45平均值不等式(選學(xué))學(xué)案

1、精品資源歡迎下載課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一，利用平均值不等式求最值1 .【例1】xC R，求f(x)=x+2的取小值.x1 .33 1x2 一 3 4.1xx1-xx解：f(x尸x+F = + + r m3一， x222x2、22則當(dāng)且僅當(dāng)x= 3/2時(shí)，最小值為33 -1.,4溫馨提示利用平均值不等式要注意基本形式和適用的條件 二，利用平均值不等式證明不等式【例2】已知。乂極.醬1.求證：(1-xn)2 2xn(1-x2)(1-xn 1)2x2(1-x1)2 +221(1 - x1 )222222、近日日盾才箋葉市*x1(1-xn)x2 (1-xn)上工 (1 - x0 )證明： 原不等式變?yōu)?K+

2、L+ H丁 <1。(1-x12)2(1-x2)2(1-xn )2x2 (1 - x2)(1-xn1)2<1.設(shè)ak=xk(1 -xk)271 k 1 2(1 -xk )(1宗由),kak=xk.(1xkx2 x：)2k.1 + xk+xk2+xkk>(k+1) *1Mxk 乂Xxk =(k+1)x、,- ak<12(k 1)1111111. a1 + a2+ + an< -7 + -7 +r <+-+=1-<1.22 32(n 1)2 1 2 2 3 n(n 1) n 1因此，原不等式成立.溫馨提示利用平均值不等式應(yīng)注意及時(shí)轉(zhuǎn)換，變形.三，平均值不等式

3、的綜合應(yīng)用【例3】a,b,cC R+且互不相等，求證:a4+b4+c4主2b2+b2c2+c2a24, 4 口 2, 2、a + b 2a b口口 I 44，C|224,4,4 4 4 4c 2, 2,22-224 , 4 4 2, 2 ,2 2 2 2證明： b + c 2 b c a +b +b +c +a +c >2a b +2b c +2a c = a+b+c>ab+bc+ca.44 5 2 2a + c 2a c溫馨提示證明對(duì)稱不等式(如例3),通常都是通過(guò)幾個(gè)平均值不等式相加(或減)得出目標(biāo)不等式.各個(gè)擊破類題演練1已知xC R,求f(x)=x+工的范圍.x解:|f(x

4、)|=|x+ 1 |=|x|+| 1 | >2,x x則 f(x)>誠(chéng) f(x) V2.因此,f(x)的范圍為12,+ 2 U ( -00-2.變式提升1x>l時(shí),不等式x+工制恒成立，求a的范圍.2x解:f(x)= x+> 2一，取等號(hào)時(shí) x,2x2=1,x=、2.2x 22x2類題演練2ai,a2,an是1,2,n的一個(gè)排列證明一+ +2 3n -1a1a2an.<+ + -4 n1.na2a3an證明: (a1+1)(a2+1) (an-1+1) 口(1+1)(2+1) n-1+1)= a1a2an,則曳+也+ a2a3an 41+ - +an 1a1+a2

5、+_an，+ 1,1+a2a3anaan1a2=一 +a1(a11).(an4 1)前n a1 a2 .由 nW+ 2 +2 3n 1)+(1 +n1 .+21-),naian i 1 n -1+ - >_ + -+a2an 2 n變式提升2設(shè) a,b,cC R+,求證:a5+b5+c5*3bc+b3ac+c3ab.證明：a5+a5+a5+b5+c5>a3bc,b5+ b5+ b5+ a5+ c5 > b3 ac, c5+c5+c5+a5+b5 > 5c3ab, a5+b5+c5 才bc+ b3ac+c3ab.類題演練3a,b,c R+且 a+b+c=1,求證：1 + 1 +a b1>9. c1 11 a b c a b c a b ca + b+ c- a + b + c=3+ +a+c+a+c + bR 3+2+2+2=9.a b a c b c變式提升 311已知函數(shù)f(x)=x +bx+c(b,c R,且為常數(shù))和g(x)=2x+2的te義域均為,2.如果函數(shù)f(x) x2與g(x)取得相等的最小值時(shí)的x值相同，那么函數(shù)f(x)在1,2上的最大值是()2A. 5B.13C.4D.84411解析:g(x)=2x+ =x+x+ > 3,x x1等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=',3x即 x=1.f(x)=x+bx+c當(dāng)x