實變函數論考試試題及答案_第1頁
實變函數論考試試題及答案_第2頁
實變函數論考試試題及答案_第3頁
實變函數論考試試題及答案_第4頁
實變函數論考試試題及答案_第5頁
全文預覽已結束

下載本文檔

版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領

文檔簡介

1、實變函數論考試試題及答案證明題：60分1、證明 。證明：設，則，使一切，所以,則可知。設，則有,使，所以。 因此，=。2、若，對，存在開集, 使得且滿足 ，證明是可測集。證明：對任何正整數， 由條件存在開集，使得。令,則是可測集，又因，對一切正整數成立，因而=0，即是一零測度集，故可測。由知可測。證畢。3、設在上，且?guī)缀跆幪幊闪ⅲ? 則有a.e.收斂于。證明 因為，則存在，使在上a.e.收斂到。設是不收斂到的點集。，則。因此。在上，收斂到， 且是單調的。因此收斂到（單調序列的子列收斂，則序列本身收斂到同一極限）。即除去一個零集外，收斂于，就是 a.e. 收斂到。4、設,是上有限的可測函數。證明

2、存在定義于上的一列連續(xù)函數，使得 于。證明： 因為在上可測，由魯津定理，對任何正整數,存在的可測子集，使得，同時存在定義在上的連續(xù)函數，使得當時有=。 所以對任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 證畢5、設為a.e有限可測函數列，證明：的充要條件是。證明：若0，由于,則。又，,常函數1在上可積分，由勒貝格控制收斂定理得。反之，若（），而且，對，令,由于函數,當時是嚴格增加函數，因此。 所以，即6、設，a.e.有限的可測函數列和，分別依測度收斂于和，證明 。證明：因為于是，成立，所以即填空題：10分2、設。求在內的，。 解：， ， 。計算題：30分4、試構造一個閉的疏朗的集合，。解：在中去掉一個長度為的開區(qū)間，接下來在剩下的兩個閉區(qū)間分別對稱挖掉長度為的兩個開區(qū)間，以此類推，一般進行到第次時，一共去掉個各自長度為的開區(qū)間，剩下的個閉區(qū)間，如此重復下去，這樣就可以得到一個閉的疏朗集，去掉的部分的測度為。所以最后所得集合的測度為，即。8、試求 。解 令，則為非負連續(xù)函數，從而非負可積。根據積分逐項積

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論