無究級數(shù)(修改)

1、1計算極限計算極限)1(lim1exxxxxx 解：解：)1(lim1exxxxxx 1)1(lim1 xxxxexe)1ln(1 lim1xxxxex tttextt)11ln(11lim110 20)11ln(lim1tttet tttet2)11)(1(1lim120 洛比達(dá)法則洛比達(dá)法則ttet2111lim10 tttet21lim10 )1(21lim10 tete212( (一一) )正項(xiàng)級數(shù)的審斂法正項(xiàng)級數(shù)的審斂法定義定義1 1nssss321如果如果sn數(shù)列有界，則數(shù)列有界，則根據(jù)單調(diào)有界的數(shù)列必有極限根據(jù)單調(diào)有界的數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知，級數(shù)的準(zhǔn)則知，級數(shù) 必必收斂收斂，反之

2、亦然。，反之亦然。 如果如果sn無界，級數(shù)發(fā)散于正無窮大。無界，級數(shù)發(fā)散于正無窮大。定理定理1 1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列sn有界有界. .若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)都是非負(fù)的，的每一項(xiàng)都是非負(fù)的， 1nnu即即un0(n=1,2,3, )則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1nnu為正項(xiàng)級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù) 1nnu3定理定理2 2 設(shè)兩個正項(xiàng)級數(shù)設(shè)兩個正項(xiàng)級數(shù),1 nnv 1nnu和和且且unvn (n=1,2,3, ) 1nnv 1nnu收斂收斂,(1)如果級數(shù)如果級數(shù)則級數(shù)則級數(shù)收斂；收斂； 1nnv 1nnu發(fā)散發(fā)散,(2)如果級數(shù)如果級數(shù)則級數(shù)則

3、級數(shù)發(fā)散。發(fā)散。（比較審斂法）（比較審斂法）定理定理3 3( (極限審斂法極限審斂法) ) 設(shè)設(shè)1nnu為正項(xiàng)級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù) 1nnu(1)若若p1,而而, ,則級數(shù)則級數(shù)收斂；收斂；1nnu(2)若若, ,則級數(shù)則級數(shù)發(fā)散發(fā)散. .)0(lim llunnpn0lim lnunn或或 nnnulim4，那么當(dāng)，那么當(dāng)與與 1nnu1 nnv0lim nnnvu定理定理4 4 設(shè)有兩個正項(xiàng)級數(shù)設(shè)有兩個正項(xiàng)級數(shù)，若，若，那么這兩個級數(shù)或者同時收斂，那么這兩個級數(shù)或者同時收斂，或者同時發(fā)散?；蛘咄瑫r發(fā)散。0lim nnnvu1 nnv 1nnu nnnvulim1 nnv 1nnu發(fā)散時，發(fā)散時，

4、若若，那么當(dāng)，那么當(dāng)收斂時，收斂時，也收斂；也收斂；若若也發(fā)散。也發(fā)散。關(guān)于此準(zhǔn)則的補(bǔ)充問題關(guān)于此準(zhǔn)則的補(bǔ)充問題5達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾(dAlembert)判別法判別法 定理定理5 5 對于一個正項(xiàng)級數(shù)對于一個正項(xiàng)級數(shù) 1nnu或稱或稱比值審斂法比值審斂法.如果如果 nnnuu1lim，則，則當(dāng)當(dāng)1 時，級數(shù)時，級數(shù) 1nnu收斂收斂；當(dāng)當(dāng))( 1 時，級數(shù)時，級數(shù) 1nnu發(fā)散；發(fā)散；當(dāng)當(dāng)1 時，級數(shù)時，級數(shù) 1nnu可能收斂也可能發(fā)散?？赡苁諗恳部赡馨l(fā)散。6nnnulim 1nnu 1nnu存在，那么當(dāng)存在，那么當(dāng)1時級數(shù)時級數(shù)收斂，收斂，而當(dāng)而當(dāng)1時級數(shù)時級數(shù)發(fā)散發(fā)散。定理定理6 6( (根

5、值審斂法根值審斂法) ) 若極限若極限例如例如：級數(shù)：級數(shù) 1nnnen是發(fā)散的，因?yàn)楫?dāng)是發(fā)散的，因?yàn)楫?dāng)n時，時， nnnnnenu 1 ne7( (二二) )交錯級數(shù)的審斂法交錯級數(shù)的審斂法定理定理7 7定義定義2 設(shè)設(shè)un0(n=1,2,3,)，形如形如u1- -u2+u3- -u4+的級的級數(shù)稱為數(shù)稱為交錯級數(shù)交錯級數(shù)。如果交錯級數(shù)如果交錯級數(shù)滿足條件滿足條件 11)1(nnnu萊布尼茨判別法萊布尼茨判別法則交錯級數(shù)則交錯級數(shù) 11)1(nnnu收斂，且其和收斂，且其和su1，其余項(xiàng)的絕對值其余項(xiàng)的絕對值|un|un+1|。), 3 , 2 , 1() 1 (1 nuunn0lim)2(

6、 nnu8解：解：例例6 6 判別交錯級數(shù)判別交錯級數(shù)的收斂性。的收斂性。 nn1)1(41312111依題意，得依題意，得11,11 nununn則則1 nnuunnu lim0 nn1lim 所以交錯級數(shù)所以交錯級數(shù)收斂。收斂。 111)1(nnn9( (三三) )絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂定理定理8 8定義定義3 3如果級數(shù)如果級數(shù)中各項(xiàng)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，中各項(xiàng)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零， 1nnu 1nnu稱為稱為任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)。則級數(shù)則級數(shù)如果任意項(xiàng)級數(shù)如果任意項(xiàng)級數(shù)中各項(xiàng)的絕對值所中各項(xiàng)的絕對值所 1nnu組成的正項(xiàng)級數(shù)組成的正項(xiàng)級數(shù) 1nnu收斂，則級數(shù)收斂，則級數(shù)

7、 1nnu收斂。收斂。如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu收斂，則稱級數(shù)收斂，則稱級數(shù) 1nnu絕對收斂。絕對收斂。10定義定義4 4 1nnu如果任意項(xiàng)級數(shù)如果任意項(xiàng)級數(shù)，而級數(shù)，而級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1nnu條件收斂。條件收斂。11小小 結(jié)結(jié)1.1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2.2.利用正項(xiàng)級數(shù)審斂法利用正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件必要條件0lim nnu不滿足不滿足發(fā)散發(fā)散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 limn1nunu根值審斂法根值審斂法nnnulim1收斂收斂發(fā)散發(fā)散1不定不定 比較審斂法比較審斂法用它法判別用它法判別積分判別法

8、積分判別法部分和極限部分和極限1123.3.任意項(xiàng)級數(shù)審斂法任意項(xiàng)級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)，為收斂級數(shù)， 1nnuLeibniz判別法判別法: :01 nnuu0lim nnu則交錯級數(shù)則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂收斂概念：概念： 1nnu 1nnu絕對收斂。絕對收斂。條件收斂。條件收斂。設(shè)設(shè)若若收斂收斂, 稱稱 1nnu若若發(fā)散發(fā)散,稱稱 1nnu132.設(shè)設(shè)),3,2,1(0 nun, 1lim nnun則級數(shù)則級數(shù)).)(11()1(111 nnnnuu(A) 發(fā)散；發(fā)散； (B) 絕對收斂；絕對收斂；(C)條件收斂；條件收斂； (D)收斂性根據(jù)條件不能確定。收斂性根據(jù)條件不能確定。分析

9、：分析：,11nun (B) 錯錯 ;)(2111uunS又又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu且且, 1lim nnun由由知知14三、冪級數(shù)三、冪級數(shù)(一一)冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念(二二)冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(三三)函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)(四四)冪級數(shù)展開式在近似計算上的應(yīng)用舉例冪級數(shù)展開式在近似計算上的應(yīng)用舉例15( (一一) )冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念定義定義1 1例如例如 如果級數(shù)如果級數(shù)的各項(xiàng)是定義在某個區(qū)間的各項(xiàng)是定義在某個區(qū)間I上的函數(shù)，則稱這個級數(shù)為上的函數(shù)，則稱這個級數(shù)為 )()

10、()()(321xuxuxuxun函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。 12111nnnxxxx nxxxnxncos2coscoscos116 )()()()(0030201xuxuxuxun所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域。發(fā)散域。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù))(1xunn 的所有收斂點(diǎn)的全體稱為的所有收斂點(diǎn)的全體稱為收斂域收斂域，則稱則稱x0為級數(shù)為級數(shù))(1xunn 的的收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)如果如果Ix 0, ,數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，收斂，,否則稱為否則稱為發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn)。17lim( )0.nnr x在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)的函數(shù)s(x)，則，則稱稱s(x)為

11、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)部分和為項(xiàng)部分和為余項(xiàng)余項(xiàng))()()(xsxsxrnn )()()()(21xuxuxuxsn)()()()(21xuxuxuxsnn )()(limxsxsnn 18定義定義2 2冪級數(shù)的系數(shù)冪級數(shù)的系數(shù) 冪級數(shù)的一般形式是冪級數(shù)的一般形式是2010200nnaaxxaxxaxx形如形如 nnxaxaxaa2210的級數(shù)，的級數(shù)，稱為稱為冪級數(shù)。冪級數(shù)。 nnxxxx)1(132 ! 3! 2132nxxxxn19冪級數(shù)收斂域求法冪級數(shù)收斂域求法( (比值審斂法比值審斂法) ) 12111nnnxxxx當(dāng)當(dāng)|x|1時時,

12、 ,收斂；收斂； 當(dāng)當(dāng)|x|1時，時， 發(fā)散；發(fā)散；故收斂域是故收斂域是(- -1,1)。nnnuu1lim nnnnnxaxa11lim xaannn 1lim20定理定理1 1設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比的極限相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比的極限nnnxa 0,lim1 nnnaa(1)如果如果0+, ,則當(dāng)則當(dāng)時時,冪級數(shù)冪級數(shù)收斂，收斂，nnnxa 0 1 x當(dāng)當(dāng)時時,冪級數(shù)冪級數(shù)發(fā)散發(fā)散。nnnxa 0 1 x(3)如果如果=+=+, ,則冪級數(shù)則冪級數(shù)僅在僅在x=0處處收斂收斂。nnnxa 0(2)如果如果=0=0, ,則對任意則對任意x(- -,+)冪級數(shù)冪級數(shù)收斂收斂;nnnxa 021

13、),(RR),RR,(RR,RR定理定理2 2設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比的極限相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比的極限nnnxa 0,lim1 nnnaa則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxa 0的收斂半徑的收斂半徑 , 00,0,1R冪級數(shù)冪級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間22求冪級數(shù)求冪級數(shù)的的收斂區(qū)間收斂區(qū)間。 12)1(nnnnnx例例3 3nnnaa1lim 解：解：)1(2lim nnn21 12)1(2lim nnnnn的收斂半徑為的收斂半徑為R=2，所以冪級數(shù)所以冪級數(shù) 12)1(nnnnnx收斂區(qū)間是收斂區(qū)間是(- -2,2即當(dāng)即當(dāng)|x|2時，級數(shù)時，級數(shù)收斂收斂 12)1(nnnnnx當(dāng)當(dāng)x=2時，級數(shù)變?yōu)闀r

14、，級數(shù)變?yōu)槭諗渴諗?)1(1 nnn當(dāng)當(dāng)x=- -2時，級數(shù)變?yōu)闀r，級數(shù)變?yōu)榘l(fā)散發(fā)散,11 nn23求冪級數(shù)求冪級數(shù)的的收斂區(qū)間收斂區(qū)間。nnnnxn2112)1( 例例4 4解：解：nnnnxn2112)1( 2xt nnnntn 112)1( 332223222tttnnnaa1lim nnn21lim 21 nnnnnnn2)1(2)1()1(lim11 所以冪級數(shù)所以冪級數(shù)的的收斂半徑收斂半徑為為R=2。nnnntn 112)1(24由由 t=x2 得原冪級數(shù)的收斂半徑為得原冪級數(shù)的收斂半徑為.2 R當(dāng)2 x時，原冪級數(shù)為時，原冪級數(shù)為 ,)1(11 nnn它是它是發(fā)散的發(fā)散的。所以原

15、冪級數(shù)的收斂區(qū)間是所以原冪級數(shù)的收斂區(qū)間是).2,2( 25( 2,0)故原級數(shù)故原級數(shù)的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為將將t=x+1回代，得回代，得- -1x+11，即，即 - -2x0例例5 5 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂域。的收斂域。解解：令令t=x+1，所給冪級數(shù)變形為，所給冪級數(shù)變形為收斂半徑收斂半徑R=1，級數(shù)，級數(shù)的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為(- -1,1)，即即- -1t1nnnxnn)1()1()1(1 nnntnn 1)1()1(nnntnn 1)1()1(nnnxnn)1()1()1(1 nnnaa1lim 2lim nnn1 )1()1()2)(1()1(lim1 nnnnnnn26以

16、上所求的收斂域以上所求的收斂域(-2,0(-2,0是以點(diǎn)是以點(diǎn)x=- -1為中心的區(qū)間。為中心的區(qū)間。在在x=- -1處，級數(shù)處，級數(shù)必收斂。必收斂。所以級數(shù)所以級數(shù)的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?-2,0(-2,0。當(dāng)當(dāng)x=0時，級數(shù)為時，級數(shù)為是收斂的。是收斂的。當(dāng)當(dāng)x=- -2時，級數(shù)為時，級數(shù)為是發(fā)散的。是發(fā)散的。nnnnn)1()1()1(1 1)1(1nnn 1)1()1(nnnnnnnxnn)1()1()1(1 nnnxnn)1()1()1(1 27解：解：所給級數(shù)缺少所給級數(shù)缺少x的偶次冪項(xiàng)，不能用的偶次冪項(xiàng)，不能用定理定理2 2求收斂半求收斂半徑，應(yīng)該用比值審斂法來討論。由徑，應(yīng)該用比

17、值審斂法來討論。由比值審斂法比值審斂法，有，有思考題思考題 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的的收斂區(qū)域收斂區(qū)域。nnnuu1lim 22131limxnnn 231x 122121233)1(lim nnnnnxnxn12123 nnnxn283x 2211( 3)3nnnn213nn3x 21()3nn（- 3，3）.所以級數(shù)的收斂域?yàn)樗约墧?shù)的收斂域?yàn)椋詾榘l(fā)散的。，仍為發(fā)散的。時，級數(shù)為時，級數(shù)為當(dāng)當(dāng)，是發(fā)散的。，是發(fā)散的。時，級數(shù)為時，級數(shù)為當(dāng)當(dāng)3R (3, 3)所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂區(qū)間2113x 3x 當(dāng)當(dāng), ,即即時，級數(shù)發(fā)散。時，級數(shù)發(fā)散。2113x 3x 當(dāng)當(dāng)

18、, ,即即時，級數(shù)絕對收斂。時，級數(shù)絕對收斂。29( (二二) )冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 兩個冪級數(shù)在它們的收斂區(qū)間的公共部分內(nèi)可以兩個冪級數(shù)在它們的收斂區(qū)間的公共部分內(nèi)可以進(jìn)行逐項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)相加相加、相減相減，即，即性質(zhì)性質(zhì)2 2)()(00 xxsxbxannnnnn 冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnxa的和函數(shù)的和函數(shù)s(x)在它的收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。在它的收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。其中其中s(x)及及(x)分別是分別是 0nnnxb 0nnnxa及及的的和函數(shù)和函數(shù)。30性質(zhì)性質(zhì)3 3性質(zhì)性質(zhì)4 4設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為R，則它的，則它的和函數(shù)和函

19、數(shù)s(x)在區(qū)間在區(qū)間(- -R,R)內(nèi)可導(dǎo)，且有內(nèi)可導(dǎo)，且有 0)()( nnnxaxs)(0 nnnxa 01nnnxna設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù) 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為R，則它的和函數(shù)，則它的和函數(shù)s(x)在區(qū)間在區(qū)間(- -R,R)內(nèi)可積，且有內(nèi)可積，且有 xnnnxdxxadxxs000)()( 00nxnndxxa 011nnnxna31求導(dǎo)求導(dǎo)1)1(1112 xxxxxn1)1(321)1(1122 xnxxxxn xnxxxxdxxdxxxdxdxdxx0020001111)1(132)1ln(132 xnxxxxxn積積分分32例例6 6 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)。的

20、和函數(shù)。 011)1(nnnnx解：解： 011)1()(nnnnxxs令令，則，則0)0( s1)1()( 01 nnnnxxs1)1(01 nnnnx 0)1(nnnx nnxxxx)1(132x 11 xdxxs0)( xdxx011)1ln(x 0)0( s xdxxs0)( 而而)(xs )0()(sxs 33)1ln()(xxs )1 , 1(1)1()1ln(01 xnxxnnn當(dāng)當(dāng)x=1時，級數(shù)時，級數(shù)收斂。收斂。 011)1(nnnnx1 , 1()1ln(1)1(01 xxnxnnn34( (三三) )函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)nnnxa 0如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)滿足它

21、在區(qū)間滿足它在區(qū)間(-(-R,R) )內(nèi)收斂，內(nèi)收斂，且其且其和函數(shù)和函數(shù)恰好就是給定的函數(shù)恰好就是給定的函數(shù)f(x)，即即則函數(shù)則函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)，并稱該冪級在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù)，并稱該冪級數(shù)為數(shù)為f(x)的的冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式。),()(100RRxxaxaaxaxfnnnnn 35 nnnnnxaxaxaaxaxf22100)( 1232132)( nnxnaxaxaaxf 232)1(232)(nnxannxaaxf 221)(! 2)!2(! 1)!1(!)(xanxananxfnnnn令令x=0，則得，則得,!)0(,! 2)0(,)0( ,)0()(

22、210nnanfafafaf 從而得從而得,!)0(,! 2)0(,! 1)0( ),0()(210nfafafafann 36若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(- -R,R)內(nèi)滿足條件內(nèi)滿足條件則則f(x)能在區(qū)間能在區(qū)間(- -R,R)內(nèi)展開為冪級數(shù)。內(nèi)展開為冪級數(shù)。稱為稱為f(x)的的麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)展開式展開式，右邊的冪級數(shù)，右邊的冪級數(shù)稱為稱為麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù)。)(limxRnn 1)1()!1()(lim nnnxnf 0 )0()!1()()(1)1(xxnfxRnnn f(x)有有(n+1)階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)!) 0(! 2) 0(! 1) 0( ) 0

23、()()()(2nnnxnfxfxffxfxR ),(,!) 0(! 2) 0(! 1) 0( ) 0()()(2RRxxnfxfxffxfnn 37稱為稱為f(x)的的泰勒泰勒(Taylor)展開式展開式，右邊的冪級數(shù)稱為，右邊的冪級數(shù)稱為泰泰勒級數(shù)勒級數(shù)。若將若將x=0推廣到推廣到x=x0，則得，則得 200000)(! 2)()(! 1)( )()(xxxfxxxfxfxf),()(!)(0000)(RxRxxxxnxfnn 38例例1 1 將函數(shù)將函數(shù) f(x)=ex 展開成冪級數(shù)。展開成冪級數(shù)。解：解：,)()()( )(xnexfxfxf 于是有級數(shù)于是有級數(shù) nxnxx!1! 2

24、1121)0( f因?yàn)橐驗(yàn)閯t有則有), 3 , 2 , 1( 1)0()( nfn)(limxRnn 1)1()!1()(lim nnnxnf 1)!1(lim nnxne 0 ),(!1! 2112 xxnxxenx所以所以39例例2 2 將函數(shù)將函數(shù) f(x)=sinx 展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)。解：解：)2sin()()( nxxfn , 1)0(, 0)0(, 1)0( , 0)0()3( ffff), 2 , 1 , 0()1()0(, 0)0()12()2( nffnnn于是有級數(shù)于是有級數(shù) )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn可以證明，當(dāng)可以證明，當(dāng)x(

25、- -,+)時時，0)(lim xRnn所以所以),()!12() 1(! 51! 31sin1253 xnxxxxxnn40例例3 3 將函數(shù)將函數(shù) f(x)=cosx 展開成冪級數(shù)。展開成冪級數(shù)。解：解：由由例例2，知，知對上式逐項(xiàng)求導(dǎo)得對上式逐項(xiàng)求導(dǎo)得),()!12() 1(! 51! 31sin1253 xnxxxxxnn),()!2() 1(! 41! 211cos242 xnxxxxnn41幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式幾個重要的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式),(!1! 211)2(2 xxnxxenx),()!12()1(! 51! 31sin)3(1253 xnxxxxxnn)1

26、, 1()1(111)1(32 xxxxxxnn) 1 , 1( !) 1() 1(! 2) 1(1)1)(6(2 xxnnxxxn ),()!2() 1(! 41! 211cos)4(242 xnxxxxnn1 , 1(1)1(32)1ln()5(132 xnxxxxxnn42例例4 4 將將展開成冪級數(shù)。展開成冪級數(shù)。xx 11ln所以，冪級數(shù)的運(yùn)算法則得所以，冪級數(shù)的運(yùn)算法則得1 , 1(1)1(32)1ln(132 xnxxxxxnn解：解：)1 , 1132)1ln(132 xnxxxxxn)1ln()1ln(11lnxxxx )1 , 1(122523221253 xxnxxxn4

27、3例例6 6 將函數(shù)將函數(shù)xxf1)( 在在x=1處展開成泰勒級數(shù)。處展開成泰勒級數(shù)。)1 , 1()1(11132 xxxxxxnn解：解：xxf1)( )1(11 x)2 , 0()1()1()1()1(12 xxxxnn44( (四四) )冪級數(shù)展開式在近似計算上的應(yīng)用舉例冪級數(shù)展開式在近似計算上的應(yīng)用舉例例例1 1 計算計算e的近似值，精確到的近似值，精確到1010-10-10。),(!1! 2112 xxnxxenx解：解：x=1代入代入 !1! 2111ne!1! 2111ne 45 )!(1)!2(1)!1(1knnnrn 12)1(1)1(1111)!1(1knnnn1111)

28、!1(1 nnnn!1 取取n=13，即，即!131! 2111 e5907182818284. 2 精確到精確到1010-10-10。46例例2 2 計算的計算的 sin18近似值，誤差不超過近似值，誤差不超過1010-4-4。),()!12()1(! 51! 31sin1253 xnxxxxxnn解：解： 18x，代入上述公式得，代入上述公式得18180 10 125310)!12(1)1(10! 5110! 311010sinnnn )(314159.010rad 310! 311010sin 3090. 0 2r510! 51 532. 01201 4103 . 0 47四、四、傅立葉

29、級數(shù)傅立葉級數(shù)( (一一) )三角級數(shù)三角級數(shù)( (二二) )周期為周期為 的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)248一一. .三角級數(shù)三角級數(shù)01(cossin)2nnnaaxbx三角級數(shù)三角級數(shù)一般形式為一般形式為三角級數(shù)的系數(shù)三角函數(shù)系三角函數(shù)系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx49 三角函數(shù)系中三角函數(shù)系中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間 上的積分等于上的積分等于0，這種性質(zhì)稱為，這種性質(zhì)稱為三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性。,), 3 , 2 , 1( , 0cos nnxdx ), 3 , 2 , 1(

30、 , 0sin nnxdx nmnmnxdxmx, 0sinsin ), 3 , 2 , 1,( , 0cossin nmnxdxmx nmnmnxdxmx, 0coscos 50三角函數(shù)系中兩個相同函數(shù)的乘積在區(qū)間上三角函數(shù)系中兩個相同函數(shù)的乘積在區(qū)間上 的積分不等于零。的積分不等于零。, 212 dx), 3 , 2 , 1( ,sin2 nnxdx ), 3 , 2 , 1( ,cos2 nnxdx 51 10)sincos(2)(kkkdxkxbdxkxadxadxf 2.2.周期為周期為2的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)00設(shè)設(shè)f(x)是一個以是一個以2為周期的周期函數(shù)，

31、且能展開成三為周期的周期函數(shù)，且能展開成三角級數(shù)角級數(shù)(1)求求a0。 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf 22)(0 adxxf 0a dxxfa)(105200(2)求求an。 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf nxdxanxdxxfcos2cos)(0 1cossincoscoskkknxdxkxbnxdxkxa nxdxan2cos nxdxanxdxxfn2coscos)( na ), 3 , 2 , 1(cos)(1 nnxdxxfan 53 dxnxadxnxxf sin2sin)(0 1sinsinsincoskkknxdxkxbnxdxkxa

32、 00 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf(3)求求bn。 nxdxbk2sin nxdxbnxdxxfk2sinsin)( nb ), 3 , 2 , 1(sin)(1 nnxdxxfbn 54 ), 3 , 2 , 1(sin)(1), 3 , 2 , 1 , 0(cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 傅立葉傅立葉(Fourier)系數(shù)系數(shù)函數(shù)函數(shù)f(x)的的傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù) 10)sincos(2nkknxbnxaa生平介紹生平介紹55傅里葉生平傅里葉生平 1768年生于法國年生于法國 1807年提出年提出“任何周期任何周期信號都可用正弦函數(shù)級信號都可用正

33、弦函數(shù)級數(shù)表示數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一個年狄里赫利第一個給出收斂條件給出收斂條件 拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表 18221822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱熱的分析理論的分析理論” ” 一書中一書中56傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個最主要的貢獻(xiàn) “周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和和”傅里葉的第一個主要論點(diǎn)傅里葉的第一個主要論點(diǎn) “非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”傅里葉的第二個主要論點(diǎn)傅里葉的第二個主要論點(diǎn)57定理定理（收斂定理收斂定理） 設(shè)設(shè)f(x)是以是以2 2為周期的周期函

34、數(shù)，為周期的周期函數(shù)，若它滿足條件：在一個周期內(nèi)若它滿足條件：在一個周期內(nèi)連續(xù)連續(xù)或或只有有限個第一只有有限個第一類間斷點(diǎn)類間斷點(diǎn)，并且，并且至多只有有限個極值點(diǎn)至多只有有限個極值點(diǎn)，則，則f(x)為為傅傅里葉級數(shù)收斂里葉級數(shù)收斂，并且，并且(1)當(dāng)當(dāng)x是是f(x)的的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)時，級數(shù)收斂于時，級數(shù)收斂于f(x)；(2)當(dāng)當(dāng)x是是f(x)的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)時，級數(shù)收斂于時，級數(shù)收斂于2)0()0( xfxf58將將 f(x)展開為傅立葉級數(shù)。展開為傅立葉級數(shù)。例例1 1 設(shè)設(shè)f(x)是以是以2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù),它在它在-,上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 xxxxf0 ,0, 0)( dxx

35、fa)(10解：解： nxdxxfancos)(1 01xdx2 0cos1nxdxx)1(cos12 nn 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)nnn, 0,22 nxdxxfbn sin)(1 0sin1nxdxx nncos1 ), 2 , 1( ,)1(1 nnn59 )3sin313cos92()2sin210()sincos2(4)(xxxxxxf )3sin312sin21(sin)5cos2513cos91(cos24 xxxxxx ),1)(2(Zkkxx 但但級數(shù)的和函數(shù)的圖像如下圖所示級數(shù)的和函數(shù)的圖像如下圖所示. . 當(dāng)當(dāng)Zkkx ,)12( 時，時，f(x)間斷，其傅立葉級數(shù)收斂

36、于間斷，其傅立葉級數(shù)收斂于0)12()0)12(21 kfkf)0(21 2 60將將f(x)展開為傅立葉級數(shù)。展開為傅立葉級數(shù)。例例1 1 設(shè)設(shè)f(x)是周期為是周期為2的函數(shù)，在的函數(shù)，在-,上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 xxxf0 , 10, 1)(解：解：由由f(x)是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，所以0)(10 dxxfa), 2 , 1(0cos)(1 nnxdxxfan nxdxxfbn sin)(1 0sin)(2nxdxxf)cos1(2nxn 0sin2nxdx 為偶數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)nnn, 0,4 61f(x)的傅立葉級數(shù)為的傅立葉級數(shù)為)12sin(1215sin513sin31sin4 xkkxxx 在間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)處收斂于處收斂于)(Zkkx )0()0(21 kfkf)11(21 0 在間斷點(diǎn)在