高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法

1、七劍合壁破解數(shù)列求和 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有相應(yīng)的求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧，下面介紹用七種辦法“七劍”，希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā)： 第一劍套用公式法 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本、最重要的方法：  1.等差數(shù)列求和公式：    2.等比數(shù)列求和公式： 3.       4、  例1 已知，求的前n項(xiàng)和. 分析：從題目中可看出這是一個(gè)等比數(shù)列的求和，自然想到直接應(yīng)用等比數(shù)列求和公式即可&

2、#160;解：由     由等比數(shù)列求和公式得                                     第二劍錯(cuò)位相減法 這是類比推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于

3、求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 例2 求和： 分析：注意到式子有兩個(gè)特點(diǎn)，單純從系數(shù)上看，它呈等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是2n1；單純從字母上看，它呈等比數(shù)列，此數(shù)列的通項(xiàng)是，所以可類比推導(dǎo)等比數(shù)列的方法求它前n的和 解： 設(shè)      得    又因?yàn)?#160;再利用等比數(shù)列的求和公式得：               &

4、#160;       第三劍逆序相加法 這是類比推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè). 例3 求證：（本題源自人教大綱版必修第二冊(cè)下） 分析：這雖然看似一道組合的證明題，本質(zhì)上還是數(shù)列求和，注意組合的一個(gè)公式，所以我們用逆序相加法進(jìn)行嘗試 證明： 設(shè).         把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得       &#

5、160;   又由可得        .      .     +得                第四劍分組求和法 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可. 例4 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：

6、60;分析：可以看出該數(shù)列可分成兩部分，注意到一部分等差數(shù)列，一部分成等比數(shù)列我們使用化整為零的辦法先拆開，再組合 解：設(shè)   當(dāng)a1時(shí)，  當(dāng)時(shí)， 第五劍裂項(xiàng)相消法 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）常見的如下： （1）   （2） （3） 例5  求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 分析：本題符合上述的第三個(gè)公式中的情況，此時(shí)的情形 解：設(shè) 則   &

7、#160;                      第六劍分段求和法 針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求sn.，對(duì)等差數(shù)列的絕對(duì)值求和也可仿效 例6  數(shù)列中，求 分析：題目要我們求前2008項(xiàng)的和，從前3項(xiàng)可以看出它不是等差、也不是等比，那么怎么辦呢？先通過(guò)求出相應(yīng)的幾項(xiàng)可

8、判斷該數(shù)列應(yīng)該是以6為一個(gè)周期的數(shù)列 解：設(shè) 由可得                  5 例7等差數(shù)列中，求其前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和 分析：對(duì)于等差數(shù)列的絕對(duì)值的求和，我們一般是轉(zhuǎn)化為分段求和來(lái)解決 解：由已知可得，則當(dāng)時(shí) 不妨設(shè) 當(dāng)時(shí)，   當(dāng)時(shí)， = =   第七劍活用通項(xiàng)法 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法. 例8  求之和. 分析：本題的數(shù)列也十分特殊，具有良好的美感如果我們知道它的一個(gè)通項(xiàng)公式是，這樣即可將之分成兩部分，轉(zhuǎn)化為上述的第四種方法來(lái)解決，可見對(duì)通項(xiàng)的