大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)-8

1、幻燈片1第八章 橢球面元素歸算到高斯平面 高斯投影控制測(cè)量學(xué)§8-1 高斯投影概述 1、投影與變形 地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)?？捎孟旅鎯蓚€(gè)方程式（坐標(biāo)投影公式）表示： 式中L、B是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而x、y是該點(diǎn)投影后的平面直角坐標(biāo)。 幻燈片2 投影變形：橢球面是一個(gè)凸起的、不可展平的曲面。將這個(gè)曲面上的元素（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱為投影變形。 投影變形的形式：角度變形、長(zhǎng)度變形和面積變形。 地圖投影的方式： （1）等角投影投影前

2、后的角度相等，但長(zhǎng)度和面積有變形； （2）等距投影投影前后的長(zhǎng)度相等，但角度和面積有變形； （3）等積投影投影前后的面積相等，但角度和長(zhǎng)度有變形?？刂茰y(cè)量學(xué)幻燈片3 2、控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求 （1）應(yīng)當(dāng)采用等角投影（又稱為正形投影）采用正形投影時(shí)，在三角測(cè)量中大量的角度觀測(cè)元素在投影前后保持不變；在測(cè)制的地圖時(shí)，采用等角投影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。 （2）在采用的正形投影中，要求長(zhǎng)度和面積變形不大，并能夠應(yīng)用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由于這些變形而帶來(lái)的改正數(shù)。 （3）能按分帶投影 3、高斯投影的基本概念 （1）基本概念：控制測(cè)量學(xué)幻燈片4 如圖1所示，假想有一個(gè)橢圓柱

3、面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開(kāi)即成為投影面，如圖2所示，此投影稱為高斯投影。高斯投影是正形投影的一種?？刂茰y(cè)量學(xué)圖1圖2幻燈片5（2）分帶投影 高斯投影6º帶：自0º子午線起每隔經(jīng)差6º自西向東分帶，依次編號(hào)1,2,3,。我國(guó)6º帶中央子午線的經(jīng)度，由75º起每隔6º而至135º，共計(jì)11帶（1323帶），帶號(hào)用表示n，中央子午線的經(jīng)度用L0 示，它們的關(guān)

4、系是L0=6n-3， 如圖所示。 高斯投影3º帶：它的中央子午線一部分同6º帶中央子午線重合，一部分同6º帶的分界子午線重合，如用n´表示3º帶的帶號(hào)，L表示3º帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系 圖8-4所示。我國(guó)3º帶共計(jì)22帶（2445帶）?？刂茰y(cè)量學(xué)幻燈片6控制測(cè)量學(xué)（3）高斯平面直角坐標(biāo)系 在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)x軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)y軸?；脽羝?控制測(cè)量學(xué) 在我國(guó)X坐標(biāo)都是正的，Y坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330km。為了

5、避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可在橫坐標(biāo)上加上500Km。此外還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。這種坐標(biāo)稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。例如，有一點(diǎn)Y =19 123 456.789m，該點(diǎn)位在19º帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500000m，最后得 =-376 543.211m。幻燈片8（4）高斯平面投影的特點(diǎn) 中央子午線無(wú)變形； 無(wú)角度變形，圖形保持相似； 離中央子午線越遠(yuǎn)，變形越大。4 橢球面三角系化算到高斯投影面 將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內(nèi)容是： （1）將起始點(diǎn)P的大地坐標(biāo)（L，B）歸算為高斯平面直角坐標(biāo)x，y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)x、y反算L、B 。

6、 （2）通過(guò)計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正 ，將橢球面上起算邊大地方位角APK歸算到高斯平面上相應(yīng)邊P'K'的坐標(biāo)方位角 P'K' 。 控制測(cè)量學(xué)幻燈片9控制測(cè)量學(xué) （3）通過(guò)計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上的由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。 （4）通過(guò)計(jì)算距離改正S，將橢球面上起算邊PK的長(zhǎng)度S歸算到高斯平面上的直線長(zhǎng)度 。 （5）當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫В枰M(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算?；脽羝?0§8-2 正形投影的一般條件 高斯投影首先必須滿足正形投影的一般條件。圖1為橢球面，圖2為它在平面上的投影。在橢球面上有

7、無(wú)限接近的兩點(diǎn)P1和P2，投影后為P'1和 P'2 ，其坐標(biāo)均已注在圖上，dS為大地線的微分弧長(zhǎng)，其方位角為A。在投影面上，建立如圖2所示的坐標(biāo)系，dS 的投影弧長(zhǎng)為ds 。控制測(cè)量學(xué)幻燈片11 橢球面到平面的正形投影一般公式稱柯西-黎曼條件：控制測(cè)量學(xué)平面正形投影到橢球面上的一般條件：幻燈片12§8-3 高斯投影坐標(biāo)正反算公式1、高斯投影坐標(biāo)正算公式 （1）高斯投影正算：已知橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo) L、B，求該點(diǎn)在高斯投影平面上的直角坐標(biāo) x、y，即 的坐標(biāo)變換。 （2）投影變換必須滿足的條件 中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；投影具有正形性質(zhì)，即正

8、形投影條件。 （3）投影過(guò)程 在橢球面上有對(duì)稱于中央子午線的兩點(diǎn)P1和P2 ,它們的大地坐標(biāo)分別為（L，B）及（l，B），式中 l為橢球面上P點(diǎn)的經(jīng)度與中央子午線 L0的經(jīng)度差：l=L-L0 , P點(diǎn)在中央子午線之東, 控制測(cè)量學(xué)幻燈片13l為正，在西則為負(fù)，則投影后的平面坐標(biāo)一定為 和 。 （4）計(jì)算公式控制測(cè)量學(xué)當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度精確至0.00lm時(shí)，用下式計(jì)算：幻燈片142、高斯投影坐標(biāo)反算公式 （1）高斯投影反算： 已知某點(diǎn)的高斯投影平面上直角坐標(biāo) x、y ，求該點(diǎn)在橢球面上的大地坐標(biāo) L、B ，即 的坐標(biāo)變換。 （2）投影變換必須滿足的條件 x坐標(biāo)軸投影成中央子午線，是投影的對(duì)稱軸；x軸

9、上的長(zhǎng)度投影保持不變；投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。 （3）投影過(guò)程 根據(jù)x計(jì)算縱坐標(biāo)在橢球面上的投影的底點(diǎn)緯度Bf ，接著按 Bf計(jì)算（ Bf -B）及經(jīng)差l ，最后得到 、 。 （4）計(jì)算公式控制測(cè)量學(xué)幻燈片15控制測(cè)量學(xué)當(dāng)要求轉(zhuǎn)換精度至 時(shí)，可簡(jiǎn)化為下式：幻燈片163、高斯投影正反算公式的幾何解釋 正算公式實(shí)際上是在中央子午線上P'點(diǎn)展開(kāi)l的冪級(jí)數(shù)，而反算公式實(shí)際上則是在中央子午線上P點(diǎn)展開(kāi)y的冪級(jí)數(shù)。 高斯投影坐標(biāo)正、反算公式是在高斯投影必須遵循的三個(gè)條件下導(dǎo)出的，因此這些公式也必然完備地表現(xiàn)出高斯投影的特點(diǎn)。比如對(duì)正算公式(873)式的分析，可知具有如下特點(diǎn)(參見(jiàn)圖8-1

10、6)： (1)當(dāng)l等于常數(shù)時(shí)，隨著B(niǎo)的增加x值增大，y值減??；又因cos(-B)=cosB，所以無(wú)論B值為正或負(fù)，y值不變。這就是說(shuō)，橢球面上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還對(duì)稱于中央子午線和赤道?？刂茰y(cè)量學(xué)幻燈片17 （2）當(dāng)B等于常數(shù)時(shí)，隨著l的增加，z值和y值都增大。所以在橢球面上對(duì)稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對(duì)稱的曲線，同時(shí)與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。 (3)距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，長(zhǎng)度變形也愈大?？刂茰y(cè)量學(xué)幻燈片18§8-4 平面子午線收斂角公式控制測(cè)量學(xué)一、子午線收斂角的概念 如圖所示，p 、pN 及p

11、Q 分別為橢球面p點(diǎn)、過(guò)p點(diǎn)的子午線pN及平行圈pQ在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點(diǎn)p子午線收斂角就是pN在p上的切線pn與pt坐標(biāo)北之間的夾角，用表示。 在橢球面上，因?yàn)樽游缇€同平行圈正交，又由于投影具有正形性質(zhì)，因此它們的描寫線pN及 pQ也必正交，由圖可見(jiàn)，平面子午線收斂角也就是等于pQ在p點(diǎn)上的切線pq同平面坐標(biāo)系橫軸 的傾角?；脽羝?9二、由大地坐標(biāo)(L,B) 計(jì)算平面子午線收斂角公式控制測(cè)量學(xué)三、由平面坐標(biāo) 計(jì)算平面子午線收斂角 的公式 上式計(jì)算精度可達(dá)1"。如果要達(dá)到0.001"計(jì)算精度，可用下式計(jì)算：四、實(shí)用公式 1、克氏橢球 已知大地坐標(biāo)（L，B）計(jì)算

12、子午線收斂角幻燈片20控制測(cè)量學(xué) 已知平面坐標(biāo)（x，y）計(jì)算子午線收斂角2、1975年國(guó)際橢球元素計(jì)算公式幻燈片21§8-4 橢球面上觀測(cè)成果歸化到高斯平面上計(jì)算一、概述 由于高斯投影是正形投影，橢球面上大地線間的夾角與它們?cè)诟咚蛊矫嫔系耐队扒€之間的夾角相等。為了在平面上利用平面三角學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算，須把大地線的投影曲線用其弦線來(lái)代替。控制網(wǎng)歸算到高斯平面上的內(nèi)容包括：控制測(cè)量學(xué)幻燈片22 （1）起算點(diǎn)大地坐標(biāo)的歸算將起算點(diǎn)大地坐標(biāo) 歸算為高斯平面直角坐標(biāo) 。 （2）起算方向角的歸算。 （3）距離改化計(jì)算橢球面上已知的大地線邊長(zhǎng)（或觀測(cè)的大地線邊長(zhǎng)）歸算至平面上相應(yīng)的弦線長(zhǎng)度。 （4

13、）方向改計(jì)算橢球面上各大地線的方向值歸算為平面上相應(yīng)的弦線方向值。二、方向改化 1、概念 如圖所示，若將橢球面上的大地線AB方向改化為平面上的弦線ab方向，其相差一個(gè)角值 ,即稱為方向改化值。控制測(cè)量學(xué)幻燈片23控制測(cè)量學(xué) 2、方向改化的過(guò)程 若將大地線AB方向改化為弦線ab方向。過(guò)A,B 點(diǎn)，在球面上各作一大圓弧與軸子午線正交，其交點(diǎn)分別為D、E，它們?cè)谕队懊嫔系耐队胺謩e為 ad和be 。由于是把地球近似看成球，故ad和be都是垂直于x軸的直線。在a,b點(diǎn)上的方向改化分別為 和 。當(dāng)大地線長(zhǎng)度不大于10km， 坐標(biāo)不大于l00km時(shí)，二者之差不大于0.05"，因而可近似認(rèn)為 = 。

14、幻燈片24 3、計(jì)算公式 球面角超公式為：控制測(cè)量學(xué) 適用于三、四等三角測(cè)量的方向改正的計(jì)算公式： 式中 ，為a、b兩點(diǎn)的y坐標(biāo)的自然的平均值?；脽羝?5三、距離改化 1、概念如圖所示，設(shè)橢球體上有兩點(diǎn)P1、P2及其大地線S，在高斯投影面上的投影為P1 、 P2及S。 S是一條曲線，而連接P1 P2兩點(diǎn)的直線為D，如前所述由S化至D所加的改正，即為距離改正S 。 2、長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形 長(zhǎng)度比m : 指橢球面上某點(diǎn)的一微分元素 dS，其投影面上的相應(yīng)微分元素ds，則 稱為該點(diǎn)的長(zhǎng)度比。 長(zhǎng)度變形:由于長(zhǎng)度比m恒大于1，故稱m-1為長(zhǎng)度變形。 3、長(zhǎng)度比 的計(jì)算公式控制測(cè)量學(xué)幻燈片26式中：Rm表

15、示按大地線始末兩端點(diǎn)的平均緯度計(jì)算的橢球的平均曲率半徑。 為投影線兩端點(diǎn)的平均橫坐標(biāo)值?？刂茰y(cè)量學(xué) 4、長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形的特點(diǎn) 1）長(zhǎng)度比m隨點(diǎn)的位置而異，但在同一點(diǎn)上與方向無(wú)關(guān)； 2）當(dāng)y=0(或l=0)時(shí)，m=1，即中央子午線投影后長(zhǎng)度不變； 3）當(dāng)y0(或l0)時(shí)，即離開(kāi)中央子午線時(shí)，長(zhǎng)度設(shè)形（m-1）恒為正，離開(kāi)中央子午線的邊長(zhǎng)經(jīng)投影后變長(zhǎng)。 4）長(zhǎng)度變形（m-1）與 y2（或 l2）成比例地增大，對(duì)于在橢球面上等長(zhǎng)的子午線來(lái)說(shuō)，離開(kāi)中央子午線愈遠(yuǎn)的那條，其長(zhǎng)度變形愈大。幻燈片27 5、距離改化計(jì)算公式控制測(cè)量學(xué)或幻燈片28§8-5高斯投影的鄰帶坐標(biāo)換算以下情況需要進(jìn)行鄰帶換

16、算： 1、如圖1所示，該控制網(wǎng)跨越兩個(gè)投影帶。 2、在分界子午線附近地區(qū)測(cè)圖時(shí)，往往需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制，因此必須將這些點(diǎn)的坐標(biāo)換算到同一帶中。 3、當(dāng)大比例尺測(cè)圖時(shí)，要求采用3°帶、1.5 °帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有6 °帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了6 °帶同3 °帶只見(jiàn)的相互換算問(wèn)題?？刂茰y(cè)量學(xué)幻燈片29一、應(yīng)用高斯投影正反算公式間接換帶1、換帶的基本原理或思路 1）把某投影帶（比如帶）內(nèi)有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)（x，y），利用高斯投影反算公式，換算成橢球面上的大地坐標(biāo)（B，L），進(jìn)而得到 。 2）由大地坐標(biāo)（B，L），利用投影正算公式換

17、算成相鄰帶的（如第帶）的平面坐標(biāo)（x，y），但在計(jì)算時(shí)，要根據(jù)第帶的中央子午線計(jì)算經(jīng)差l，即2、算例 某點(diǎn)中央子午線經(jīng)度L0= 123°，該點(diǎn)坐標(biāo)x1=5728374.726，y1=210198.193，要求將該點(diǎn)坐標(biāo)換算到鄰帶，中央子午線經(jīng)度129 °。計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表。（B1,L1）可以利用前面所學(xué)知識(shí)計(jì)算得到。B1=51°3843。9024，L1= 126°0213.1362控制測(cè)量學(xué)幻燈片30控制測(cè)量學(xué)幻燈片31二、應(yīng)用換帶表直接進(jìn)行換帶計(jì)算 1、基本原理 問(wèn)題的提出控制測(cè)量學(xué) 1）“對(duì)稱點(diǎn)”的選擇和作用：如圖，在橢球面上選取P2，使P2與P1對(duì)稱于

18、分帶子午線幻燈片32§8-5 工程測(cè)量投影面與投影帶選擇1、概述 對(duì)于工程測(cè)量，其中包括城市測(cè)量，既有測(cè)繪大比例尺圖的任務(wù)，又有滿足各種工程建設(shè)和市政建設(shè)施工放樣工作的要求。如何根據(jù)這些目的和要求合適地選擇投影面和投影帶，經(jīng)濟(jì)合理地確立工程平面控制網(wǎng)的坐標(biāo)系，在工程測(cè)量是一個(gè)重要的課題。控制測(cè)量學(xué)幻燈片332、工程測(cè)量中選擇投影面和投影帶的原因 （1）有關(guān)投影變形的基本概念 平面控制測(cè)量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長(zhǎng)度變形問(wèn)題。這種投影變形主要是由于以下兩種因素引起的： 實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面上的變形影響，其值為 ：控制測(cè)量學(xué)式中：Hm 為歸算邊高出參考橢球面的平均高程， s為

19、歸算邊的長(zhǎng)度，R為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑。歸算邊長(zhǎng)的相對(duì)變形：幻燈片34 值是負(fù)值，表明將地面實(shí)量長(zhǎng)度歸算到參考橢球面上，總是縮短的； 值與 Hm 成正比，隨 Hm 增大而增大。 將參考橢球面上的邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的變形影響，其值為 ：控制測(cè)量學(xué)式中： ，即為投影歸算邊長(zhǎng), 為歸算邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值， 為參考橢球面平均曲率半徑。投影邊長(zhǎng)的相對(duì)投影變形為幻燈片35 值總是正值，表明將橢球面上長(zhǎng)度投影到高斯面上，總是增大的； 值隨著 平方成正比而增大，離中央子午線愈遠(yuǎn)，其變形愈大?？刂茰y(cè)量學(xué) （2）工程測(cè)量平面控制網(wǎng)的精度要求 工程測(cè)量控制網(wǎng)不但應(yīng)作為測(cè)繪大比例尺圖的控制基礎(chǔ)，還

20、應(yīng)作為城市建設(shè)和各種工程建設(shè)施工放樣測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)的依據(jù)。為了便于施工放樣工作的順利進(jìn)行，要求由控制點(diǎn)坐標(biāo)直接反算的邊長(zhǎng)與實(shí)地量得的邊長(zhǎng)，在長(zhǎng)度上應(yīng)該相等，這就是說(shuō)由上述兩項(xiàng)歸算投影改正而帶來(lái)的長(zhǎng)度變形或者改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般來(lái)說(shuō)，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測(cè)量精度為1/5 0001/20 000。因此，由投影歸算引起的控制網(wǎng)長(zhǎng)度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，幻燈片36即相對(duì)誤差為1/10 0001/40 000，也就是說(shuō)，每公里的長(zhǎng)度改正數(shù)不應(yīng)該大于102.5cm。3、投影變形的處理方法 （1）通過(guò)改變 從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形，這種方法通常稱為抵償

21、投影面的高斯正形投影； （2）通過(guò)改變 ，從而對(duì)中央子午線作適當(dāng)移動(dòng)，來(lái)抵償由高程面的邊長(zhǎng)歸算到參考橢球面上的投影變形，這就是通常所說(shuō)的任意帶高斯正形投影； （3）通過(guò)既改變 （選擇高程參考面），又改變 （移動(dòng)中央子午線），來(lái)共同抵償兩項(xiàng)歸算改正變形，這就是所謂的具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影。控制測(cè)量學(xué)幻燈片374、工程測(cè)量中幾種可能采用的直角坐標(biāo)系 （1）國(guó)家3º帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 當(dāng)測(cè)區(qū)平均高程在l00m以下，且 值不大于40km時(shí)，其投影變形值 及 均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測(cè)圖和工程放樣的精度要求。在偏離中央子午線不遠(yuǎn)和地面平均高程不大的地區(qū)，不需考慮

22、投影變形問(wèn)題，直接采用國(guó)家統(tǒng)一的3º 帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系作為工程測(cè)量的坐標(biāo)系。 （2）抵償投影面的3º帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 在這種坐標(biāo)系中，依然采用國(guó)家3º帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補(bǔ)償高斯投影長(zhǎng)度變形而選擇的高程參考面。在這個(gè)高程參考面上，長(zhǎng)度變形為零?？刂茰y(cè)量學(xué)幻燈片38控制測(cè)量學(xué)于是，當(dāng) 一定時(shí)，可求得：則投影面高為：算例：某測(cè)區(qū)海拔 =2 000（m），最邊緣中央子午線100（km），當(dāng)s =1000（m）時(shí)，則有幻燈片39而 ，超過(guò)允許值（102.5cm）。這時(shí)為不改變中央子午線位置，而選擇一個(gè)合適的高程參考面，經(jīng)計(jì)算得高差： 將地面實(shí)測(cè)距離歸算到： 控制測(cè)量學(xué) （3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系 在這種坐標(biāo)系中，仍把地面觀測(cè)結(jié)果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國(guó)家 帶的劃分方法，而是依據(jù)補(bǔ)償高程面歸算長(zhǎng)度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。這就是說(shuō)，在（8-272）式中， 保持不變，于是求得算例：某測(cè)區(qū)相對(duì)參考橢球面的高程 =500m，為抵償?shù)孛嬗^測(cè)值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得幻燈片40控制測(cè)量學(xué) 即選擇與該測(cè)區(qū)相距80km處的子午線。此時(shí)在 =80km處，兩項(xiàng)改正項(xiàng)得到完全