數(shù)學與創(chuàng)新思維

1、數(shù)學與創(chuàng)新思維數(shù)學與創(chuàng)新思維北京航空航天大學北京航空航天大學 李心燦李心燦 恩格斯指出：恩格斯指出： “一個民族要想站在科學的最高峰，就一一個民族要想站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維?？桃膊荒軟]有理論思維?！眐l米斯拉米斯拉指出：指出：“數(shù)學是代表人類抽象思維方面數(shù)學是代表人類抽象思維方面的最高成就和勝利。的最高成就和勝利?！敝臄?shù)學家著名的數(shù)學家a賽爾伯格賽爾伯格指出：指出：“數(shù)學的內容一定要重新斟酌。數(shù)學的內容一定要重新斟酌。應該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并令人應該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并令人振奮的內容。振奮的內容?！比麪柌?因此我認為：數(shù)學教學不但應該傳授數(shù)學知識，還應該培養(yǎng)學生的

2、創(chuàng)新思維。 著名數(shù)學家拉普拉斯指出：著名數(shù)學家拉普拉斯指出：“分析和自然哲學中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都分析和自然哲學中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都歸功于歸納方法歸功于歸納方法牛頓二項式定理和萬有引牛頓二項式定理和萬有引力原理，就是歸納方法的成果。力原理，就是歸納方法的成果?！薄霸跀?shù)在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比。類比?！?著名數(shù)學家高斯曾說：著名數(shù)學家高斯曾說：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的。我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的?！?著名數(shù)學家沃利斯著名數(shù)學家沃利斯說：說：“我把（不完全的）我把（不完全的）歸納和類比當作一種很歸納和類比當作一種很好的考察方法，因為

3、這好的考察方法，因為這種方法的確使我很容易種方法的確使我很容易發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律” 歸納的方法這是顯然的。但是（逆向思維）這是顯然的。但是（逆向思維）任何一個偶數(shù)，都能分解為兩個奇素數(shù)之任何一個偶數(shù)，都能分解為兩個奇素數(shù)之和嗎？和嗎？60=7+53（7和和53都是素數(shù)）都是素數(shù)） . 一直到現(xiàn)在還沒有一個人推翻它，但也一直到現(xiàn)在還沒有一個人推翻它，但也還沒有一個人證明它。還沒有一個人證明它。 挪挪威數(shù)學家威數(shù)學家布朗布朗（v.brun）用）用“篩法篩法”證明了證明了 宋朝數(shù)學家楊輝宋朝數(shù)學家楊輝1261年寫的年寫的詳解九章算法詳解九章算法*就解釋了上述系數(shù)三角形的構造法，并說賈就解釋了上

4、述系數(shù)三角形的構造法，并說賈憲用此術。憲用此術。楊輝三角形楊輝三角形.?1197531?97531,47531,3531,231,112222 他的這個發(fā)現(xiàn)，后來被刊登在他的這個發(fā)現(xiàn)，后來被刊登在春燕春燕雜志上。雜志上。.2nn 個奇數(shù)的和等于前33333333436427161514131211103227898765218143210101 按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當數(shù)學式子表示出來，而且試證明它。數(shù)學式子表示出來，而且試證明它。，三邊形內角和)23( )24( 四邊形內角和問題：下述結論是否成立？問題：下述結論是否成立？?)2(nn邊

5、形內角和等于. )(, )1ln()(1)(xfxxfn：例xxf11)(解解2)1 (1)(xxf .,)1 (! 3) 1()(,)1 (! 2) 1()(43)4(32xxfxxf 從而歸納出nnnxnxf)1 ()!1() 1()(1)(并且，有任意階的導數(shù)設函數(shù)例)(:2xf2)()(xfxf. )()(xfn求解解因為因為32)( 2)()(2)()(2)(xfxfxfxfxfxf ,)( ! 3)()( 32)(42xfxfxfxf .)(!)(1)(nnxfnxf因而歸納得到 著名天文學、數(shù)學家開普勒著名天文學、數(shù)學家開普勒說：說： “我珍視類比勝于任何我珍視類比勝于任何別的東

6、西，它是我最可信賴的別的東西，它是我最可信賴的老 師 它 能 揭 示 自 然 的 奧老 師 它 能 揭 示 自 然 的 奧秘秘?！?著名數(shù)學家、教育學家波利亞著名數(shù)學家、教育學家波利亞說：說：“類比是一個偉大的引路人，類比是一個偉大的引路人，求解立體幾何問題往往有賴于平面求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題幾何中的類比問題?！?xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzz(n)(n)(n-1)(n-2)()u v)u vu v, u v)u v2u vu v , u v)u v3u v3u v u v , (1) u v)u vuv

7、u v .2!kn knn nnc u 因為 （從而可以歸納出（( )0.nkkv萊布尼茨公式萊布尼茨公式將他們比較可以看出將他們比較可以看出:把中右端把中右端k次冪換成次冪換成k階導數(shù)階導數(shù)(零階導數(shù)理解為函數(shù)本身零階導數(shù)理解為函數(shù)本身),把中把中u+v換成換成uv,n次冪換成次冪換成n階導數(shù)既為階導數(shù)既為. (拉格朗日拉格朗日17歲歲) 牛頓二項式展開公式牛頓二項式展開公式1222332230()()2()33()cnnkn kknkuvuvuvuuvvuvuu vuvvuvuvzz= xx+yy52=32+42z3 = x3 + y3 (x,y,z 為正整數(shù))=zxy+公元972年阿拉伯

8、人阿爾科但第（alkhodjidi)zn = n+ yn (n2)(wiles 1994)歐拉猜想：歐拉猜想：下述方程沒有整數(shù)解：下述方程沒有整數(shù)解：4444wzyx沒有人能夠證明它是對的，但是在他提出這個猜想之后的200年內大家都相信它是正確的.但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個反例：44442061567318796760153656392682440后來人們又發(fā)現(xiàn)了一個更簡單的例子：444442248141456021751995800今天我們能容易地用一個簡單的程序尋找反例在沒有計算機的年代，很難舉出這樣的反例！ 特別應該將牛頓特別應該將牛頓萊布尼茨公式、格林萊布尼茨公式、格林公

9、式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比。公式、高斯公式、斯托克斯公式進行類比。 若將牛頓若將牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 視為，它建立了一元函數(shù)視為，它建立了一元函數(shù)f f( (x) )在一個區(qū)間的在一個區(qū)間的定積分與其原函數(shù)定積分與其原函數(shù)f f( (x) )在區(qū)間邊界的值之間的在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；聯(lián)系；通過類比，就可將格林公式通過類比，就可將格林公式ldqdypdxdxdyypxq 視為，它建立了二元函數(shù)在一個平面區(qū)域視為，它建立了二元函數(shù)在一個平面區(qū)域d上的二重積分與其上的二重積分與其“原函數(shù)原函數(shù)”在區(qū)域邊界在區(qū)域邊界l l的的曲線積分之間的聯(lián)系；曲線

10、積分之間的聯(lián)系；通過類比，就可將高斯公式通過類比，就可將高斯公式rdxdyqdzdxpdydzdxdydzzryqxps 視為，它建立了三元函數(shù)在一個空間區(qū)域視為，它建立了三元函數(shù)在一個空間區(qū)域 上的三重積分與其上的三重積分與其“原函數(shù)原函數(shù)”在區(qū)域邊界在區(qū)域邊界曲面曲面s s上的曲面積分之間的聯(lián)系；上的曲面積分之間的聯(lián)系；通過類比，就可將斯托克斯公式通過類比，就可將斯托克斯公式rdzqdypdxdxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyrls 視為，它建立了三元函數(shù)在一個空間曲面視為，它建立了三元函數(shù)在一個空間曲面s s上的曲面積分與其上的曲面積分與其“原函數(shù)原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲線在區(qū)域

11、邊界曲線l l上上的曲線積分之間的聯(lián)系。的曲線積分之間的聯(lián)系。 若引入若引入“外微分運算外微分運算”，就可將格林公，就可將格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓- -萊布尼茨公式的高維推廣萊布尼茨公式的高維推廣. . 并都可以用一個并都可以用一個簡單的形式統(tǒng)一表示為簡單的形式統(tǒng)一表示為ddwwd上的積分邊界在區(qū)域的低一維空間的“微分形式”上的積分等于低一次的在區(qū)域一次的“微分形式”此公式深刻地表明：高ddahkcbdefgilfbcabd ackh, cilegfba,bdlifbc,2gfba正正方方形形矩矩形形正正方方形形矩矩形形正正方方形形矩矩形形

12、 ,abd2bdli因此因此同理同理兩式相加即得定理。兩式相加即得定理。abcbcaa-b弦圖ababaabccsabed=2y)(x21de)ad(ab21sbce +sabc +sdce 他證明時他證明時,只是一位議員只是一位議員,是他和其他議員討論數(shù)學是他和其他議員討論數(shù)學問題時想出來的問題時想出來的,發(fā)表在發(fā)表在新英格蘭教育雜志新英格蘭教育雜志上上 。2z212xy2 思考：思考：他的證明對否？好不好？他的證明對否？好不好？caabbcbd22 cbabacad22 bd+ad=ab= c 高 斯 被 譽 為 ：高 斯 被 譽 為 ：“能從九霄云外的高能從九霄云外的高度按某種觀點掌握星

13、度按某種觀點掌握星空和深奧數(shù)學的天才空和深奧數(shù)學的天才”和和“數(shù)學王子數(shù)學王子”。 第一個證明是用歸納法；第一個證明是用歸納法；第二個證明是用二次型理論；第二個證明是用二次型理論；第三個和第五個證明是用高斯引理；第三個和第五個證明是用高斯引理；第四個證明是用高斯和；第四個證明是用高斯和；第六個和第七個證明是用分圓理論；第六個和第七個證明是用分圓理論；第八個證明是用高次冪剩余理論。第八個證明是用高次冪剩余理論。他的每一種證明思路都導致數(shù)論的新方向。其他的每一種證明思路都導致數(shù)論的新方向。其后后19世紀多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、世紀多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾

14、伯特等人都給艾森斯坦、庫默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。出了新的證明并發(fā)展了該理論。dxxx231xydydxydxx222 02)(22 xydydxyxy2xqyp xydydxydxx222 )(2)(12xyxydxdy 得知它是齊次微分方程，從而用齊次微得知它是齊次微分方程，從而用齊次微分方程的解法求出其通解；分方程的解法求出其通解；xydydxydxx222 yxyxdxdy1221 化化為線性微分方程，然后用線性微分方程的為線性微分方程，然后用線性微分方程的解法求出其通解。解法求出其通解。高等數(shù)學一題多解高等數(shù)學一題多解200200例選編例選編 （產品：手

15、表、收音機、電視機等）（產品：手表、收音機、電視機等） 一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給一位老太太有兩個女兒。大女兒嫁給雨雨傘傘店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。店老板，小女兒當了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她擔心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。怕傘店的雨傘賣不出去，日子過得很憂郁。 后來有一位聰明的人勸她：后來有一位聰明的人勸她：老太太，你老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興?。淮笄缣?，你小女兒家顧客盈門

16、，哪一天你都大晴天，你小女兒家顧客盈門，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。這么一說，老太太生活的色這么一說，老太太生活的色彩竟煥然一新。彩竟煥然一新。一則小一則小故事故事: :（1）如果遇到某些問題順推不行，可以考）如果遇到某些問題順推不行，可以考慮逆推。慮逆推。（2）如果遇到某些問題直接解決困難，想）如果遇到某些問題直接解決困難，想法間接法間接 解決。解決。（3）正命題研究過后，研究逆命題。）正命題研究過后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時，轉而探討不）探討可能性發(fā)生困難時，轉而探討不可能性。可能性。 下面舉幾個高等數(shù)學中的例子下面舉幾個高等數(shù)學中的例子:求解微分方程：求解微分方程：)

17、2(12yxydxdy若將若將 x 視為自變量，視為自變量，y 視為未知函數(shù)，解此方視為未知函數(shù)，解此方程就比較困難。因為它既不是可分離變量方程就比較困難。因為它既不是可分離變量方程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，也不是線性方程和伯努里方程。也不是線性方程和伯努里方程。但是，如果利用逆向思維，即反過來將但是，如果利用逆向思維，即反過來將 x 視視為未知函數(shù)為未知函數(shù), y 視為自變量，將方程變?yōu)橐暈樽宰兞?，將方程變?yōu)?2(2yxydydx它就是未知函數(shù)x 的線性微分方程。很容易求出其通解。 ) 1(21222ceyexyy若直接解決困難，若直接解決困難

18、，想法間接解決。想法間接解決。?!limnnnn例例1 1： 試求試求解法：用間接的方法，即轉化為判斷級數(shù)解法：用間接的方法，即轉化為判斷級數(shù)1!nnnn11)11 (1limlim1enuunnnnn.!1收斂故知級數(shù)nnnn級數(shù)收斂的必要條件是通項趨向于零，于是級數(shù)收斂的必要條件是通項趨向于零，于是0!limlim nnnnnnu解法解法: :利用夾逼定理利用夾逼定理!1!11!1 , ,nnnnnnnnnnnnnnn 即即11! lim0, lim0, lim0.nnnnnnnnn而故而故 歐幾里得歐幾里得幾何原本幾何原本第一卷中給出第一卷中給出了五個公設，其中前四個簡單明了，（前了五個

19、公設，其中前四個簡單明了，（前三個是作圖的規(guī)定，第四個是三個是作圖的規(guī)定，第四個是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亞里士多德公理），符合亞里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯獨第五公設不僅文字的要求，唯獨第五公設不僅文字啰啰嗦，而嗦，而且所肯定的事實也不明顯。且所肯定的事實也不明顯。 而且只有第而且只有第5 5公設涉及到無限公設涉及到無限, ,這是人們經驗之外的東西這是人們經驗之外的東西. . lm0180 lml歐歐高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829) 鮑耶鮑耶 （18321832）l羅羅 羅巴切夫斯

20、基把歐氏幾何的命題按是否羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴于第五公設（平行公設）分為兩部分：依賴于第五公設（平行公設）分為兩部分： 不依賴于第五不依賴于第五公設得到證明的命公設得到證明的命題（絕對幾何）。題（絕對幾何）。 依賴于第五依賴于第五公設才能證明的公設才能證明的命題。命題。 “在一個平面上，過直線在一個平面上，過直線ab外一點至少可以作一條直線與外一點至少可以作一條直線與ab不相交不相交”。 1. 僅可作一條（第五公設）僅可作一條（第五公設） 歐氏幾何；歐氏幾何； 2. 可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的可作不止一條，若能由此推出與絕對幾何定理相矛盾的命題，這就無異于

21、證明了第五公設。命題，這就無異于證明了第五公設。 可是他不但沒有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推導出了一連串奇妙可是他不但沒有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推導出了一連串奇妙的結果，構成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但的結果，構成了邏輯上既無矛盾，又與絕對幾何不相沖突，但又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。l黎黎 現(xiàn)在人們把現(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為幾何統(tǒng)稱為“非歐幾里得幾何非歐幾里得幾何”。 黎曼黎曼(1854)(1854)“19世紀最富啟世紀最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”

22、。 非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學上的革命，非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學上的革命，它不僅使數(shù)學家大開眼界，引起一些重要數(shù)它不僅使數(shù)學家大開眼界，引起一些重要數(shù)學分支的產生，它的重要意義還在于使數(shù)學學分支的產生，它的重要意義還在于使數(shù)學哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使哲學的研究進入一個嶄新的歷史時期，它使人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，人們對空間的認識更深刻，更完全了。例如，它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數(shù)學它對愛因斯坦的相對論提供了最合適的數(shù)學工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙工具。因此許多人采用非歐幾何學作為宇宙的幾何模型。的幾何模型。 ( (太平洋太平洋) ) 歐幾里得

23、：歐幾里得： 三角形內角和三角形內角和 = = 兩直角兩直角 , , 2r=c ， a2+b2=c2 羅巴切夫斯基：三角形內角和羅巴切夫斯基：三角形內角和 兩直角兩直角 , , 2rc ， a2+b2 兩直角兩直角 , , 2rc ，a2+b2c2 后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐后來許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎之上。例如：幾里得幾何概念的基礎之上。例如：18441844年格年格拉斯曼建立的拉斯曼建立的n n維仿射空間和度量空間幾何。維仿射空間和度量空間幾何。18711871年克來因年克來因 在在16世紀之前，數(shù)學家們就成功地找到世紀之前，數(shù)學家們就成功地找到了一般

24、的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。如：如：aacbbxcbxax24, 022, 12 那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是否也存在根式解法呢？否也存在根式解法呢？ 這個問題吸引著眾多的數(shù)學家，他們相這個問題吸引著眾多的數(shù)學家，他們相信這種解法一定存在，包括：卡當信這種解法一定存在，包括：卡當（cardano）、韋達）、韋達(viete)、笛卡兒、牛頓、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經歷了萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經歷了兩百多

25、年的努力都未能找到解法。兩百多年的努力都未能找到解法。韋達韋達拉格朗日拉格朗日 經過無數(shù)次的失敗之經過無數(shù)次的失敗之后后,直到直到19世紀初，一些數(shù)世紀初，一些數(shù)學家產生了逆向思維：首學家產生了逆向思維：首先是魯非尼（先是魯非尼（ruffini）和）和拉格朗日，接著是阿貝爾拉格朗日，接著是阿貝爾(abel)，把問題的提法倒，把問題的提法倒了過來，去思考它的反問了過來，去思考它的反問題：一般五次及五次以上題：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。的方程不存在根式求解法。阿貝爾阿貝爾(abel) 幾何的三大難題：幾何的三大難題：1. 1. 三等分任意角三等分任意角; ;2. 2. 化圓為方化圓

26、為方; ;3. 3. 倍立方倍立方. . ( ( 只用圓規(guī)、直尺只用圓規(guī)、直尺) ) 從已有思路的反方向去思考問題。順推不從已有思路的反方向去思考問題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決解決; ;正命題研究過后，研究逆命題；探討正命題研究過后，研究逆命題；探討可能發(fā)生困難時，考慮探討不可能性。它有可能發(fā)生困難時，考慮探討不可能性。它有利于克服思維定勢的保守性，它對解放思想、利于克服思維定勢的保守性，它對解放思想、開闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開辟新的方向，開闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開辟新的方向，往往能起到積極作用。往往能起到積極作用。桂陵（今長垣縣西

27、邊），大梁（今開封）。桂陵（今長垣縣西邊），大梁（今開封）。大梁大梁（諸葛亮草船借箭、20只船）牛頓牛頓：沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。g.波利亞：波利亞：要想成為一個好的數(shù)學家，要想成為一個好的數(shù)學家，你必須是一你必須是一個好的猜想家。個好的猜想家。牛頓牛頓波利亞波利亞 數(shù)學猜想是指依據(jù)某些已知事實和數(shù)學知數(shù)學猜想是指依據(jù)某些已知事實和數(shù)學知識對未知量及關系所作出的一種似真的推斷，識對未知量及關系所作出的一種似真的推斷，它是數(shù)學研究的一種常用的科學方法，又是數(shù)它是數(shù)學研究的一種常用的科學方法，又是數(shù)學發(fā)展的一種重要思維形式，它是科學假說在學發(fā)展的一種

28、重要思維形式，它是科學假說在數(shù)學中的具體表現(xiàn)。數(shù)學中的具體表現(xiàn)。 數(shù)學猜想作為一種數(shù)學潛形態(tài)數(shù)學猜想作為一種數(shù)學潛形態(tài), ,它常常是數(shù)它常常是數(shù)學理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數(shù)學學理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數(shù)學發(fā)展到積累了大量資料，需要進行理論整理，發(fā)展到積累了大量資料，需要進行理論整理，探索其理論內部的矛盾規(guī)律這一階段上產生出探索其理論內部的矛盾規(guī)律這一階段上產生出來的，數(shù)學的創(chuàng)造過程與其它知識的創(chuàng)造過程來的，數(shù)學的創(chuàng)造過程與其它知識的創(chuàng)造過程一樣。你先得把觀察到結果加以歸納、類比，一樣。你先得把觀察到結果加以歸納、類比，通過猜想通過猜想。立方體立方體方錐方錐三棱柱三棱柱三棱錐

29、三棱錐五棱柱五棱柱五棱錐五棱錐著名數(shù)學教育家波利亞（polya）說：“在前輩數(shù)學家中，歐拉對我的影響最大.主要原因在于，歐拉做了一些跟他才能相當?shù)膫ゴ髷?shù)學家從沒做過的事，即他解釋了他是如何發(fā)現(xiàn)他的結果的.對此，我是如獲至寶.”歐拉關于多面體的猜想八面體八面體“塔頂塔頂”體體截角立方體截角立方體猜想猜想:是否面是否面(f)的數(shù)目越多的數(shù)目越多,頂點的數(shù)頂點的數(shù)(v)越多越多? 猜想猜想:是否邊是否邊(e)的數(shù)目越多的數(shù)目越多,面數(shù)面數(shù)(f)越多越多?頂點頂點(v)也越多呢也越多呢?f + v = e + 2f + v = e + 2由歸納得出由歸納得出:f + v = e + 2f + v = e + 2 f + v = e + 2nee1vv1nff (f+n-1)+(v+1)=(e+n)+2 從而從而 f+v=e+2截角立方體的推廣截角立方體的推廣: nee1nvv1ff (f+1)+(v+n-1)=(e+n)+2 從而從而 f+v=e+2顯然有顯然有 v = e (*) 角角(頂點頂點) = 邊邊(棱棱) 將將(*)改寫為改寫為(按維數(shù)增加的順序按維數(shù)增加的順序) v - e + 1 = 1 (*) 頂點數(shù)頂點數(shù) 邊數(shù)邊數(shù) 多邊形內部面數(shù)多邊形內部面數(shù) (0維維) (1維維) (2維維