D11-3格林公式(2)

1、11. 二重積分與曲線積分的關(guān)系：二重積分與曲線積分的關(guān)系：格林公式格林公式;()d dddDDQPx yP xQ yxy 2. 格林公式的應(yīng)用：格林公式的應(yīng)用：(1) 簡化計算曲線積分簡化計算曲線積分(2) 利用曲線積分計算平面圖形的面積利用曲線積分計算平面圖形的面積閉區(qū)域閉區(qū)域D的面積的面積+ 1dd .2DAx yy x )d(d ddDDQPyxx yPQ yx 注意定理使用的條件：注意定理使用的條件： 有向性；有向性；連續(xù)性；連續(xù)性；封閉性封閉性.2 dd1.2.LIP xQ y 直直接接法法計計算算方方法法格格林林公公式式法法的的:L 補補充充曲曲線線使使其其閉閉合合后后用用格格林

2、林公公式式或或用用直直接接法法. .ddddL llIP xQ yP xQ y 則則1.,滿滿足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件則則可可直直接接用用格格林林公公式式. .2.,不不滿滿足足連連續(xù)續(xù)性性的的條條件件則則添添加加曲曲線線挖挖去去洞洞眼眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 則則補補充充曲曲線線的的原原則則： 1.xy盡盡可可能能與與 、 軸軸平平行行；2.DD 與與原原來來的的圖圖形形圍圍在在一一起起為為或或3( )(1):,:( )xtLtyt 積積分分路路徑徑 的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為， dd ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( )dLP xQ yPtttQt

3、ttt 則則(2)積分路徑積分路徑L的方程為：的方程為：( ):yy xx ab ，則則(3)積分路徑積分路徑L的方程為：的方程為：( ):xx yy cd ，則則 dd , ( ) , ( ) ( )d .bLaP xQ yP x y xQ x y x y xx dd ( ), ( ) ( ), d .dLcP xQ yP x yy x yQ x yyy 計算第二類曲線積分的直接法計算第二類曲線積分的直接法4,F 一一力力場場由由沿沿橫橫軸軸正正方方向向的的恒恒力力所所構(gòu)構(gòu)成成222mxyR試試求求當當一一質(zhì)質(zhì)量量為為 的的質(zhì)質(zhì)點點沿沿圓圓周周按按逆逆時時針針方方向向.移移過過位位于于第第一

4、一象象限限的的那那一一段段弧弧時時場場力力所所做做的的功功( , )d( , )dABWP x yxQ x yy ( , )( , )FP x y iQ x y jAB 變變力力沿沿所所作作的的功功為為：解：解：FF i dLWFx cos,:0sin2xRtLtyRt 其其中中 ：20sin dWFRt t 20sin dF Rt t F R 積分路徑的方程積分路徑的方程,方向方向5第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價條件等價條件格林公式及其應(yīng)用 第十一章 62 2dd1Lxy xxy ，總結(jié)總結(jié):(1)(2)(3)(4)2 2d

5、d0Lxy xxy 問題：問題：終點終點也也相同，相同，被積函數(shù)相同，被積函數(shù)相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同但路徑不同而積分結(jié)果相同.起點起點和和2yx xyo)0 , 1(A)1 , 1(B2xy 例例5.2xy 計算計算,dd22 yxxxyL 其中其中L為為(1)拋物線拋物線上從上從o(0,0)到到B(1,1)的一段?。坏囊欢位?；2yx (2)拋物線拋物線上從上從o(0,0)到到B(1,1)的一段弧；的一段弧；(3)有向折線有向折線OAB， 這里這里OAB依次是依次是(0,0),(1,0)(1,1)；(4)閉曲線閉曲線OABO.回回 顧顧7yxo1 ddLP xQ y (一一)曲線積分與

6、路徑無關(guān)的定義曲線積分與路徑無關(guān)的定義:2 ddLP xQ y 即只與即只與起點起點和和終點終點有關(guān)有關(guān).則稱曲線積分則稱曲線積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān). LyQxP dd否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān).GB A1L2L顯然顯然ddLGP xQ y 在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)dd0,CP xQ y .CG 任意的閉曲線任意的閉曲線如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)對任意的內(nèi)對任意的 有有12,L L在在G內(nèi)內(nèi)12dd0LLP xQ y 由由定定知知：8(二二)曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的條件2定定理理 ( , )( , ) GP x y Q x yG設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域是是一一個個單單連連通

7、通區(qū)區(qū)域域, ,函函數(shù)數(shù), ,在在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)， dd LP xQ yG 則則曲曲線線在在積積分分內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑( )G或或沿沿 內(nèi)內(nèi)任任意意閉閉曲曲線線的的曲曲線線積積分分為為零零的的無無關(guān)關(guān)充充要要條條件件是是： PQyx .G在在內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立證明證明:充分性充分性 ,PQGyx 在在內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立ddLGP xQ y 在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)ddCP xQ y ,CG 任任意意的的閉閉曲曲線線=0()d dDQPx yxy ?,G由由于于開開區(qū)區(qū)域域 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域CDG 則則 所所包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域，( , ),( , ),P x

8、yQ x yG又又函函數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)( , ),( , ),P x yQ x yD所所以以在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)由由格格林林公公式式得得：0 充分性得證充分性得證9下面證明必要性下面證明必要性要要證證的的問問題題是是：dd0,CP xQ y 若若CG PQGyx 在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. .反證法反證法PQGyx 假假設(shè)設(shè)在在 內(nèi)內(nèi), ,000(,)GM x y那那么么在在 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點，使使得得：0()0 MQPxy，0()0, MQPxy 不不妨妨假假設(shè)設(shè)QPGxy 由由于于、在在 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,0GM則則在在

9、 內(nèi)內(nèi)取取得得一一個個以以為為圓圓心心, ,()K 半半徑徑足足夠夠小小的的圓圓 正正向向邊邊界界為為形形閉閉域域 ，K使使得得在在 上上恒恒有有：. 2QPxy 則則有有格格林林公公式式及及二二重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)有有：ddP xQ y dKQPxy 2 0, .矛矛盾盾0M K證畢證畢 10QPGxy 由由于于、在在 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,000(, )(,)lim()()0, Mx yxyQPQPxyxy ,( , )2Kx yK 即即取取 =,=, 區(qū)區(qū)域域?qū)τ谟? ,()2QPxy 有有成成立立，0M( (因因為為在在處處不不去去心心) )()2QPxy 即即，(),22QPxy

10、- -2,2QPxy 則則- -2QPxy 即即， 0QPMxy 所所以以、在在處處連連續(xù)續(xù), ,11有關(guān)定理的說明：有關(guān)定理的說明：1.定理的成立有兩個條件：定理的成立有兩個條件：(1)G開開區(qū)區(qū)域域 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域；(2)( , ),( , )P x yQ x yG函函數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù). .兩條件缺一不可兩條件缺一不可.由由此此可可得得：G若若 是是一一單單連連通通區(qū)區(qū)域域, ,( , ), ( , )P x y Q x yG在在 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,且且具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則下下列列命命題題等等價價(1)dd0,.LP xQ yLG

11、是是 內(nèi)內(nèi)任任意意分分段段光光滑滑閉閉曲曲線線(2),GL對對 內(nèi)內(nèi)任任一一分分段段光光滑滑曲曲線線ddLP xQ y 曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，.L起起點點和和只只的的終終點點有有關(guān)關(guān)與與.(3)PQyGx 在在 內(nèi)內(nèi)任任意意一一點點處處，都都有有122.定理的用途：定理的用途：(1)可以判定線積分是否與路徑無關(guān)可以判定線積分是否與路徑無關(guān);ddLP xQ yG 如如果果在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)Cd + d0.P x Q y CG QPGxy 在在 恒恒成成立立ddLP xQ y 在在G內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān)G單單連連若若 是是一一通通區(qū)區(qū)域域, ,( , ), ( ,

12、)P x y Q x yG在在 內(nèi)內(nèi)有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導. .G若若 是是一一單單連連通通區(qū)區(qū)域域, ,( , ), ( , )P x y Q x yG在在 內(nèi)內(nèi)有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導. .1ddLP xQ y 2ddLP xQ y ， 12LLG ，終點分別終點分別相同，相同，其中其中只是只是路徑不同路徑不同.的起點的起點和和12LL與與(2)簡化計算線積分簡化計算線積分(更換路徑更換路徑)13解：解：xyo11Asin2xy L計算計算為由點為由點O(0,0)到點到點A(1,1)的曲線的曲線， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因

13、為因為，42yxQ ，xyP2 ，xxQ2 則則PQyx 即即.面面上上與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)故故曲曲線線積積分分在在 xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy14120dxx 23.15 選擇如圖所示的路徑選擇如圖所示的路徑xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 12224(2)d()dLLxxyxxyy L選擇新路徑應(yīng)注意：選擇新路徑應(yīng)注意：（3）一般選與坐標軸平行的新路徑）一般選與坐標軸平行的新路徑.（1）新路徑的起點與終點不變）新路徑的起點與終點不變,（2）,G 新新路路徑徑224(2)d()dLIxxyxxyy 1

14、5解：解：2,Pxyy ( )( ),Qyxyxxx ,),(2xyyxP ( ,)( ),Q x yyx 100dx .21 ，xQyP 例例2. )1 , 1( )0 , 0( 22ddyyxxxyxyxy2)( Cxx 2)( 選擇如圖所示的路徑選擇如圖所示的路徑設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，與路徑無關(guān)，具有連續(xù)的導數(shù)，具有連續(xù)的導數(shù)，yxyxyxLd)(d2 ( )x 其其中中(0)0. 且且(1,1)2(0,0)d( )d .xyxyxy 計計算算由已知知由已知知即即由由，0)0( 知知C=0, 則則2)(xx 故原式故原式=xyo1)1 ,1(10dy y 161,(0,1)0,

15、FCF 例例3. 已知曲線積分已知曲線積分無關(guān)無關(guān), 其中其中解解: 因積分與路徑無關(guān)因積分與路徑無關(guān) , 故有故有cossinxFxFx sinsinyF yxFx即即因此有因此有( , ) sin dcosd LF x yyx xx y 與與路路徑徑( , )0F x y 求求由由確確定定的的( ).yf x 隱隱函函數(shù)數(shù)tanxyFyxFtanyyx 01xy secyx ( , )cos( , ) sin F x yxF x y yxxyy 17(三三)二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積G設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域 是是一一個個單單連連通通域域, ,( , ),( , )P x yQ x

16、yG函函數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù), ,( , )d( , )d( , )P x yx Q x yyGu x y 則則在在 內(nèi)內(nèi)是是某某一一函函數(shù)數(shù)充充分分必必要要全全微微分分的的的的條條件件是是：.PQGyx 等等式式在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立定理定理3先先證證必必要要性性. .( , )Gu x y設(shè)設(shè)在在 內(nèi)內(nèi)存存在在某某一一函函數(shù)數(shù), ,使使得得d ( , )( , )d( , )d ,u x yP x yxQ x yy 則則必必有有：ux ( , )P x y ，uy ( , ),Q x y從從而而：2ux y Py ，2uy x Qy ，.PQGyx 所所以以等

17、等式式在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立18(三三)二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積再再證證充充分分性性. .PQGyx 已已知知在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立, , dd LP xQ yG 則則曲曲線線積積分分在在內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), ,000(,),( , ),LM xyM x y設(shè)設(shè)曲曲線線 的的起起點點為為終終點點為為000( , )(,) dd( , )d( , )dM x yLMxyP xQ yP x yxQ x yy 則則，000(,),M xy當當起起點點固固定定時時( , ),M x y這這個個積積分分的的值值取取決決于于,x y則則它它是是的的函函數(shù)數(shù)即即G設(shè)設(shè)開開區(qū)區(qū)域域 是是

18、一一個個單單連連通通域域, ,( , ),( , )P x yQ x yG函函數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù), ,( , )d( , )d( , )P x yxQ x yyGu x y 則則在在 內(nèi)內(nèi)是是某某一一函函數(shù)數(shù)充充分分必必要要全全微微分分的的的的條條件件是是：.PQGyx 等等式式在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立定理定理300( , )(,)( , )( , )d( , )dx yx yu x yP x y x Q x y y ，19( , )Gu x y則則在在 內(nèi)內(nèi)存存在在某某一一函函數(shù)數(shù), ,使使得得( , )d ( , )( , )d( , )du x yu x y

19、P x yx Q x yGy 則則在在 內(nèi)內(nèi)存存在在某某一一函函數(shù)數(shù)得得, ,使使00( , )(,)( , )( , )d( , )dx yx yu x yP x y x Q x y y ，M0CM),(00yx),(yx),(yxx yxoux 0(, )( , )limxu xx yu x yx 0000(, )( , )(,)(,)0ddddlimxx yx yxyxyxP xQ yP xQ yx (, )(,)0ddlimxx yxyxP xQ yx 0( , )dlimxxxxP x yxx lim ( , )xPy ( , ),P x y.xxx 介介于于 與與之之間間( , )

20、uQ x yy 同同理理：，20與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題條條件件 ddLP xQ y 與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，PQyx ，等等價價命命題題(1)在在G內(nèi)內(nèi)(2)在在G內(nèi)存在內(nèi)存在( , )dddu x yuP xQ y 使使，(3)在在G內(nèi)，內(nèi)， dd0,CP xQ y (4).CG 閉閉曲曲線線在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有連續(xù)的連續(xù)的一階偏導數(shù)，一階偏導數(shù)， 則以下四個命題等價則以下四個命題等價.說明：說明：1.四個等價命題四個等價命題212.多元函數(shù)的原函數(shù)：多元函數(shù)的原函數(shù)：,P Q若若滿滿足足定定理理的的條條件件, ,則則由由上

21、上述述證證明明中中已已經(jīng)經(jīng)看看到到: :000( , )(,)( , )ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函數(shù)數(shù)d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy 具具有有性性質(zhì)質(zhì): :( , )( , )d( , )d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我們們稱稱為為的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)由此由此,可以求某個全微分的原函數(shù)，可以求某個全微分的原函數(shù)，3.( , )d ( , )ddu x yu x yP xQ y 如如何何求求使使？),(0yxC ( , )M x y xyo000(,)Mxy 00( , )(,)d( , )dx yx

22、yP xQ yu x y 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d()M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0 (, )dyyQ xyy 0 ( , )dxxP x yx 00( , )(,)ddx yxyP xQ y ，0( , )d( , )dM CMP x yxQ x yy 22例例4. 驗證：在整個驗證：在整個xoy平面內(nèi)，平面內(nèi)，yyxxxydd22 是某個函是某個函數(shù)的全微分，數(shù)的全微分， 并求出它的一個原函數(shù)并求出它的一個原函數(shù).解：解：這里這里，2xyP ;2xyyP ，yxQ2 ,2xyxQ

23、則在整個則在整個xoy平面內(nèi)有：平面內(nèi)有：.PQyx 于是于是在整個在整個xoy平面平面 (它是一個單連通區(qū)域它是一個單連通區(qū)域)內(nèi)，內(nèi)，yyxxxydd22 是某個函數(shù)的全微分，是某個函數(shù)的全微分，由公式由公式00 0 ( , )( ,)d( , )dxyxyu x yP x yxQ x y y 得得：( , )u x y 221.2x y xyo),(yxx 2 00 dxxx 2 0dyx y y 線積分法線積分法23另解：另解：2,uxyx 2duxy x 221( ),2x yy 2,ux yy 而而221( ),2ux yy 22( ),x yyx y 即即2( ),ux yyy

24、( )0,y 則則得得( ),yC 221.2ux yC 則所求的函數(shù)為：則所求的函數(shù)為：事實上：事實上：22ddxyxx y y 221(2d2d )2xyxx y y 22d(+ ),x yC221.2ux yC 偏積分法偏積分法觀察法觀察法( )( )( )( )dFxf xF xf xx 例例4. 驗證：在整個驗證：在整個xoy平面內(nèi)，平面內(nèi)，yyxxxydd22 是某個函是某個函數(shù)的全微分，數(shù)的全微分， 并求出它的一個原函數(shù)并求出它的一個原函數(shù).2422dd(0),x yy xxxy 驗驗證證在在右右半半平平面面內(nèi)內(nèi)是是某某個個函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分例例5.并并求求出出這這樣樣一一

25、個個函函數(shù)數(shù)解：解：2222,yxPQxyxy 2222 2()PyxQyxyx 則則在在右右半半,平平面面內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立則則在在右右半半平平面面內(nèi)內(nèi)，22dd,x yy xxy 是是某某個個函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分xyo1( , )x y取如圖所示路徑：取如圖所示路徑： 所求函數(shù)為：所求函數(shù)為：( , )22(1,0)dd( , )x yx yy xxyu x y 22ddABx yy xxy ABC22ddBCx yy xxy 0 220dyyxxy 0arctanyyx 02d( )1 ( )yyxyx arctan .yx25判別判別: P, Q 在某單連通域在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一

26、階偏導數(shù)內(nèi)有連續(xù)一階偏導數(shù),( , )PQx yDyx 為全微分方程為全微分方程 則則( , )u x y若若存存在在使使d ( , )( , )d( , )du x yP x yx Q x yy 則稱一階微分方程則稱一階微分方程( , )d( , )d0P x yxQ x yy為為全微分方程全微分方程 ( 又叫做又叫做恰當方程恰當方程 ) .1.全微分方程的定義：全微分方程的定義：( , )(),P x yQ x yG如如果果函函數(shù)數(shù)，在在某某單單連連通通域域 內(nèi)內(nèi)有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)( , )d( , )d( , )P x yxQ x yyuu x y 則則是是某某個個二二元元

27、函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分PQGyx 在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. .2.全微分方程的通解：全微分方程的通解：( , )()u x yCC 為為任任意意常常數(shù)數(shù)補充知識補充知識:全微分方程全微分方程3.解法：解法：( , )d ( , )( , )d( , )du x yu x yP x yx Q x yy 求求使使264.求原函數(shù)求原函數(shù)的方法的方法:方法方法1. 湊微分法湊微分法;方法方法3. 利用積分與路徑無關(guān)的條件利用積分與路徑無關(guān)的條件.(線積分法線積分法)00( , )(,( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy ) )方法方法2. 偏積分法偏積分法

28、;000( ,)d( , )dxyxyP x yxQ x yy 000( , )d(, )dxyxyP x yxQ xyy ( , ),( , )uuP x yQ x yxy 27解解:xyxyxyexQxyeeP2, 故是某個函數(shù)故是某個函數(shù)u(x,y) 的的全微分全微分.22xyxyPQxex yeyx . 0dd)(2 yexxxyeexyxyxy例例6.解微分方程解微分方程則在整個則在整個xoy平面內(nèi)有：平面內(nèi)有：，xQyP xoy是單連通區(qū)域是單連通區(qū)域.故此方程為全微分方程故此方程為全微分方程.xyo),(yxx00(,)(0,0)x y 取取 ( , )2 (0,0)( , )()ddx yxyxyxyu x yexyexx ey 則則 0dxx xyxe 2 0dyxyxey .Cxexy 則所給方程的通解為：則所給方程的通解為：282211(,)2211(,)dd(,)(,)( , ).Bxyx yAP xQ yu x yu x yu x y 證：證：:( ),( ),ABCxtytt 設(shè)設(shè) 到到 的的光光滑滑曲曲線線: :dd ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( )dBAP xQ yPtttQtt