ARCH模型和GARCH模型_yukz

1、ARCH模型和GARCH模型Robert F. EngleClive W. J. Granger本章模型與以前所學的異方差的不同之處：隨機擾動項的無條件方差雖然是常數(shù)，但是條件方差是按規(guī)律變動的量。引子-問題的提出以前介紹的異方差屬于遞增型異方差，即隨機誤差項方差的變化隨解釋變量的增大而增大。但利率，匯率，股票收益等時間序列中存在的異方差卻不屬于遞增型異方差。例如，匯率，股票價格常常用隨機游走過程描述， yt=yt-1+t 其中t為白噪聲過程，1995-2000年日元兌美元匯率時間序列及差分序列見圖1和圖2。 圖1 日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000) 圖2 日元兌美元匯率差分序列（

2、收益）D(JPY) 圖3 收益絕對值序列 (1995-2000) 圖4 D(JPY)的平方 (1995-2000)這種序列的特征是（1）過程的方差不僅隨時間變化，而且有時變化得很激烈。（2）按時間觀察，表現(xiàn)出“波動集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定時段中比較小，而在另一時段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖5給出高峰厚尾分布示意圖。正態(tài)分布曲線 高峰厚尾分布曲線 圖5 高峰厚尾分布特征示意圖顯然現(xiàn)期方差與前期的

3、“波動”有關(guān)系。描述這類關(guān)系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通過預(yù)測yt或ut的變化量評估股票的持有或交易對收益所帶來的風險有多大，以及決策的代價有多大；（2）可以預(yù)測yt的置信區(qū)間，它是隨時間變化的；（3）對條件異方差進行正確估計后可以使回歸參數(shù)的估計量更具有有效性。§1、ARCH模型1、條件方差多元線性回歸模型：條件方差或者波動率（Condition variance，volatility）定義為其中是信息集。2、ARCH模型的定義Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressive con

4、ditional heteroskedasticity，自回歸條件異方差）。ARCH(q)模型： （1）的無條件方差是常數(shù)，但是其條件分布為 （2）其中是信息集。方程（1）是均值方程（mean equation）ü ：條件方差，含義是基于過去信息的一期預(yù)測方差方程（2）是條件方差方程（conditional variance equation），由二項組成ü 常數(shù)ü ARCH項：滯后的殘差平方由于t2 的非負性，對ai應(yīng)有如下約束， >0, ai³0, i = 1, 2, q 當全部ai = 0, i = 1, 2, , q時，條件方差st2 =。

5、因為方差是非負的，所以要求 > 0。3、ARCH模型的平穩(wěn)性條件為保證st2是一個平穩(wěn)過程，(2) 式的特征方程 1-a1L-a2L2-aqLq=0 的根都應(yīng)在單位圓之外。對ai, i = 1, 2, , q的另一個約束是 0 £a1+a2+aq<1 對(2) 式求期望，st2 =+ a1 E(t -1 2) + a2 E(t -22) + + aq E(t - q2) =+ a1 st -1 2 + a2 st -22 + + aq st - q2當T®¥ 時， s2 =+ a1 s 2 + a2 s 2 + + aq s 2則無條件方差 可見若保證

6、st2是一個平穩(wěn)過程，應(yīng)該有約束0 £ (a1 + a2 + + aq ) < 1。因為Var(yt) = Var(t) = st2，所以上式可以用來預(yù)測yt 的方差。綜上所述，ARCH模型的方差方程的的平穩(wěn)性條件有1) 1-a1L-a2L2-aqLq=0 的根都應(yīng)在單位圓之外。2) 0 £a1+a2+aq<1為使模型能夠成立還需要滿足 >0, ai³0, i = 1, 2, q例1 ARCH(1)模型中參數(shù)的含義：當時，當時，退化為傳統(tǒng)情形，4、ARCH效應(yīng)檢驗ARCH LM Test：拉格朗日乘數(shù)檢驗建立輔助回歸方程此處是回歸殘差。原假設(shè)：H

7、0：序列不存在ARCH效應(yīng)即 H0：可以證明：若H0為真，則此處，m為輔助回歸方程的樣本個數(shù)。R2為輔助回歸方程的確定系數(shù)。Eviews操作：先實施多元線性回歸view/residual/Tests/ARCH LM Test§2、ARCH模型的實證分析從收盤價，得到收益率數(shù)據(jù)序列。series r=log(p)-log(p(-1)點擊序列p，然后view/line graph1、檢驗是否有ARCH現(xiàn)象。首先回歸。取2000到2254的樣本。輸入ls r c，得到Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: 10/21/04 Time:

8、 21:26Sample: 2000 2254Included observations: 255VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0004320.0010870.3971300.6916R-squared0.000000 Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared0.000000 S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017364 Akaike info criterion-5.264978Sum squared resid0.0

9、76579 Schwarz criterion-5.251091Log likelihood672.2847 Durbin-Watson stat2.049819問題：這樣進行回歸的含義是什么？其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到ARCH Test:F-statistic5.220573 Probability0.000001Obs*R-squared44.68954 Probability0.000002Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04

10、 Time: 21:27Sample(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0001105.34E-052.0601380.0405RESID2(-1)0.1415490.0652372.1697760.0310RESID2(-2)0.0550130.0658230.8357660.4041RESID2(-3)0.3377880.0655685.1516970.0000RESID2(-4)0.

11、0261430.0691800.3778930.7059RESID2(-5)-0.0411040.069052-0.5952600.5522RESID2(-6)-0.0693880.069053-1.0048540.3160RESID2(-7)0.0056170.0691780.0811930.9354RESID2(-8)0.1022380.0655451.5598060.1202RESID2(-9)0.0112240.0657850.1706190.8647RESID2(-10)0.0644150.0651570.9886130.3239R-squared0.182406 Mean depe

12、ndent var0.000305Adjusted R-squared0.147466 S.D. dependent var0.000679S.E. of regression0.000627 Akaike info criterion-11.86836Sum squared resid9.19E-05 Schwarz criterion-11.71116Log likelihood1464.875 F-statistic5.220573Durbin-Watson stat2.004802 Prob(F-statistic)0.000001得到什么結(jié)論？2、模型定階：如何確定q實施ARCH L

13、M test時，取較大的q，觀察滯后殘差平方的t統(tǒng)計量的pvalue即可。此處選取q3。因此，可以對殘差建立ARCH(3)模型。3、ARCH模型的參數(shù)估計參數(shù)估計采用最大似然估計。具體方法在GARCH一節(jié)中講解。如何實施ARCH過程：由于存在ARCH效應(yīng)，所以點擊estimate，在method中選取ARCH得到如下結(jié)果Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:48Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 13 it

14、erationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C-0.0006400.000750-0.8528880.3937 Variance EquationC9.24E-051.66E-055.5693370.0000ARCH(1)0.2447930.0826402.9621420.0031ARCH(2)0.0814250.0774281.0516240.2930ARCH(3)0.4578830.1096984.1740430.0000R-squared-0.003823 Mean dependent var0.000432Adjusted R-squar

15、ed-0.019884 S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017535 Akaike info criterion-5.495982Sum squared resid0.076872 Schwarz criterion-5.426545Log likelihood705.7377 Durbin-Watson stat2.042013為了比較，觀察將q放大對系數(shù)估計的影響Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:54Sample: 2000 2254Incl

16、uded observations: 255Convergence achieved after 16 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C-0.0006010.000751-0.7999090.4238 Variance EquationC9.38E-051.60E-055.8807410.0000ARCH(1)0.2620090.0902562.9029590.0037ARCH(2)0.0419300.0705180.5945960.5521ARCH(3)0.4521870.1084884.1680760.0000ARCH(4)

17、-0.0219200.050982-0.4299560.6672ARCH(5)0.0376200.0443940.8474080.3968R-squared-0.003550 Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared-0.027830 S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017603 Akaike info criterion-5.483292Sum squared resid0.076851 Schwarz criterion-5.386081Log likelihood706.1198

18、Durbin-Watson stat2.042568觀察：說明q選取為3確實比較恰當。4、ARCH模型是對的嗎？如果ARCH模型選取正確，即回歸殘差的條件方差是按規(guī)律變化的，那么標準化殘差就會服從標準正態(tài)分布，即不會有ARCH效應(yīng)了。對q為3的ARCH模型做LM test，發(fā)現(xiàn)沒有了ARCH效應(yīng)。注意，雖然是同一個檢驗名稱，但是ARCH過程后是對標準化殘差進行檢驗。注意觀察被解釋變量或者依賴變量是什么？ARCH Test:F-statistic0.238360 Probability0.992099Obs*R-squared2.470480 Probability0.991299Test Eq

19、uation:Dependent Variable: STD_RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:56Sample(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C1.1023710.2649904.1600430.0000STD_RESID2(-1)-0.0385450.065360-0.5897410.5559STD_RESID2(-2)

20、-0.0038040.065308-0.0582520.9536STD_RESID2(-3)-0.0573130.065303-0.8776490.3810STD_RESID2(-4)-0.0103250.065277-0.1581690.8745STD_RESID2(-5)0.0035370.0652800.0541850.9568STD_RESID2(-6)-0.0074200.065274-0.1136700.9096STD_RESID2(-7)0.0633170.0652640.9701650.3330STD_RESID2(-8)-0.0121670.065293-0.1863400.

21、8523STD_RESID2(-9)-0.0106530.065278-0.1631940.8705STD_RESID2(-10)-0.0202110.065228-0.3098450.7570R-squared0.010084 Mean dependent var1.007544Adjusted R-squared-0.032221 S.D. dependent var2.112747S.E. of regression2.146514 Akaike info criterion4.409426Sum squared resid1078.160 Schwarz criterion4.5666

22、25Log likelihood-529.1546 F-statistic0.238360Durbin-Watson stat2.000071 Prob(F-statistic)0.992099方程整體是不顯著的。還可以觀察標準化殘差A(yù)RCH建模以后，procs/make residual series/可以產(chǎn)生殘差和標準化殘差，以下分別是殘差和標準化殘差?？梢钥闯鰶]有了集群現(xiàn)象。還可以觀察波動率（條件方差）的圖形。對比r和殘差的圖形，發(fā)現(xiàn)條件方差的起伏與波動率的大小一致。ARCH建模以后，procs/make garch variance series/ 得到結(jié)論：ARCH模型確實很好描述了

23、股票市場收益率的波動性?？梢杂^察系數(shù)之和小于1，滿足平穩(wěn)性條件。§3、GARCH模型ARCH (q) 模型 是關(guān)于st2的分布滯后模型。為避免t2的滯后項過多，可采用加入st2的滯后項的方法，此方法是Bollerslov（1986）提出的GARCH模型（Generalized ARCH），主要就是針對q較大的情形1、模型定義條件方差方程ü 均值üü ：過去的條件方差（也即預(yù)測方差，forecast variance）注意：均值方程中若沒有解釋變量（即只有常數(shù)，如R C），則R2沒有直觀定義了，因此可為負）例2 GARCH(1,1) Model標準的GAR

24、CH(1,1)描述為： （a） （b）（a）式是均值的方程，帶誤差項的外生變量的函數(shù)。因為是基于過去信息的一步向前預(yù)測方差，所以稱為條件方差。條件方差的方程有三項。是均值項； 在 GARCH(1,1) 的(1,1) 表明有1階GARCH項和1階ARCH 項。一個ARCH 模型是GARCH模型的特殊情況，即當條件方差的方程中沒有條件方差的滯后項時，即： （c） （d）如果對（2）式右邊進行迭代?？梢杂羞@說明GARCH(1,1)的條件方差是以前的所有隨機干擾項平方的加權(quán)和與共同部分構(gòu)成。令,將其代入(b)得,由此可見，殘差平方服從一個ARMA(1,1)過程。自回歸因子的根為，如果接近1，則沖擊是長

25、久的。2、GARCH(p, q) 模型的穩(wěn)定性條件計算擾動項的無條件方差：從上式可推出穩(wěn)定條件：0 £ 為使模型有意義，系數(shù)還需要滿足下面兩條1) > 0, ai ³ 0, i = 1, 2, q,2) i ³ 0, j = 1, 2, p 3、GARCH模型的參數(shù)估計采用極大似然估計GARCH模型的參數(shù)。下面以GARCH(1, 1)為例。由GARCH(1, 1)模型可以得到y(tǒng)t的分布為由正態(tài)分布的定義公式，得到y(tǒng)t的pdf為第t個觀察樣本的對數(shù)似然函數(shù)值為其中注意yi和yj之間不相關(guān)，因而是獨立的。似然函數(shù)為取對數(shù)就得到了所有樣本的對數(shù)似然函數(shù)。其中條件方

26、差項以非線性方式進入似然函數(shù)，所以不得不使用迭代算法求解。4、模型的選擇兩條原則：1） 若ARCH(q)中q太大，比如q大于7時，則選擇GARCH(p, q)2） 使用AIC和SC準則，選擇最優(yōu)的GARCH模型3） 對于金融時間序列，一般選擇GARCH(1, 1)就夠了。回顧AIC和SC定義：1）AIC準則（Akaike information criterion）AIC越小越好，結(jié)合如下兩者：K（自變量個數(shù)）減少，模型簡潔LnL增加，模型精確2）SC準則（Schwaz criterion）習題1：通貨膨脹率有ARCH效應(yīng)嗎？Greene P572點擊數(shù)據(jù)文件usinf_greene_p572

27、。進行回歸ls inflation c inflation(-1)Dependent Variable: INFLATIONMethod: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:37Sample(adjusted): 1941 1985Included observations: 45 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C2.4328590.8163452.9801840.0047INFLATION(-1)0.4932130.1311573.76046

28、60.0005R-squared0.247477 Mean dependent var4.740000Adjusted R-squared0.229976 S.D. dependent var4.116784S.E. of regression3.612519 Akaike info criterion5.450114Sum squared resid561.1625 Schwarz criterion5.530410Log likelihood-120.6276 F-statistic14.14110Durbin-Watson stat1.612442 Prob(F-statistic)0.

29、000507檢驗ARCH效應(yīng)ARCH Test:F-statistic0.215950 Probability0.953308Obs*R-squared1.231192 Probability0.941850Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:46Sample(adjusted): 1946 1985Included observations: 40 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-

30、StatisticProb. C9.2705227.4255671.2484600.2204RESID2(-1)-0.0311620.170116-0.1831840.8557RESID2(-2)-0.0068860.170151-0.0404690.9680RESID2(-3)0.1162610.1695050.6858880.4974RESID2(-4)0.0185450.1706200.1086940.9141RESID2(-5)0.1279060.1686430.7584390.4534R-squared0.030780 Mean dependent var12.28323Adjust

31、ed R-squared-0.111753 S.D. dependent var34.15088S.E. of regression36.00858 Akaike info criterion10.14287Sum squared resid44085.00 Schwarz criterion10.39620Log likelihood-196.8574 F-statistic0.215950Durbin-Watson stat1.034796 Prob(F-statistic)0.953308習題2：通貨膨脹率有ARCH效應(yīng)嗎？Lin的數(shù)據(jù)集 點擊usinf文件series dp=100*D

32、(log(p)ls dp c dp(-1) dp(-2) dp(-3)Dependent Variable: DPMethod: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:10Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.1099070.0634051.7334100.0854DP(-1)0.3935830.0844324.6615360.0000

33、DP(-2)0.2030930.0894522.2704050.0249DP(-3)0.3020730.0841853.5882140.0005R-squared0.696825 Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.689719 S.D. dependent var0.711412S.E. of regression0.396277 Akaike info criterion1.016428Sum squared resid20.10054 Schwarz criterion1.103785Log likelihood-63.08423

34、F-statistic98.06599Durbin-Watson stat1.970959 Prob(F-statistic)0.000000ARCH Test:F-statistic0.969524 Probability0.439318Obs*R-squared4.892009 Probability0.429201Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04 Time: 10:13Sample(adjusted): 1952:2 1983:4Included observations

35、: 127 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.1081900.0353023.0646480.0027RESID2(-1)-0.0808320.090353-0.8946190.3728RESID2(-2)0.1079060.0884931.2193650.2251RESID2(-3)0.0811910.0888310.9139960.3625RESID2(-4)0.1107450.0884331.2522990.2129RESID2(-5)0.0312480.0887380.35

36、21340.7254R-squared0.038520 Mean dependent var0.147634Adjusted R-squared-0.001211 S.D. dependent var0.236307S.E. of regression0.236450 Akaike info criterion-7.13E-05Sum squared resid6.764921 Schwarz criterion0.134300Log likelihood6.004525 F-statistic0.969524Durbin-Watson stat1.990016 Prob(F-statisti

37、c)0.439318Dependent Variable: DPMethod: ML - ARCHDate: 11/19/04 Time: 10:16Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpointsConvergence achieved after 25 iterationsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. C0.1113020.0645121.7252820.0845DP(-1)0.3783170.0961983.9326910.0

38、001DP(-2)0.1883850.0862412.1844010.0289DP(-3)0.3237310.0983453.2917880.0010 Variance EquationC0.2924650.0491875.9459390.0000ARCH(1)-0.0297610.047805-0.6225630.5336GARCH(1)-0.8733240.267371-3.2663330.0011R-squared0.696453 Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.681883 S.D. dependent var0.711412

39、S.E. of regression0.401250 Akaike info criterion1.051145Sum squared resid20.12519 Schwarz criterion1.204021Log likelihood-62.37558 F-statistic47.79960Durbin-Watson stat1.938286 Prob(F-statistic)0.000000§、GARCH模型The ARCH-M Model(在方程中的回歸因子)如果將必要的外生變量或前定變量加到方差方程 (2)，得拓展的方程： 在方程（1） 描述外生變量和前定變量。如果把條

40、件方差引入這個均值方程，則得到所謂的 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987)。ARCH-M模型經(jīng)常用在金融應(yīng)用研究中，財產(chǎn)的期望收益與期望風險緊密相關(guān)。期望風險的估計參數(shù)是風險與收益互換的測度。§在Eviews中估計GARCH(p,q) Model的詳細方法首先選擇Quick/Estimate Equation鍵或選擇Object/New Object/Equation，再選擇ARCH 選項，有對話框。然后選擇需要的均值方程、方差方程、估計方法和樣本容量；均值方程（The Mean Equation Spec

41、ification）的選項在被解釋變量的編輯框中鍵入均值方程的變量或方程。如果估計的是ARCH-M 模型，還應(yīng)該選擇右上角的適當選項。方差方程的選項（Variance Regressors）在Variance Regressors 框中可以有選擇的列出你希望加入的回歸因子。值得注意的是EViews 已經(jīng)加入了常數(shù)項，不需要再加入。 ARCH 模型的說明（ARCH Specification）在前面我們已經(jīng)知道了估計GARCH模型，必須給出ARCH和GARCH項. 默認是 GARCH(1,1)。為了估計標準的GARCH模型，點擊GARCH 按紐。估計選項 EViews 提供了一個進入選擇項的按紐， 進入后可以將所需要的填入