ab，且sinasinb

2、=，求證：abc為等邊三角形. 分析：由a2+b2=c2+ab，知，用余弦定理可求出c角，證明：由余弦定理，得c2=a2+b22abcosc.a2+b2=c2+ab，ab2abcosc=0.cosc=，c=60°sinasinb=，cos（a+b）=cos（180°c）=cos120°=，cos（a+b）=cosacosbsinasinb，cosacosb=.cos（ab）=cosacosb+sinasinb=1.ab，ab=0.a=b=60°abc是等邊三角形.評注：這類題目往往由于目標(biāo)明確，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步結(jié)論之后能夠很快確定后續(xù)

3、思路尤其本題中首先得出了一個特殊角，加之sinasinb=，則更容易聯(lián)想到三角形內(nèi)角和定理了1 / 5如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載! 2.模糊探索型例2 判定滿足下列條件的abc的形狀：解： (1)由已知及正弦定理得 因此abc是以c為頂角的等腰三角形或以c為直角的直角三角形因此abc為正三角形評注：這類題目，只要求判斷三角形形狀，并沒有清晰的線索，往往需要我們根據(jù)已知條件去分析和探索，但一般說來，主要應(yīng)用本文開頭提到的相關(guān)知識就能夠解決值得一提的是，本題就解題思想而言與例1頗有異曲同工之處2 / 5如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載! 三、搞清一般規(guī)律例3 在abc中，若，

4、試判斷abc的形狀解法一：由正弦定理，得 即2a = 2b 或 2a = 180° - 2b 即 a= b 或 a + b = 90°abc為等腰或直角三角形解法二：由題設(shè)，有 化簡：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 abc為等腰或直角三角形評注：與三角形形狀相關(guān)的綜合題往往所給條件中富含三角形的邊角關(guān)系，本題的兩種解法，實(shí)際上提供了兩種技巧：解法一是把“邊角關(guān)系”轉(zhuǎn)化成了三角形三內(nèi)角之間的關(guān)系，解法二則是把“邊角關(guān)系”轉(zhuǎn)化成了三角形三邊之間的關(guān)系，

5、充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想， 四、莫忘相關(guān)技巧 例4 在abc中，若有，試判斷abc的形狀？3 / 5如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!解：設(shè)a=k×sina,b=ksinb,c=ksinc而，從而，abc是正三角形 評注：見比設(shè)k，是常用技巧其實(shí)，正弦定理中的2r非常類似于這里的k 例5 在abc中，已知sinb·sinccos2，試判斷此三角形的類型 解： sinb·sinccos2, sinb·sinc 2sinb·sinc1cos180°（bc）將cos（bc）cosbcoscsinbsinc代入上式得cosbcoscsinbsinc1, cos（bc）1又0b，c，bc bc0 bc故此三角形是等腰三角形 評注：學(xué)習(xí)正、余弦定理，不要忘記前面學(xué)過的相關(guān)知識，如本題中，利用“降冪擴(kuò)角公式”把半角化成“單角”的過程起到了關(guān)鍵作用 五、不要輕易下結(jié)論例6 在 中，已知 試判斷abc的形狀證明： ，即 直角三角形且4 / 5如果您需要使用本文檔，請點(diǎn)擊下載按鈕下載!又綜上，abc為等腰直角三角形評注：許多結(jié)論中有時不見得只有一層答案，所以在得出初步結(jié)論來之后，一定要進(jìn)一步思考一番，看已知條件是否全部用到了，看結(jié)論是否想全了如本題中常常有許多同學(xué)在得