最小二乘曲線擬合及其MATLAB實(shí)現(xiàn)

1、 現(xiàn)代測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法學(xué)生課題論文論 文 題 目 ：最小二乘曲線擬合及其MATLAB實(shí)現(xiàn)學(xué) 院 ：土木工程學(xué)院年級(jí)專業(yè)班 ：2013級(jí)測(cè)繪工程一班學(xué) 生 姓 名： 學(xué) 生 學(xué) 號(hào)：指 導(dǎo) 老 師提 交 時(shí) 間：2016年1月成 績(jī)教師簽名目 錄0 引 言31 曲線擬合與最小二乘法概述41.1 曲線擬合簡(jiǎn)介41.2 最小二乘法簡(jiǎn)介52 曲線擬合的最小二乘法原理62.1 原理的闡述及理論公式推導(dǎo)62.2 結(jié)合實(shí)例分析與理解82.3 總結(jié)歸納求解步驟113 基于MATLAB的最小二乘曲線擬合123.1 MATLAB軟件介紹123.2 求解的基本理論闡述133.3 結(jié)合實(shí)例進(jìn)行MATLAB解算144

2、最小二乘曲線擬合案例分析與解算164.1 案例敘述164.2 數(shù)據(jù)輸入與分析174.3 進(jìn)行擬合求解184.3.1 手工解算184.3.1 基于MATLAB的解算194.4 擬合函數(shù)的精度檢測(cè)214.5擬合函數(shù)在實(shí)際運(yùn)用中的優(yōu)勢(shì)225 結(jié) 論23參考文獻(xiàn)24最小二乘曲線擬合及其MATLAB實(shí)現(xiàn)陳濤1（1. 重慶交通大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶400074；）摘 要隨著人類認(rèn)識(shí)能力的不斷進(jìn)步以及計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，對(duì)于變量之間的未知關(guān)系，應(yīng)用曲線擬合的方法對(duì)揭示其內(nèi)在規(guī)律具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理、分析時(shí)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合是經(jīng)常采用的一種方法。本文將采用最小二乘法對(duì)給定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬

3、合并得到擬合曲線，加深大家對(duì)最小二乘曲線擬合原理的理解。同時(shí)將根據(jù)最小二乘擬合理論，并利用MATLAB數(shù)值分析軟件進(jìn)行編程，解決最小二乘曲線擬合在塔機(jī)起重量監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中的應(yīng)用問題，實(shí)現(xiàn)相應(yīng)案例數(shù)據(jù)的曲線擬合，獲得了曲線模型對(duì)相應(yīng)數(shù)據(jù)的擬合曲線，很好地解決了該工程案例的曲線擬合問題。關(guān)鍵詞：曲線擬合，最小二乘法，MATLAB0 引 言在科學(xué)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)方法研究中，往往要從一組數(shù)據(jù)中，尋找自變量x與因變量y之間的函數(shù)關(guān)系。由于觀測(cè)數(shù)據(jù)往往不準(zhǔn)確，因此不要求經(jīng)過所有帶點(diǎn)，而只要求在給定點(diǎn)上的誤差按某種標(biāo)準(zhǔn)最小。若記，就是要求向量的范數(shù)最小。如果用最大范數(shù)，計(jì)算上困難較大，通常采用歐式范數(shù)作為誤差度量的標(biāo)

4、準(zhǔn)。的函數(shù)類型往往與實(shí)驗(yàn)的物理背景以及數(shù)據(jù)的實(shí)際分布有關(guān)，它一般含有某些待定參數(shù)。如果是所有待定參數(shù)的線性函數(shù)，那么相應(yīng)的問題稱為線性最小二乘問題，否則稱為非線性最小二乘問題。最小二乘法還是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)的重要工具。這是因?yàn)檫@種方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情況下，用最小二乘法還能提供解答，而且從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)分析，用該方法求得各項(xiàng)估計(jì)具有最優(yōu)統(tǒng)計(jì)特征，因此這一方法也是系統(tǒng)識(shí)別的重要基礎(chǔ)。用最小二乘法求擬合曲線時(shí)，首先要確定的形式，然后利用最小二乘曲線擬合去構(gòu)造一個(gè)近似解析式。利用該方法“擬合”出的函數(shù)曲線雖然不能保證通過所有的樣本點(diǎn)，但是很好地“逼近”了它們，充分反映了已知數(shù)

5、據(jù)間內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系。因此，這種方法在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中具有廣泛的應(yīng)用前景。本文針對(duì)最小二乘曲線擬合的有關(guān)理論和應(yīng)用問題以及相應(yīng)的MATLAB實(shí)現(xiàn)進(jìn)行探討。1 曲線擬合與最小二乘法概述1.1 曲線擬合簡(jiǎn)介實(shí)際工作中，變量間未必都有線性關(guān)系，如服藥后血藥濃度與時(shí)間的關(guān)系；疾病療效與療程長(zhǎng)短的關(guān)系；毒物劑量與致死率的關(guān)系等常呈曲線關(guān)系。曲線擬合是指選擇適當(dāng)?shù)那€類型來擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系。曲線擬合是用連續(xù)曲線近似地刻畫或比擬平面上離散點(diǎn)組所表示的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)據(jù)處理方法。用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)的一種方法。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中，通過實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到量x與y

6、的一組數(shù)據(jù)對(duì)（i1，2，m），其中各是彼此不同的 。人們希望用一類與數(shù)據(jù)的背景材料規(guī)律相適應(yīng)的解析表達(dá)式，來反映量x與y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。常稱作擬合模型 ，在式中是一些待定參數(shù)。當(dāng)c在中線性出現(xiàn)時(shí)，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。有許多衡量擬合優(yōu)度的標(biāo)準(zhǔn)，最常用的一種做法是選擇參數(shù)c使得擬合模型與實(shí)際觀測(cè)值在各點(diǎn)的殘差(或離差) 的加權(quán)平方和達(dá)到最小，此時(shí)所求曲線稱作在加權(quán)最小二乘意義下對(duì)數(shù)據(jù)的擬合曲線。有許多求解擬合曲線的成功方法，對(duì)于線性模型一般通過建立和求解方程組來確定參數(shù)，從而求得擬合曲線。至于非線性模型，則要借助求解非線性方程組或用最優(yōu)化方

7、法求得所需參數(shù)才能得到擬合曲線，有時(shí)稱之為非線性最小二乘擬合。1.2 最小二乘法簡(jiǎn)介最小二乘法是法國(guó)大數(shù)學(xué)家A.M.Legendre 最先于1805年發(fā)表的，其動(dòng)機(jī)是為處理一類從天文學(xué)和測(cè)地學(xué)中提出的數(shù)據(jù)分析問題。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合，工程施工中，我們會(huì)經(jīng)常取得一些相關(guān)的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)往往來自與施工密切相關(guān)的測(cè)量或?qū)嶒?yàn)中，我們可以通過作圖或多段插值取得變量之間的聯(lián)系，但作圖和插值查圖往往誤差較大。這時(shí)可采用最小二乘法先擬合出一個(gè)多項(xiàng)式，再根據(jù)此多項(xiàng)

8、式求解任一自變量所對(duì)應(yīng)的因變量較精確的結(jié)果，據(jù)此繪圖可得到較精確、較合理的曲線。1801年，意大利天文學(xué)家朱賽普·皮亞齊發(fā)現(xiàn)了第一顆小行星谷神星2,經(jīng)過40天的跟蹤觀測(cè)后，由于谷神星運(yùn)行至太陽背后，使得皮亞齊失去了谷神星的位置。隨后全世界的科學(xué)家利用皮亞齊的觀測(cè)數(shù)據(jù)開始尋找谷神星，但是根據(jù)大多數(shù)人計(jì)算的結(jié)果來尋找谷神星都沒有結(jié)果。時(shí)年24歲的高斯也計(jì)算了谷神星的軌道。奧地利天文學(xué)家海因里希·奧爾伯斯根據(jù)高斯計(jì)算出來的軌道重新發(fā)現(xiàn)了谷神星。高斯使用的最小二乘法的方法發(fā)表于1809年他的著作天體運(yùn)動(dòng)論中。 法國(guó)科學(xué)家勒讓德于1806年獨(dú)立發(fā)現(xiàn)“最小二乘法”，但因不為世人所知而默

9、默無聞。 勒讓德曾與高斯為誰最早創(chuàng)立最小二乘法原理發(fā)生爭(zhēng)執(zhí)。 1829年，高斯提供了最小二乘法的優(yōu)化效果強(qiáng)于其他方法的證明，因此被稱為高斯-莫卡夫定理。最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。2 曲線擬合的最小二乘法原理2.1 原理的闡述及理論公式推導(dǎo)給定數(shù)據(jù)，設(shè)擬合函數(shù)形式為 2.11其中為已知的線性無關(guān)函數(shù)（如果存在不全為零的常熟，使得，則稱函數(shù)線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)）。求系數(shù)，使得 2.12最小，若 2.13則稱相應(yīng)的為最小二乘擬合曲線

10、。特別的，若則稱為次最小二乘擬合多項(xiàng)式。下面用求多元函數(shù)極值的方法來求最小點(diǎn)。將（2.12）式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)。并令 化簡(jiǎn)得 2.14為了進(jìn)一步化簡(jiǎn)，可以引入內(nèi)積符號(hào)。在線性代數(shù)中，中兩個(gè)向量及的內(nèi)積定義為，將它加以推廣，得到下面結(jié)論：設(shè)與是兩個(gè)已知函數(shù)，記，令利用內(nèi)積的定義，式（2.14）可以寫為 2.15其中，···， ， 2.16方程組（2.15）稱為正規(guī)方程組或法方程組，其中系數(shù)矩陣是對(duì)稱的。可以證明，當(dāng)函數(shù)線性無關(guān)時(shí)，方程組（2.15）是對(duì)稱正定的，因此有唯一解。求出方程組（2.15）的解后，代入式（2.11）即可得最小二乘擬合函數(shù)。另外，對(duì)帶權(quán)的最小二乘擬

11、合函數(shù)有如如下的定義：設(shè)，給定在個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及一組權(quán)系數(shù)，若有函數(shù)，滿足則稱為在個(gè)節(jié)點(diǎn)上關(guān)于權(quán)系數(shù)的最小二乘擬合函數(shù)。2.2 結(jié)合實(shí)例分析與理解Intel公司董事長(zhǎng)Moore在上個(gè)世紀(jì)的60年代就觀察到一個(gè)很有趣的現(xiàn)象：集成電路上可容納的單晶體數(shù)量每隔一年半左右并會(huì)增長(zhǎng)一倍，從而使集成電路的性能也能提高一倍。據(jù)此他提出了轟動(dòng)世界的Moore定律，預(yù)測(cè)這種增長(zhǎng)趨勢(shì)會(huì)一直延續(xù)下去。下面給出Moore數(shù)據(jù)，如表 1所示：（年）19591962196319641965（增長(zhǎng)倍數(shù)）13456表 1 Moore數(shù)據(jù)畫出相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖 1所示： 圖 1 Moore數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖表 1中第二行數(shù)據(jù)為芯片上晶

12、體數(shù)目在不同年代與1959年時(shí)的數(shù)目比較的倍數(shù)，通過觀察k與t中間大致呈線性關(guān)系，如圖 1所示。據(jù)此導(dǎo)出了著名的Moore定律。通過以上的分析，可設(shè) 2.21將表 1中的數(shù)據(jù)代入式（2.21）的超定方程組，其中，t表示時(shí)間，k表示增長(zhǎng)倍數(shù)，a,b為待定系數(shù)。若將表 1中的數(shù)據(jù)代入式（2.21），得線性方程組 2.22方程組（2.22）是一個(gè)朝頂方程組，在這五個(gè)線性方程中，任意兩個(gè)聯(lián)立求解可得到十組不同的解。即是說該方程組不存在通常意義上的解。現(xiàn)將線性方程組（2.22）寫出矩陣形式,其中，此超定方程組五常義解，即是說不存在使得，但是該超定方程組存在最小二乘解，也就是說存在，使得達(dá)到最小，并且是線

13、性方程組 2.23的解。我們稱式（2.23）為法方程組，在本例中它是一個(gè)二階線性方程組，即解這個(gè)方程組得.由此得到Moore公式.需要說明的是，對(duì)于，顯然，但是根據(jù)曲線擬合的最小二乘原理，從整體趨勢(shì)上使偏差達(dá)到最小，此處的偏差，這個(gè)值已經(jīng)很小了、滿足要求。2.3 總結(jié)歸納求解步驟下面我們就以上摩爾（Moore）預(yù)測(cè)公式實(shí)例總結(jié)利用最小二乘曲線擬合原理求解實(shí)際問題的步驟：（1）分析數(shù)據(jù)，根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)定擬合函數(shù)（2）代入數(shù)據(jù)得到超定方程組，該超定方程組的矩陣形式為，其中，.（3）如表 2所示，建立法方程組.1959119593837681196235886384944419634785238533

14、69196459820385729619656117903861225表 2 據(jù)表 2中計(jì)算結(jié)果得, 其中m為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)組數(shù)。（4）解法方程組得擬合參數(shù)向量并據(jù)此得到擬合曲線函數(shù)（5）通過將所得的擬合函數(shù)曲線與原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行同坐標(biāo)對(duì)比或計(jì)算總體趨勢(shì)上的偏差值檢驗(yàn)擬合函數(shù)的精度。3 基于MATLAB的最小二乘曲線擬合3.1 MATLAB軟件介紹MATLAB是matrix和laboratory兩個(gè)詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實(shí)驗(yàn)室）。是由美國(guó)mathworks公司發(fā)布的主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真

15、等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。MATLAB可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通訊、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式

16、與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用C，F(xiàn)ORTRAN等語言完成相同的事情簡(jiǎn)捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中也加入了對(duì)C，F(xiàn)ORTRAN，C+，JAVA的支持?？梢灾苯诱{(diào)用,用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫(kù)中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶可以直接進(jìn)行下載就可以用。 3.2 求解的基本理論闡述假設(shè)有一組數(shù)據(jù)，且已知這組數(shù)據(jù)滿足某一函數(shù)原型，其中為待定系數(shù)向量，則最小二乘曲線擬合的目標(biāo)就是求出這一組待定系數(shù)值，使得目標(biāo)函數(shù)最小。

17、MATLAB的統(tǒng)計(jì)工具箱提供了Isqcurvefit函數(shù)，可以解決最小二乘曲線擬合問題。 該函數(shù)的調(diào)用格式如下：其中，F(xiàn)un為原始函數(shù)的MATLAB表示，可以是M-函數(shù)或inline函數(shù)；為最優(yōu)化的初值；x，y為原始輸入輸出向量。調(diào)用該函數(shù)，將返回待定系數(shù)向量，以及在此系數(shù)下的目標(biāo)函數(shù)的值Jm.。3.3 結(jié)合實(shí)例進(jìn)行MATLAB解算此處我們就結(jié)合上面的Moore實(shí)例進(jìn)行分析，通過對(duì)散點(diǎn)圖的分析我們已經(jīng)假設(shè)出了初始函數(shù).其實(shí)現(xiàn)的MATLAB程序如下：t=1959 1962 1963 1964 1965;k=1 3 4 5 6;令，這樣，原函數(shù)就可以寫出，可以用MATLAB程序代碼寫出：funct

18、ion k = K( a,t )k=a(1)+a(2)*t; end %定義原型函數(shù)kformat long%小數(shù)精度定義為小數(shù)點(diǎn)后15位a,JM=lsqcurvefit('K',1;1,t,k); %調(diào)用Isqcurvefit函數(shù)求系數(shù)和偏差值結(jié)果如下：aa = 1.0e+03 * -1.625528269401662 0.000830188662693JMJM = 0.188679245282990由結(jié)果可知a=a(1)=-1625.528269,b=a(2)=0.830189,即由MATLAB解算出來的擬合函數(shù)為這與上面手工解算的結(jié)果基本一致。另外，我們可以將原始數(shù)據(jù)的散

19、點(diǎn)圖和得到的擬合曲線畫在一個(gè)坐標(biāo)畫面上以檢測(cè)擬合函數(shù)的精度，編寫程序如下：ti=1959 1962 1963 1964 1965;ki=-1625.528296+0.830189*ti;plot(t,k,'o',ti,ki)結(jié)果如圖 2所示，最小二乘法曲線擬合的結(jié)果是找到符合經(jīng)驗(yàn)公式的最優(yōu)曲線，但這一經(jīng)驗(yàn)公式是否有效還需要事后檢驗(yàn)，一般就是從圖像上做出判斷。定量的方法也是有的，一般是計(jì)算殘差平方和，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，對(duì)此就不做多余的講解了。通過對(duì)圖 2的分析可知擬合曲線與原始數(shù)據(jù)是比較穩(wěn)合的，滿足要求。圖 2 擬合函數(shù)對(duì)原始數(shù)據(jù)的逼近4 最小二乘曲線擬合案例分析與解算4.1 案例

20、敘述起重量限制器是用來保護(hù)塔機(jī)的重要裝置之一，是用于防止因超重而引起起升電機(jī)、傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、鋼絲繩的損壞。但是它只能在極限的狀態(tài)下保護(hù)塔機(jī)起升機(jī)構(gòu)不會(huì)受到損壞，不能夠顯示起重量值，因此，司機(jī)在操作過程中不了解塔機(jī)每次起吊重量的具體狀況。為了進(jìn)一步提高塔機(jī)的安全性能和工作效率，增加塔機(jī)起重量在線監(jiān)測(cè)裝置非常重要，實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地測(cè)量出起重量是在線監(jiān)測(cè)的關(guān)鍵。在實(shí)時(shí)臨測(cè)系統(tǒng)中，在原有起重量限制器的基礎(chǔ)上加裝了拉力傳感器，傳感器所測(cè)量的拉桿拉力Q與鋼絲繩的張力F之間存在著一定的函數(shù)關(guān)系，起重量增加，拉桿拉力也相應(yīng)增加，因此可通過間接測(cè)量拉桿拉力的方法先測(cè)出鋼絲繩的張力，然后根據(jù)吊鉤處的鋼絲繩倍率關(guān)系計(jì)算出實(shí)際

21、起重量，從而在拉桿拉力與塔機(jī)起重量之間建立起函數(shù)關(guān)系。4.2 數(shù)據(jù)輸入與分析由于塔機(jī)起重量G與鋼絲繩張力F之間有確定的函數(shù)關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用中，以塔機(jī)起重量G代替鋼絲繩張力F作為輸出樣本，以拉桿拉力Q作為輸入樣本。塔機(jī)QTZ63最大額定起重量為，分別以，為起重量，測(cè)量相應(yīng)的拉力傳感器拉力Q，以獲取樣本表 3所示。樣本拉桿拉力Q/kN起重量G/kg10020.4560030.94120041.44180052.10240062.61300073.36360084.27420095.164800106.055400117.336000表 3實(shí)測(cè)樣本、估算值及相對(duì)誤差 利用MATLAB畫出其散點(diǎn)圖，分

22、析其函數(shù)模型，程序代碼如下：G=0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000;Q=0 0.45 0.94 1.44 2.10 2.61 3.36 4.27 5.16 6.05 7.33;plot(Q,G,'o')結(jié)果如圖 3所示，根據(jù)散點(diǎn)圖的走勢(shì)我們可以設(shè)原函數(shù)為三次多項(xiàng)式函數(shù)模型： 圖 3樣本數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖4.3 進(jìn)行擬合求解 由于該案例的運(yùn)算量不是太大，所以在這里我們?cè)诓捎肕ATLAB解算的同時(shí)也進(jìn)行了一次手工解算，同時(shí)也可以就兩種方法的對(duì)比體現(xiàn)出MATLAB解算的高效、簡(jiǎn)單與快捷的特點(diǎn)，但是在這個(gè)大數(shù)據(jù)時(shí)代，我們碰到的更

23、多是手工解算所不能完成的大數(shù)據(jù)，到時(shí)候就只能利用MATLAB實(shí)現(xiàn)了。4.3.1 手工解算（1）由原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖得出函數(shù)模型如下（2）將表 3中的原始數(shù)據(jù)代入上式得超定方程組 該超定方程組的矩陣形式為,其中（3）建立法方程組(4)解法方程組，得所以所得的擬合函數(shù)為4.3.1 基于MATLAB的解算通過對(duì)散點(diǎn)圖的分析我們已經(jīng)假設(shè)出了函數(shù)原型.求解過程實(shí)現(xiàn)的MATLAB程序如下：G=0 600 1200 1800 2400 3000 3600 4200 4800 5400 6000;Q=0 0.45 0.94 1.44 2.10 2.61 3.36 4.27 5.16 6.05 7.33;令，這樣，

24、原函數(shù)就可以寫出，用MATLAB程序代碼寫出：function G = F( a,Q )G=a(1)*Q.3+a(2)*Q.2+a(3)*Q; end%定義原型函數(shù)Gformat long%小數(shù)精度定義為小數(shù)點(diǎn)后15位a,JM=lsqcurvefit('F',1;1;1,Q,G); %調(diào)用Isqcurvefit函數(shù)求系數(shù)和偏差值結(jié)果如下：a = 1.0e+03 * 0.004601860834153 -0.110534167186377 1.383597884382993 JM = 1.523115957936404e+04由結(jié)果可知a=a(1)=4.6019,b=a(2)=-

25、110.5342,c=a(3)=1383.5979。即由MATLAB解算出來的擬合函數(shù)為擬合函數(shù)與上面手工解算的結(jié)果是一致的。通過傳統(tǒng)手工解算與MATLAB解算過程的對(duì)比，能夠明顯的看出MATLAB解算比手工解算要簡(jiǎn)單方便的多，這種對(duì)比在數(shù)據(jù)量更大的案例中會(huì)更加的顯著，而且在那種大數(shù)據(jù)處理中手工解算是很容易出錯(cuò)的，MATLAB解算可以避免這種錯(cuò)誤。4.4 擬合函數(shù)的精度檢測(cè)由于手工解算和MATLAB解算的擬合結(jié)果是一樣的，我們采用畫圖法檢測(cè)精度是只需要畫一幅圖如圖 4所示：圖 4擬合函數(shù)對(duì)原始數(shù)據(jù)的逼近觀察散點(diǎn)圖可知擬合函數(shù)曲線與原始數(shù)據(jù)的吻合度是非常高的，定性分析的整體精度是滿足要求的。不同

26、之處在于這里MATLAB解算的偏差值從表面上看起來是很大的，這主要是因?yàn)樵摪咐捎玫臄?shù)據(jù)原本就大，我們可以求其相對(duì)誤差，從另一方面定量來看一下其擬合精度，相對(duì)誤差表如下表 4所示：樣本拉桿拉力Q/kN起重量G/kg擬合函數(shù)所求起重量G/kg相對(duì)誤差/%1000020.45600600.660.1530.9412001206.740.5741.4418001776.921.3052.1024002460.722.4762.6130002940.042.0473.3636003575.570.6984.2742004250.881.2095.1648004828.570.59106.0554005

27、344.011.05117.3360006015.270.25表 4 擬合曲線所求起重量相對(duì)理論值的相對(duì)誤差表觀察該表其單個(gè)樣本的相對(duì)誤差最大也就為2.47%，從事件發(fā)生的概率來講這個(gè)概率的事件屬于小概率事件，另外 GB5l4494規(guī)定：起重機(jī)應(yīng)安裝起重量限制器，對(duì)最大起重量大于6t的起重機(jī)如設(shè)有提示裝置，則其數(shù)值誤差不得大于指示值的5，因此定量分析結(jié)果的精度是滿足要求的。4.5擬合函數(shù)在實(shí)際運(yùn)用中的優(yōu)勢(shì)塔機(jī)起重量監(jiān)測(cè)中存在的非線性問題中，采用數(shù)據(jù)擬合理淪，建立了起重量 G和拉桿拉力Q之間的函數(shù)關(guān)系式，使塔機(jī)起重量監(jiān)測(cè)在PLC中得以實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際運(yùn)用中，該方法具有如下優(yōu)點(diǎn)：(1)計(jì)算結(jié)果惟一，計(jì)

28、算量小，便于在PLC、單片機(jī)等硬件設(shè)備上實(shí)現(xiàn)；(2)可精確、方便地實(shí)現(xiàn)起重量的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)；(3)當(dāng)鋼絲繩倍率改變時(shí)，只需調(diào)整對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)，不必改動(dòng)其它硬件設(shè)施；(4)保留了原有起重量限制器中的超重預(yù)警開關(guān)和超重報(bào)警開關(guān)，能夠?qū)崿F(xiàn)起重量預(yù)警和報(bào)警的雙重保護(hù)。5 結(jié) 論當(dāng)今最小二乘法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于各類學(xué)科，成為了不可缺少的重要工具。目前在物理學(xué)、地質(zhì)勘探學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。而最小二乘法曲線擬合的出現(xiàn)，又使得圖像呈現(xiàn)更加直觀，程序代碼簡(jiǎn)單，使用方便，已經(jīng)成為研究人員開展科研工作的有效工具之一。在做完了這篇論文后，學(xué)習(xí)到了許多新的知識(shí)。對(duì)于最小二乘法有了深一步的認(rèn)識(shí)，了解了它的

29、計(jì)算原理以及對(duì)于現(xiàn)在的測(cè)量估算上的意義，并對(duì)MATLAB也有了重新的認(rèn)識(shí)，感受到了MATLAB在現(xiàn)代數(shù)據(jù)處理中的重要地位。最小二乘法如果想將曲線擬合的比較完美，必須應(yīng)用適當(dāng)?shù)哪M曲線，如果模擬曲線選擇不夠適當(dāng)，那么用最小二乘法計(jì)算完后，會(huì)發(fā)現(xiàn)擬合曲線誤差比較大，均方誤差也比較大，而如果擬合曲線選擇適當(dāng)，那么效果較好，例如在本文中，不論是Moore定律案例還是塔機(jī)的起重量監(jiān)測(cè)案例其實(shí)最初的曲線模型確定都是非常重要而且并不是那么容易的，只是本文側(cè)重于利用理論求解問題而忽視了對(duì)這一點(diǎn)的講解，不同的曲線模型得出的結(jié)果是完全不一樣的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)已知點(diǎn)根據(jù)分布規(guī)律選取多個(gè)可能的近似擬合曲線，

30、算出后比較誤差與均方誤差，得到最佳擬合曲線。但是如果已知點(diǎn)分布非常不規(guī)律，無法觀察或是無法正確觀察出其近似曲線，那么根本無法使用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，我們只能使用其它方法進(jìn)行逼近。 參考文獻(xiàn)1 胡曉東，董辰輝.MATLAB從入門到精通M.一.北京:人民郵電出版社, 2010.xiao-dong hu, Dong Chen fai. MATLAB from entry to master M. Beijing: people's posts and telecommunications publishing house, 2010. 2 薛蓮.數(shù)值計(jì)算方法M.一.北京:電子工業(yè)出版社,

31、 2007.Xue Lian. Numerical calculation method M. Beijing: electronic industry press, 2007. 3 張德豐.MATLAB概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析M.一.北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 2010.de-feng zhang. MATLAB probability and mathematical statistics analysis M. Beijing: mechanical industry publishing house, 2010. 4 張光澄，張雷.實(shí)用數(shù)值分析M.二.四川:四川大學(xué)出版社, 2009.Zhang

32、 Guangcheng, zhang lei. Practical numerical analysis M. 2. Sichuan: sichuan university press, 2009. 5 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)M.三.武漢:武漢大學(xué)出版社, 2014.wuhan university institute of surveying and mapping surveying adjustment discipline groups. Error theory and measurement adjustment M. 3. Wuhan: wuhan

33、 university press, 2014. 6 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.四.北京:高等教育出版社, 2013.fill flash, xie qian, Pan Chengyi. Probability and mathematical statistics M. Beijing: higher education press, 2013. 7 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)M.五.北京:高等教育出版社, 2007.tongji university mathematics. Engineering mathematics, linear algebra M. 5.

34、Beijing: higher education press, 2007. 8 北京信息科技大學(xué).最小二乘法原理，VC+實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用EB/OL.2015-12-15.Beijing university of science and technology information. The least squares principle, application and vc + + realize EB/OL. 2015-12-15. The from = search. 9 燕山大學(xué).數(shù)據(jù)擬合的幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例 EB/OL.2015-12-15.http:/ Several applications in the yanshan university. The data fitting EB/OL.2015-12-15. The from = search English TitleThe principle of lea