最新高中數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用典例精析題型一函數(shù)與數(shù)列的綜合問題【例1】已知f(x)logax(a0且a1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，f(an)(nn*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.(1)設(shè)a是常數(shù)，求證：an成等比數(shù)列；來源:(2)若bnanf(an)，bn的前n項(xiàng)和是sn，當(dāng)a時(shí)，求sn.【解析】(1)f(an)4(n1)×22n2，即logaan2n2，所以ana2n2，所以a2(n2)為定值，所以an為等比數(shù)列. (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2，當(dāng)a時(shí)，bn(2n2) ·()2n2(n1) ·2n2，sn2·233

2、·244·25(n1) ·2n2，2sn2·243·25n·2n2(n1)·2n3，兩式相減得sn2·2324252n2(n1)·2n316(n1)·2n3，來源:所以snn·2n3.【點(diǎn)撥】本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而問題得到求解.【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)xmax的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x1，則數(shù)列(nn*)的前n項(xiàng)和是()a. b. c. d.【解析】由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.所以f

3、(x)x2x，則.所以sn11.故選c.題型二數(shù)列模型實(shí)際應(yīng)用問題【例2】某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭，到2009年底全縣的綠化率已達(dá)30%，從2010年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化.(1)設(shè)全縣面積為1,2009年底綠化面積為a1，經(jīng)過n年綠化面積為an1，求證：an1an；(2)至少需要多少年(取整數(shù))的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？來源:【解析】(1)證明：由已知可得an確定后，an1可表示為an1an(14%)(1an)16%，即an180%an16%an.來源:數(shù)理化網(wǎng)(2)由an

4、1an有，an1(an)，又a10，所以an1·()n，即an1·()n，若an1，則有·()n，即()n1，(n1)lg lg 2，(n1)(2lg 2lg 5)lg 2，即(n1)(3lg 21)lg 2，所以n14，nn*，所以n取最小整數(shù)為5，故至少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.【點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題.【變式訓(xùn)練2】規(guī)定一機(jī)器狗每秒鐘只能前進(jìn)或后退一步，現(xiàn)程序設(shè)計(jì)師讓機(jī)器狗以“前進(jìn)3步，然后再后退2步”的規(guī)律進(jìn)行移動(dòng).如果將此機(jī)器狗放在數(shù)軸的原點(diǎn)，面向正

5、方向，以1步的距離為1單位長移動(dòng)，令p(n)表示第n秒時(shí)機(jī)器狗所在的位置坐標(biāo)，且p(0)0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()a.p(2 006)402b.p(2 007)403c.p(2 008)404d.p(2 009)405【解析】考查數(shù)列的應(yīng)用.構(gòu)造數(shù)列pn，由題知p(0)0，p(5)1，p(10)2，p(15)3.所以p(2 005)401，p(2 006)4011402，p(2 007)40111403，p(2 008)4013404，p(2 009)4041403.故d錯(cuò).題型三數(shù)列中的探索性問題【例3】an，bn為兩個(gè)數(shù)列，點(diǎn)m(1,2)，an(2，an)，bn(，)為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)

6、.(1)對(duì)nn*，若點(diǎn)m，an，bn在同一直線上，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足log2cn，其中cn是第三項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，求證：點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)在同一直線上，并求此直線方程.【解析】(1)由，得an2n.(2)由已知有cn22n3，由log2cn的表達(dá)式可知：2(b12b2nbn)n(n1)(2n3)，所以2b12b2(n1)bn1(n1)n(2n5).得bn3n4，所以bn為等差數(shù)列.故點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)共線，直線方程為y3x4.【變式訓(xùn)練3】已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為sn(nn*).若a11，a43，s39，則通項(xiàng)公式an.【解析】本題考查二元一次不等式的整數(shù)解以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.由a11，a43，s39得令xa1，yd得在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域如圖所示.符合要求的整數(shù)點(diǎn)只有(2,1)，即a12，d1.所以an2n1n1.故答案填n1.總結(jié)提高1.數(shù)列模型應(yīng)用問題的求解策略(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意；(2)依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)求解，或通過探索、歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解；(3)驗(yàn)證、反思結(jié)果與實(shí)際是否相符.2.數(shù)列綜合問題的求