八年級二次根式(教師講義帶答案)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第五章 二次根式【知識網(wǎng)絡(luò)】知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開方數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負(fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a 0 時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a 的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因為

2、二次根式（）表示a 的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0 的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0 ；若，則a=0,b=0 ；若，則a=0,b=0 。知識點四：二次根式（） 的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡

3、時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a 是正數(shù)還是負(fù)數(shù)， 若是正數(shù)或0，則等于a 本身，即；若 a 是負(fù)數(shù)，則等于a 的相反數(shù)-a,即；2、中的a 的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a 取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。知識點六：與的異同點1、不同點：與的平方的算術(shù)平方根；在表示的意義是不同的，中，而表示一個正數(shù) a 的算術(shù)平方根的平方，而中 a 可以是正實數(shù)， 0，負(fù)實數(shù)。但表示一個實數(shù)與都是非負(fù)數(shù)，a即，。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，2、相同點：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，而無意義，而.知識點七：二次根式的運算1二次根式的乘除運算(1)運算結(jié)果應(yīng)滿

4、足以下兩個要求：應(yīng)為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；(3)乘法公式的推廣：a1 a2 a3ana1 a2 a3an (a1 0， a2 0，a3 0， ，an 0)2二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質(zhì)；3二次根式的混合運算(1) 對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；(2) 二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：學(xué)習(xí)必備歡迎下載怎樣快速準(zhǔn)確

5、地進(jìn)行二次根式的混合運算.1. 明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2. 在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3. 在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果 .(1) 加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進(jìn)行乘法運算，二是進(jìn)行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握 . 在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡 .例如826 ，沒有必要先對8進(jìn)行化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運

6、算，272782682643，通過約分達(dá)到化簡目的；2762273(2) 多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.3232221 ，利用了平方差公式 .如：32所以，在進(jìn)行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.4分母有理化把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化. 兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（ 1）a與a 互為有理化因式；（ 2）ab與 ab 互為有理化因式；一般地 acb與 ac b互為有理化因式；（ 3）ab與 ab 互為有理化因式；一般地ca db與 ca d b

7、互為有理化因式 .專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識性專題專題 1二次根式的最值問題【專題解讀】 涉及二次根式的最值問題，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況來決定應(yīng)采用的方法，不能一概而論，但一般情況下利用二次根式的非負(fù)性來求解.例 1當(dāng) x 取何值時，9x 13 的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非負(fù)性可知9x1 0，即 9x 1 的最小值為0，因為 3 是常數(shù)，所以9x 13 的最小值為 3.解：9 x1 0， 9x 133 ，當(dāng) 9x+1=0，即 x19x 13 3 有最小值，最小值為 3.時，9【解題策略】 解決此類問題一定要熟練掌握二次根式的非負(fù)性，即a 0（ a 0） .專題 2二次根式的化簡及混合運

8、算【專題解讀】 對于二次根式的化簡問題，可根據(jù)定義，也可以利用a2 | a |這一性質(zhì)，但應(yīng)用性質(zhì)時，要根據(jù)具體情況對有關(guān)字母的取值范圍進(jìn)行討論.學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 2下列計算正確的是（）A. 822B.27129413C. (2+5)(2-5)1D. 62322分析根據(jù)具體選項，應(yīng)先進(jìn)行化簡，再計算. A選項中， 822222，B 選若可化為 33233， C 選項逆用平方差公式可求得（25）（ 2-5） = 4- 5= - 1，而 D 選項應(yīng)將33分子、分母都乘2，得 62232 -1. 故選 A.2例 3計算( 21)2006 ( 21)2007的結(jié)果是（）A. 1B. -1C.21D.

9、21分析本題可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，將原式化為( 21)(21)2006 (21)2 1.故選 D.例 4書知 yx244 x2x2x 8，求 x y y x2 14的值 .2x分析本題主要利用二次根式的定義及非負(fù)性確定x 的值，但要注意所得x 的值應(yīng)使分式有意義 .x20,4解：由二次根式的定義及分式性質(zhì)，得4x,x2,2020,xy22442222287 ,222x y y x 2 14 2 7 72 2142214722147214.22【解題策略】本題中所求字母x 的取值必須使原代數(shù)式有意義 .例 5化簡4a212a9-4a2 - 20a25（ 3 a 5） .22

10、解：3 5， ， ，,2a3 2a5 2a -3 0 2a -502原式（2a3)2(2 a5) 2| 2a3 | 2a5 |(2 a3)(2 a5)4a8. ，【解題策略】本題應(yīng)根據(jù)條件直接進(jìn)行化簡，主要應(yīng)用性質(zhì)a2| a |a(a0)-a(a0).例 6已知實數(shù)， a， b， c在數(shù)軸上的位置如圖21-8所示，化簡圖 21-8學(xué)習(xí)必備歡迎下載| a |( ac)2(ca)2b2 .解：由 a，b， c 在數(shù)軸上的位置可知： 0c a0,ba c 0,c a 0,原式 | a | | a c | | c a | |b |a(ac)(ca)baaccaba b.【解題策略】利用間接給出的或隱含

11、的條件進(jìn)行化簡時，要充分挖掘題目中的隱含條件，再進(jìn)行化簡.例7 化簡 | x 1|x24x 4.解：原式| x 1|( x2) 2| x1| | x 2 |.令 x 1 0, x 20，得 x11, x22,于是實數(shù)集被分為x -1， 1 x2, x2三部分，當(dāng) 時，x0,x-11 0, x - 2原式-( x1)(x - 2)-3.當(dāng)時， .-1 x 2x 1 0, x - 2 0原式(x1)( x 2)2x1.當(dāng) x2時， x10, x 20,原式 （x1)( x 2)3.3(x1)，原式2x1( 1x2)，3(x2).規(guī)律·方法 對于無約束條件的化簡問題需要分類討論，用這種方法

12、解題分為以下步驟：首先，求出絕對值為零時未知數(shù)的值，這些未知數(shù)的值在數(shù)軸上的對應(yīng)點稱為零點；其次，以這些零點為分點，把數(shù)軸劃分為若干部分，即把實數(shù)集劃分為若干個集合，在每個集合中分別進(jìn)行化簡，簡稱“零點分區(qū)間法”.例 8已知 a b3,ab12,求 baab的值.ba分析這是一道二次根式化簡題，在化為最簡二次根式的過程中，要注意a，b 的符號，本題中沒明確告訴，a，b的符號，但可從 a+b=-3 ， ab=12 中分析得到 .解：+ =-3，=12，a0， 0.a babbb aa bb· aba· ab2 ab212 43.baba【解題策略】本題最容易出現(xiàn)的錯誤就是不考

13、慮a， b 的符號，把所求的式子化簡，直接代入.專題 3利用二次根式比較大小、進(jìn)行計算或化簡例 9估計 32×1 +20 的運算結(jié)果應(yīng)在（）2A. 6到 7之間B. 7到8之間C. 8到 9之間D. 9到10之間分 析本題應(yīng)計算出所給算式的結(jié)果，原式16204 2 5，由于 4 5 6.2，5即學(xué)習(xí)必備歡迎下載252.5，所以 84259 . 故選 C.例 10已知 m是13 的整數(shù)部分， n 是13 的小數(shù)部分，求mn 的值 .mn解： 9 13 16， 9 13 16 ，即 313 4 13 的整數(shù)部分為 3，即 m=3， 13 的小數(shù)部分為 13-3 ，即 n= 13 3，m

14、n 3 （13 -3）6 13 61313m n 3 (13 3)13.13二、規(guī)律方法專題專題 4配方法【專題解讀】把被開方數(shù)配方，進(jìn)而應(yīng)用a2 =| a| 化簡 .例11 化簡 526.解：52632232( 3)2( 2)22 32(32) 2| 32 |32.規(guī)律· 方法一般地， 對于 a2b 型的根式， 可采用觀察法進(jìn)行配方，即找出 x，y( x y0) ，使得 xy=b，x+y=a，則 a2 b (xy)2 ，于是a2b(xy )2xy ，從而使a 2 b 得到化簡 .例 12若 ，為實數(shù)，且=35a5a315 ，試求ba2ba2的值.abbabab分析本題中根據(jù) = 3

15、5a5a315 可以求出，對ba2ba babba2 的被開方數(shù)進(jìn)行配方、化簡 .ab3 ，解：由二次根式的性質(zhì)得5a03 5a0. a3 .5a ，305b15， ab0, ab0.學(xué)習(xí)必備歡迎下載ba2ba(a b)2(a b) 2aba2ababbababb aababababbaababab2 ab.b當(dāng) a3，b15時，原式23 152 .51555【解題策略】對于形如 ba2ba2( a b)2或 (ab)2的形式， 當(dāng)它們作為被+b或b形式的代數(shù)式都要變?yōu)閍baaab開方式進(jìn)行化簡時，要注意ab和 ab以及 ab的符號 .專題 5換元法【專題解讀】通過換元將根式的化簡和計算問題轉(zhuǎn)

16、化為方程問題.例 13計算3535.解：令 x= 3535 ，兩邊同時平方得：x2(3535) 2， x2=（ 35）（35 ）+235×35 =10x0， x10，即原式10.專題 6代入法【專題解讀】通過代入求代數(shù)式的值 .例 14已知 a2b 2400,ab25760, 求 a2b2的值.解：由 a2b2400, ab25760，兩式相除得 b2.4a，a2b2400, 2.4a32400,a31000, a10,b2.41024,a2b210224 267626.專題 7約分法【專題解讀】通過約去分子和分母的公因式將第二次根式化簡.例 15化簡23261015.學(xué)習(xí)必備歡迎下

17、載解：2323（）（261015223)235231（2）(2+5)2+53525252 .（5）(52)5232例 16化簡 xyyx).( x2xyxyy解：原式xy(xy )xyxy(xy )x y y x( xy )2xy( xy )( xy ).x y三、思想方法專題專題 8類比思想【專題解讀】類比是根據(jù)兩對象都具有一些相同或類似的屬性，并且其中一個對象還具有另外某一些屬性，從而推出另一對象也具有與該對象相同或相似的性質(zhì). 本章類比同類項的概念，得到同類二次根式的概念，即把二次根式化簡成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式叫做同類二次根式. 我們還可以類比合并同類項去合并

18、同類二次根式 .例 17 計算.（1） 3+23；（ ）1821223.2解：（ 1）原式 =（ 1+2）3 =33 .（ 2）原式 =32- 2+2 3+2 3=2 2+4 3.【解題策略】對于二次根式的加減法，應(yīng)先將各式化為最簡二次根式，再類比合并同類項的方法去合同類二次根式 .專題 9轉(zhuǎn)化思想【專題解讀】當(dāng)問題比較復(fù)雜難于解決時，一般應(yīng)采取轉(zhuǎn)化思想，化繁為簡，化難為易，本章在研究二次根式有意義的條件及一些化簡求值問題時，常轉(zhuǎn)化為不等式或分式等知識加以解決.例 18函數(shù) y=2x 4 中，自變量 x 的取值范圍是.分析本題比較容易，主要考查函數(shù)自變量的取值范圍的求法，本題中2x 4是二次根

19、式，所以被開方數(shù)2 -4x 0, 所以 x 2. 故填 x 2.例 19如圖 21-9 所示的是一個簡單的數(shù)值運算程序，若輸入x 的值為3 ，則輸出的數(shù)值為.圖 21-9分析本題比較容易， 根據(jù)程序給定的運算順序?qū)栴}化為二次根式求值問題，易知圖中所表示的代數(shù)式為x2 1，代入可知（3 ） 2-1=2. 故填 2.專題 10分類討論思想學(xué)習(xí)必備歡迎下載【專題解讀】當(dāng)遇到某些數(shù)學(xué)問題存在多種情況時，應(yīng)進(jìn)行分類討論. 本意在運用公式a2| a |進(jìn)行化簡時，若字母的取值范圍不確定，應(yīng)進(jìn)行分類討論.例 20若化簡 |1x |x28x16 的結(jié)果為 2x5 ，則 x 的取值范圍是（）A. x 為任意實

20、數(shù)B. 1 x4C. x 1D.x 4分析由題意可知|1x | x4 |2x5 ，由此可知|1x |x1，且 | x4 |4x ，由絕對值的意義可知x10 ，且 4x0 ，所以 1 x 4，即 x 的取值范圍是 1x4 . 故選 B.【解題策略】對a2 和| a| 形式的式子的化簡都應(yīng)分類討論.例 21 如圖 21-10 所示的是一塊長、 寬、高分別為 7cm，5cm 和 3cm 的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點 A 處，沿著長方體的表面爬到和頂點A相對的頂點 B處吃食物，那么它要爬行的最短路徑的長是多少？分析 這是一個求最短路徑的問題，一個長方體有六個面，螞蟻有三種不同的爬行方

21、法，計算時要分類討論各種方法，進(jìn)而確定最佳方案 .解：沿前、右兩個面爬，路徑長為沿前、上兩個面爬，路徑長為沿左、上兩個面爬，路徑長為(57) 232153 (cm).(37) 252125(cm).圖 21-10(35)272113(cm).所以它要爬行的最短路徑長為113 cm.規(guī)律·方法 沿表面從長方體的一個頂點爬到相對的頂點去，共有三個爬行路線，每個路線長分別是它爬行兩個展開圖的對角線的長 .二次根式單元測試題（一）判斷題： （每小題1 分，共5 分）1(2) 2 ab 2ab （）232 的倒數(shù)是3 2（）( x1)2 ( x1) 2 （）34ab 、1a3b 、2a 是同類

22、二次根式（）3xb58x ，1 ， 9x2 都不是最簡二次根式 （）32 分，共20 分）（二）填空題： （每小題6當(dāng) x_ 時，式子1有意義x37化簡152 10÷25 82712a38 a a 21 的有理化因式是 _ 9當(dāng) 1 x 4 時， |x 4|x22x 1 _ 學(xué)習(xí)必備歡迎下載10方程2 （ x 1） x 1 的解是 _ 11已知 a、 b、 c 為正數(shù)， d 為負(fù)數(shù)，化簡abc2 d2 _abc2 d 212比較大小：21_1 74313化簡： ( 7 5 2 ) 2000·( 7 5 2 ) 2001 _14若 x1 y3 0，則 ( x1) 2 ( y

23、3) 2 _15 x，y 分別為 811 的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2xy y2 _ （三）選擇題： （每小題3 分，共 15 分）16已知x33x2 xx3 ，則（）（ A ） x 0（ B） x 3（C） x 3（ D） 3x 017若 x y 0，則x22xy y 2 x22xyy2（）（ A ） 2x（ B） 2y（ C） 2x（ D） 2y18若 0 x 1，則(x1)24 ( x1) 24 等于（）xx（A） 2（B） 2（ C） 2x（ D） 2xxx19化簡a3( a 0 ) 得（）a（ A ）a（ B）a（C）a（D ）a20當(dāng) a 0， b 0 時， a 2ab b 可變形為

24、（）（ A ） ( ab )2（B） (ab) 2（ C） (ab )2（ D ） (ab ) 2（四）計算題： （每小題6 分，共 24 分）21（532）（532）；22542；1174113723（ a2 n abmn nm ）÷ a2 b2n ；m mmnm學(xué)習(xí)必備歡迎下載24（ a bab ）÷（ab a b ）（ ab）ababbab aab（五）求值：（每小題7 分，共 14分）25已知 x32 ，y32 ，求x3xy2x2 y3的值3232x4 y 2x3 y226.當(dāng) x 12 時，求a2xa 2 2xx2a21的值x2x x2x2x x2a2x2a 2六

25、、 解答題：（每小題8 分，共 16 分）27.計算（ 25 1）（1111）23991234100若 ，為實數(shù)，且 14x 4x 11求xyxy28.y22的值x y2yyxx（一）判斷題： （每小題1分，共 5分）1、【提示】(2) 2 | 2| 2【答案】×2、【提示】132 （3 2）【答案】×32343(x1)|x1|x 1x 1x1x可取任何數(shù)【答案】、【提示】2 ， ( x1)2 （ ）兩式相等，必須 但等式左邊×4、【提示】1a3 b 、2a 化成最簡二次根式后再判斷【答案】3xb5、 9 x2是最簡二次根式 【答案】×學(xué)習(xí)必備歡迎下載（

26、二）填空題： （每小題2 分，共20 分）6、【提示】x 何時有意義？ x0分式何時有意義？分母不等于零【答案】 x0 且 x97、【答案】 2aa 【點評】注意除法法則和積的算術(shù)平方根性質(zhì)的運用8、【提示】（ aa21 ）（_） a2 (a2 1)2 aa21【答案】 a a 2 19、【提示】 x2 2x 1（） 2， x 1當(dāng) 1 x 4 時， x 4，x 1 是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？x 4 是負(fù)數(shù)， x1 是正數(shù)【答案】 310、【提示】把方程整理成ax b 的形式后， a、 b 分別是多少？21 ，2 1【答案】 x 322 11、【提示】c2d 2|cd| cd【答案】ab cd【點評】a

27、b (ab )2 （ ab 0），ab c2d2（ab cd ）（abcd ）12、【提示】 2 7 28，43 48【答案】【點評】先比較28 ，48 的大小，再比較1，1的大小，最后比較1與1的大小2848284813、【提示】 ( 7 5 2 ) 2001 ( 7 52 ) 2000·（_） 752 （752 ）·（ 7 52 ）？ 1 【答案】 752 【點評】注意在化簡過程中運用冪的運算法則和平方差公式14、【答案】 40【點評】x 1 0，y 3 0當(dāng)x1 y 3 0 時， x 1 0， y3 015、【提示】3 11 4，_ 811 _ 4， 5 由于 811 介于 4 與 5 之間，則其整數(shù)部分 x？小數(shù)部分y？ x 4，y 411 【答案】 5【點評】求二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分時，先要對無理數(shù)進(jìn)行估算在明確了二次根式的取值范圍后，其整數(shù)部分和小數(shù)部分就不難確定了（三）選擇題： （每小題3 分，共15 分）16、【答案】 D（ A ）、（ C）不正確是因為只考慮了其中一個算術(shù)平方根的意義【點評】本題考查積的算術(shù)平方根性質(zhì)成立的條件，17、【提示】x y 0，x y0， x y 0x