復(fù)數(shù)的概念楊浦高中培訓(xùn)機(jī)構(gòu)新王牌Word版

1、一、復(fù)習(xí)引入：數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的.早在人類社會(huì)初期，人們?cè)卺鳙C、采集果實(shí)等勞動(dòng)中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了1，2，3，4等數(shù)以及表示“沒(méi)有”的數(shù)0.自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集N隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也得到發(fā)展為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數(shù)的需要，人們又引進(jìn)了負(fù)數(shù).這樣就把數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集Q.顯然NQ.如果把自然數(shù)集(含正整數(shù)和0)與負(fù)整數(shù)集合并在一起，構(gòu)成整數(shù)集Z，則有ZQ、NZ.如果把整數(shù)看作分母為1的分?jǐn)?shù)，那么有理數(shù)集實(shí)際上就是分?jǐn)?shù)集有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長(zhǎng)去度量它的對(duì)角線所

2、得的結(jié)果，無(wú)法用有理數(shù)表示，為了解決這個(gè)矛盾，人們又引進(jìn)了無(wú)理數(shù).所謂無(wú)理數(shù)，就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).有理數(shù)集與無(wú)理數(shù)集合并在一起，構(gòu)成實(shí)數(shù)集R.因?yàn)橛欣頂?shù)都可看作循環(huán)小數(shù)(包括整數(shù)、有限小數(shù))，無(wú)理數(shù)都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)集實(shí)際上就是小數(shù)集因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本身來(lái)說(shuō)，也解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的矛盾，分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾，負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾，無(wú)理數(shù)解決了開(kāi)方開(kāi)不盡的矛盾.但是，數(shù)集擴(kuò)到實(shí)數(shù)集R以后，像x2=1這樣的方程還是無(wú)解的，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于1.由于解方程的需要，人們引入了一個(gè)新數(shù)，

3、叫做虛數(shù)單位.并由此產(chǎn)生的了復(fù)數(shù)二、講解新課：1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即; (2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.2. 與1的關(guān)系: 就是1的一個(gè)平方根，即方程x2=1的一個(gè)根，方程x2=1的另一個(gè)根是!3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14.復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示*3. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式4. 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)1 / 5b

4、=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+bi(a、bR)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b0時(shí)，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，z就是實(shí)數(shù)0.5.復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：NZQRC.6. 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等這就是說(shuō)，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d復(fù)數(shù)相等的定義是求復(fù)數(shù)值，在復(fù)數(shù)集中解方程的重要依據(jù)一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.現(xiàn)有一個(gè)命題：“任何兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大小”對(duì)嗎？不對(duì)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)

5、數(shù)時(shí)才不能比較大小7. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系這是因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)，由復(fù)數(shù)相等的定義可知，可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)惟一確定，如z=3+2i可以由有序?qū)崝?shù)對(duì)(3，2)確定，又如z=2+i可以由有序?qū)崝?shù)對(duì)(2，1)來(lái)確定；又因?yàn)橛行驅(qū)崝?shù)對(duì)(a，b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，如有序?qū)崝?shù)對(duì)(3，2)它與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A，橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為2，建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系由此可知，復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)可用

6、點(diǎn)Z(a，b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù) 對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0，0)， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)(0，0)表示實(shí)數(shù)0，實(shí)軸上的點(diǎn)(2，0)表示實(shí)數(shù)2，虛軸上的點(diǎn)(0，1)表示純虛數(shù)i，虛軸上的點(diǎn)(0，5)表示純虛數(shù)5i非純虛數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在四個(gè)象限，例如點(diǎn)(2，3)表示的復(fù)數(shù)是2+3i，z=53i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(5，3)在第三象限等等.復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這是因

7、為，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法.三、講解范例：例1請(qǐng)說(shuō)出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，有沒(méi)有純虛數(shù)？答：它們都是虛數(shù)，它們的實(shí)部分別是2，3，0，;虛部分別是3，;i是純虛數(shù).例2 復(fù)數(shù)2i+3.14的實(shí)部和虛部是什么？答：實(shí)部是3.14，虛部是2.易錯(cuò)為：實(shí)部是2，虛部是3.14！例3實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+(m1)i是:(1)實(shí)數(shù)？ (2)虛數(shù)？ (3)純虛數(shù)？分析因?yàn)閙R，所以m+1，m1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)z=a+bi是實(shí)數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m

8、的值.解：(1)當(dāng)m1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)m10，即m1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；(3)當(dāng)m+1=0，且m10時(shí)，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z 是純虛數(shù).例4已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x，yR，求x與y.解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組，所以x=，y=4四、課堂練習(xí)：1.設(shè)集合C=復(fù)數(shù)，A=實(shí)數(shù)，B=純虛數(shù)，若全集S=C，則下列結(jié)論正確的是( )A.AB=C B. A=B C.AB= D.BB=C2.復(fù)數(shù)(2x2+5x+2)+(x2+x2)i為虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x滿足( )A.x= B.x=2或 C.x2 D.x1且x23.已知集合M=1，2，(m23m1)+(m25m6)i，集合P=

9、1，3.MP=3，則實(shí)數(shù)m的值為( )A.1 B.1或4 C.6 D.6或14.滿足方程x22x3+(9y26y+1)i=0的實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)表示的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_.5.復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)，則z1=z2的充要條件是_.6.設(shè)復(fù)數(shù)z=log2(m23m3)+ilog2(3m)(mR)，如果z是純虛數(shù)，求m的值.7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)m的值.8.已知mR，復(fù)數(shù)z=+(m2+2m3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)zR; (2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)；(4)z=+4i.答案：1.D2.D 3. 解析：由題設(shè)知3M，m23m1+(m25m6)i=3，m=1，故選A.4. 解析：由題意知點(diǎn)對(duì)有(3，)，(1，)共有2個(gè).答案：25. 解析：z1=z2a=c且b2=d2.答案：a=c且b2=d26.解：由題意知，m=1.7. 解：方程化為(x2+mx