正余弦定理三角形形狀判斷

1、如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!正余弦定理與三角形形狀的判斷一、掌握基本原理 常用的定理或公式主要有以下幾個： （1）在abc中，a + b + c = ， ， sin（a+b/2）=cos（c/2）， （2）正余弦定理及其變式： 如a = 2r sina ，b2 + c2a2 =2b c cosa ，這里， r為三角形外接圓的半徑 （限于篇幅，定理原文及其它相關變式請讀者自己回憶并寫出） （3）射影定理：a = b cosc + c cosb（用余弦定理很容易證得，請讀者作為練習自行證之） 二、弄清題目類型 1.目標明確型例1 在abc中，a2+b2=c2+ab，且sinasinb

2、=，求證：abc為等邊三角形. 分析：由a2+b2=c2+ab，知，用余弦定理可求出c角，證明：由余弦定理，得c2=a2+b22abcosc.a2+b2=c2+ab，ab2abcosc=0.cosc=，c=60°sinasinb=，cos（a+b）=cos（180°c）=cos120°=，cos（a+b）=cosacosbsinasinb，cosacosb=.cos（ab）=cosacosb+sinasinb=1.ab，ab=0.a=b=60°abc是等邊三角形.評注：這類題目往往由于目標明確，在利用正弦定理或余弦定理得出一些初步結論之后能夠很快確定后續(xù)

3、思路尤其本題中首先得出了一個特殊角，加之sinasinb=，則更容易聯(lián)想到三角形內角和定理了1 / 5如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載! 2.模糊探索型例2 判定滿足下列條件的abc的形狀：解： (1)由已知及正弦定理得 因此abc是以c為頂角的等腰三角形或以c為直角的直角三角形因此abc為正三角形評注：這類題目，只要求判斷三角形形狀，并沒有清晰的線索，往往需要我們根據已知條件去分析和探索，但一般說來，主要應用本文開頭提到的相關知識就能夠解決值得一提的是，本題就解題思想而言與例1頗有異曲同工之處2 / 5如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載! 三、搞清一般規(guī)律例3 在abc中，若，

4、試判斷abc的形狀解法一：由正弦定理，得 即2a = 2b 或 2a = 180° - 2b 即 a= b 或 a + b = 90°abc為等腰或直角三角形解法二：由題設，有 化簡：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 + b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 abc為等腰或直角三角形評注：與三角形形狀相關的綜合題往往所給條件中富含三角形的邊角關系，本題的兩種解法，實際上提供了兩種技巧：解法一是把“邊角關系”轉化成了三角形三內角之間的關系，解法二則是把“邊角關系”轉化成了三角形三邊之間的關系，

5、充分體現了轉化思想， 四、莫忘相關技巧 例4 在abc中，若有，試判斷abc的形狀？3 / 5如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!解：設a=k×sina,b=ksinb,c=ksinc而，從而，abc是正三角形 評注：見比設k，是常用技巧其實，正弦定理中的2r非常類似于這里的k 例5 在abc中，已知sinb·sinccos2，試判斷此三角形的類型 解： sinb·sinccos2, sinb·sinc 2sinb·sinc1cos180°（bc）將cos（bc）cosbcoscsinbsinc代入上式得cosbcoscsinbsinc1, cos（bc）1又0b，c，bc bc0 bc故此三角形是等腰三角形 評注：學習正、余弦定理，不要忘記前面學過的相關知識，如本題中，利用“降冪擴角公式”把半角化成“單角”的過程起到了關鍵作用 五、不要輕易下結論例6 在 中，已知 試判斷abc的形狀證明： ，即 直角三角形且4 / 5如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!又綜上，abc為等腰直角三角形評注：許多結論中有時不見得只有一層答案，所以在得出初步結論來之后，一定要進一步思考一番，看已知條件是否全部用到了，看結論是否想全了如本題中常常有許多同學在得