第4講2波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋態(tài)疊加原理

1、主講：林潔麗主講：林潔麗電子與信息工程學(xué)院光信息工程系電子與信息工程學(xué)院光信息工程系2012年年9月月量子力學(xué)量子力學(xué)第第二二章章 波動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 提綱提綱 2.1 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 2.2 2.2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理 2.3 2.3 薛定諤方程薛定諤方程 2.4 2.4 一維方勢阱一維方勢阱 2.5 2.5 一維諧振子一維諧振子 2.6 2.6 勢壘貫穿勢壘貫穿 2.7 2.7 氫原子氫原子第第四四講講 第二章第二章波動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)波動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 引言引言 2.1 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 2.2 2.2 態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理 重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)與難

2、點(diǎn) 作業(yè)作業(yè)結(jié)束結(jié)束 結(jié)束引言引言 無法精確定義的基本概念開始：物理系統(tǒng)、無法精確定義的基本概念開始：物理系統(tǒng)、力學(xué)變量、態(tài)。力學(xué)變量、態(tài)。 理論公設(shè)理論公設(shè)(postulate)(postulate)(異：異：hypothesishypothesis假設(shè)、假設(shè)、assumptionassumption假定假定) )：自洽、波動(dòng)性、粒子性自洽、波動(dòng)性、粒子性 公公設(shè)一：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的描述方式。設(shè)一：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的描述方式。微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相應(yīng)的波函數(shù)微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由相應(yīng)的波函數(shù) (r,t)(r,t)完全描述，歸一化的波函數(shù)是幾率波振幅；完全描述，歸一化的波函數(shù)是幾率波振幅；

3、引言引言 公設(shè)二：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)規(guī)律。公設(shè)二：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)規(guī)律。微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)波函數(shù)微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)波函數(shù) (r,t)(r,t)隨時(shí)間變化隨時(shí)間變化的規(guī)律遵從薛定諤方程；的規(guī)律遵從薛定諤方程； 公設(shè)三：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的描述公設(shè)三：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的描述方式。微觀體系的力學(xué)量由相應(yīng)的線性厄米算方式。微觀體系的力學(xué)量由相應(yīng)的線性厄米算符表示?；緦?yīng)關(guān)系是：符表示。基本對應(yīng)關(guān)系是：x xx x，p p . . 對于一個(gè)不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用于對于一個(gè)不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用于波函數(shù)波函數(shù) 的動(dòng)量算符可以寫為的動(dòng)量算符可以寫為

4、. .系統(tǒng)的狀系統(tǒng)的狀態(tài)需要一組完全的力學(xué)量集合，代表它們的算態(tài)需要一組完全的力學(xué)量集合，代表它們的算符兩兩對易；符兩兩對易；xi xi 引言引言 公設(shè)四：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的公設(shè)四：量子力學(xué)對物質(zhì)系統(tǒng)的力學(xué)量的確定方法。它們之間有確定的對易關(guān)系確定方法。它們之間有確定的對易關(guān)系（稱為量子條件），因此力學(xué)量算符由其（稱為量子條件），因此力學(xué)量算符由其相應(yīng)的量子條件確定；相應(yīng)的量子條件確定； 公設(shè)五：量子力學(xué)對全同多粒子系統(tǒng)的波公設(shè)五：量子力學(xué)對全同多粒子系統(tǒng)的波函數(shù)的特點(diǎn)。全同的多粒子體系的波函數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)。全同的多粒子體系的波函數(shù)對于任意一對粒子交換而言具有對稱性，對于任意一對粒子交

5、換而言具有對稱性，玻色子系的波函數(shù)是對稱的，費(fèi)米子系的玻色子系的波函數(shù)是對稱的，費(fèi)米子系的波函數(shù)是反對稱的。（略）波函數(shù)是反對稱的。（略） 返回返回2.1 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 德布羅意波是一種幾率波德布羅意波是一種幾率波 幾率進(jìn)入物理學(xué)幾率進(jìn)入物理學(xué) 謹(jǐn)慎的語言謹(jǐn)慎的語言 粒子波和波粒子粒子波和波粒子 描述波的函數(shù)描述波的函數(shù) 波函數(shù)的意義波函數(shù)的意義 返回德布羅意波是一種幾率波德布羅意波是一種幾率波 電子的射擊實(shí)驗(yàn)電子的射擊實(shí)驗(yàn) 現(xiàn)象現(xiàn)象： 即使射向靶子的電子數(shù)目少，也存在著全然沒即使射向靶子的電子數(shù)目少，也存在著全然沒有擊痕的空白區(qū)域，而在另一些區(qū)域內(nèi)則密集著擊痕，如有擊

6、痕的空白區(qū)域，而在另一些區(qū)域內(nèi)則密集著擊痕，如果通過擊痕密集的區(qū)域劃一條線，一個(gè)個(gè)小環(huán)將會(huì)出現(xiàn)。果通過擊痕密集的區(qū)域劃一條線，一個(gè)個(gè)小環(huán)將會(huì)出現(xiàn)。電子向底片的射擊完全不是電子向底片的射擊完全不是漫無目標(biāo)的漫無目標(biāo)的。 比較：比較： （1 1）不管是成千個(gè)電子同時(shí)完成衍射）不管是成千個(gè)電子同時(shí)完成衍射, ,還是一個(gè)電子還是一個(gè)電子接著一個(gè)電子去完成它接著一個(gè)電子去完成它, ,得到的圖樣是一樣的。得到的圖樣是一樣的。 （2 2）如圖是電子和子彈在靶場上的分布情況如圖是電子和子彈在靶場上的分布情況。 分析分析： 這種波形曲線在射擊中從來沒有遇見過。每個(gè)這種波形曲線在射擊中從來沒有遇見過。每個(gè)電子不依

7、賴于其他電子而獨(dú)自顯示其不尋常的特性，就好電子不依賴于其他電子而獨(dú)自顯示其不尋常的特性，就好像其他電子不存在似的。像其他電子不存在似的。 結(jié)論：結(jié)論： 玻恩稱這種電子波是一種幾率波玻恩稱這種電子波是一種幾率波。 返回電子和子彈在靶場上的發(fā)射情況電子和子彈在靶場上的發(fā)射情況 返回電子和子彈在靶場上的分布情況電子和子彈在靶場上的分布情況 返回電子的射擊實(shí)驗(yàn)分析電子的射擊實(shí)驗(yàn)分析 老射手的靶子：老射手的靶子： 機(jī)遇法則：無規(guī)則失誤曲線或高斯曲機(jī)遇法則：無規(guī)則失誤曲線或高斯曲線。大量的彈痕集中在靶心周圍，只有少量的彈線。大量的彈痕集中在靶心周圍，只有少量的彈痕分布在外環(huán)。痕分布在外環(huán)。 新射手的靶子：

8、新射手的靶子： 彈痕將雜亂無章，均勻分布在整個(gè)靶彈痕將雜亂無章，均勻分布在整個(gè)靶子上。子上。 電子靶：電子靶： 從中心到兩側(cè)，這個(gè)曲線在一起一伏從中心到兩側(cè)，這個(gè)曲線在一起一伏地振蕩著。拒絕服從經(jīng)典定律，按與高斯定律截地振蕩著。拒絕服從經(jīng)典定律，按與高斯定律截然不同的波定律分布，呈波樣狀。然不同的波定律分布，呈波樣狀。 返回 返回幾率進(jìn)入物理學(xué)幾率進(jìn)入物理學(xué) 被晶體發(fā)射的電子在照相底片上留下痕跡。這些痕跡形成的分被晶體發(fā)射的電子在照相底片上留下痕跡。這些痕跡形成的分布曲線，玻恩建議稱為德布羅意波。電子波決定電子射中照相布曲線，玻恩建議稱為德布羅意波。電子波決定電子射中照相底片上的某點(diǎn)的幾率，因

9、此玻恩建議給它取個(gè)更恰當(dāng)?shù)拿Q底片上的某點(diǎn)的幾率，因此玻恩建議給它取個(gè)更恰當(dāng)?shù)拿Q幾率波。幾率波。 經(jīng)典物理學(xué)中，從未遇到幾率這個(gè)名稱。牛頓公式不能直接應(yīng)經(jīng)典物理學(xué)中，從未遇到幾率這個(gè)名稱。牛頓公式不能直接應(yīng)用于氣體分子的運(yùn)動(dòng)。用于氣體分子的運(yùn)動(dòng)。 用幾率法則、統(tǒng)計(jì)法則描述氣體運(yùn)動(dòng)，確信深藏在這些法則后用幾率法則、統(tǒng)計(jì)法則描述氣體運(yùn)動(dòng)，確信深藏在這些法則后面的是牛頓力學(xué)的精確定律。面的是牛頓力學(xué)的精確定律。 幾率法則：不可能設(shè)想每一瞬時(shí)所有分子都具有相同的速度。幾率法則：不可能設(shè)想每一瞬時(shí)所有分子都具有相同的速度。對于一個(gè)分子而言的不規(guī)則性當(dāng)應(yīng)用于大數(shù)量分子時(shí)則轉(zhuǎn)化為對于一個(gè)分子而言的不規(guī)則性

10、當(dāng)應(yīng)用于大數(shù)量分子時(shí)則轉(zhuǎn)化為規(guī)則性。規(guī)則性。 統(tǒng)計(jì)法則：分子運(yùn)動(dòng)不存在不規(guī)則性，每一次碰撞，每一個(gè)分統(tǒng)計(jì)法則：分子運(yùn)動(dòng)不存在不規(guī)則性，每一次碰撞，每一個(gè)分子的個(gè)別運(yùn)動(dòng)都可以用牛頓定律表述出來。子的個(gè)別運(yùn)動(dòng)都可以用牛頓定律表述出來。 分子不是子彈，在運(yùn)動(dòng)，在互相碰撞，可是卻遵從一些全然不分子不是子彈，在運(yùn)動(dòng)，在互相碰撞，可是卻遵從一些全然不同的法則。同的法則。 返回 返回謹(jǐn)慎的語言謹(jǐn)慎的語言電子竟然使用自己的自由意志，竟然為所欲為。？電子竟然使用自己的自由意志，竟然為所欲為。？電子首先遵從幾率法則，亮環(huán)是電子沒有擊中的地方，說明其電子首先遵從幾率法則，亮環(huán)是電子沒有擊中的地方，說明其活動(dòng)受限制。

11、活動(dòng)受限制。問題：電子離開電子源飛過晶體隔板，受晶體的反射然后飛向問題：電子離開電子源飛過晶體隔板，受晶體的反射然后飛向照相底片。照相底片。經(jīng)典物理學(xué)預(yù)言：角度、距離、速度。確定電子擊中的地方。經(jīng)典物理學(xué)預(yù)言：角度、距離、速度。確定電子擊中的地方。量子力學(xué)量子力學(xué)謹(jǐn)慎的語言：謹(jǐn)慎的語言：“我也說不準(zhǔn)它會(huì)到哪里，但它擊我也說不準(zhǔn)它會(huì)到哪里，但它擊中暗環(huán)的可能性最大，擊中灰區(qū)環(huán)的可能性次之，擊中亮環(huán)簡中暗環(huán)的可能性最大，擊中灰區(qū)環(huán)的可能性次之，擊中亮環(huán)簡直沒有什么可能性。直沒有什么可能性?！北扔鞯睦樱簹庀髥T的預(yù)報(bào)：比喻的例子：氣象員的預(yù)報(bào)：人們接受：明天晴，溫度人們接受：明天晴，溫度101020

12、20。人們不接受：明天熱，無雨，上午人們不接受：明天熱，無雨，上午8 8點(diǎn)點(diǎn)11 11 ；1010點(diǎn)點(diǎn)18 18 ；1212點(diǎn)點(diǎn)20 20 ；下午；下午3 3點(diǎn)點(diǎn)16 16 。下午。下午3 3點(diǎn)在某某區(qū)域上方有烏云，面點(diǎn)在某某區(qū)域上方有烏云，面積為多少平方米，并以每小時(shí)積為多少平方米，并以每小時(shí)1111公里速度向西北方向移動(dòng)。公里速度向西北方向移動(dòng)。氣象學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)做不到這樣能精確地預(yù)測完善的天氣。量子力學(xué)也氣象學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)做不到這樣能精確地預(yù)測完善的天氣。量子力學(xué)也是一樣的困難，而且更困難。是一樣的困難，而且更困難。返回 返回粒子波和波粒子粒子波和波粒子 一事實(shí)一事實(shí) 幾率波實(shí)驗(yàn)事實(shí)研究不同速度電子的衍

13、射，幾率波實(shí)驗(yàn)事實(shí)研究不同速度電子的衍射， 發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 衍射環(huán)隨著速度的增加而變得更為緊密；衍射環(huán)隨著速度的增加而變得更為緊密； 根據(jù)環(huán)間距離計(jì)算電子波長，與德布羅意關(guān)系得到的數(shù)值一致。根據(jù)環(huán)間距離計(jì)算電子波長，與德布羅意關(guān)系得到的數(shù)值一致。 二發(fā)現(xiàn)二發(fā)現(xiàn) 對粒子：只要質(zhì)量和速度不是足夠大而使波長足夠大，對粒子：只要質(zhì)量和速度不是足夠大而使波長足夠大，以致不超出我們及儀器對波的靈敏度，就能呈現(xiàn)波特性。只不過以致不超出我們及儀器對波的靈敏度，就能呈現(xiàn)波特性。只不過不總是可以發(fā)現(xiàn)這波。不總是可以發(fā)現(xiàn)這波。 對波：當(dāng)波長足夠小，開始象粒子一樣運(yùn)動(dòng)，如能將金對波：當(dāng)波長足夠小，開始象粒子一樣運(yùn)動(dòng)，如

14、能將金屬中的電子轟擊出來，呈現(xiàn)粒子特性。屬中的電子轟擊出來，呈現(xiàn)粒子特性。 三結(jié)論三結(jié)論 德布羅意的發(fā)現(xiàn)將世界上所有的物理現(xiàn)象結(jié)合于一個(gè)統(tǒng)一的整體德布羅意的發(fā)現(xiàn)將世界上所有的物理現(xiàn)象結(jié)合于一個(gè)統(tǒng)一的整體中，這樣就在對兩個(gè)對立的、看起來甚至好象是互相排斥的存在中，這樣就在對兩個(gè)對立的、看起來甚至好象是互相排斥的存在微粒與微粒與波波之間架起了一座橋梁。統(tǒng)一性發(fā)現(xiàn)了，但沒有根據(jù)認(rèn)為對立面已經(jīng)消之間架起了一座橋梁。統(tǒng)一性發(fā)現(xiàn)了，但沒有根據(jù)認(rèn)為對立面已經(jīng)消失失( (如測不準(zhǔn)原理、隧道效應(yīng)如測不準(zhǔn)原理、隧道效應(yīng)) )。 返回 描述波的函數(shù)描述波的函數(shù) 回顧電子的行為：電子的衍射說明電子波不是由回顧電子的行

15、為：電子的衍射說明電子波不是由粒子形成；再回顧玻爾理論遇到的困難粒子形成；再回顧玻爾理論遇到的困難無法解無法解釋電子的躍遷過程釋電子的躍遷過程( (光譜產(chǎn)生的過程光譜產(chǎn)生的過程) )。 解決辦法：電子的行為用波函數(shù)表示。這波函數(shù)解決辦法：電子的行為用波函數(shù)表示。這波函數(shù)的自變量為電子的坐標(biāo)和時(shí)間。因?yàn)橛稍摬ê瘮?shù)的自變量為電子的坐標(biāo)和時(shí)間。因?yàn)橛稍摬ê瘮?shù)應(yīng)該可以得到粒子的狀態(tài)。應(yīng)該可以得到粒子的狀態(tài)。 定義定義復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù) ( (r,tr,t) )（波粒二象性）（波粒二象性） 例子例子自由運(yùn)動(dòng)的粒子自由運(yùn)動(dòng)的粒子 p(r,t)=Aei(kr-wt)=Aei(pr-Et)/ 返回 返回波函數(shù)的意義

16、之一波函數(shù)的意義之一 幾率、幾率波和幾率密度的概念幾率、幾率波和幾率密度的概念 波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（大小等于波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（大小等于振幅絕對值的平方）和在該點(diǎn)找到的粒子振幅絕對值的平方）和在該點(diǎn)找到的粒子的幾率成正比。的幾率成正比。 I=|(r,t)|2 幾率總和等于幾率總和等于1 1。 |(r,t)|2d=1 描寫粒子的波應(yīng)該是一種幾率波。描寫粒子的波應(yīng)該是一種幾率波。 t t時(shí)刻在點(diǎn)時(shí)刻在點(diǎn)(x,y,z,t)(x,y,z,t)附近單位體積內(nèi)找到附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率稱幾率密度粒子的幾率稱幾率密度w(x,y,z,t)w(x,y,z,t)。 w(x,y,z,t)=dW

17、(x,y,z,t)/d=C|(x,y,z,t)|2 波函數(shù)的歸一化波函數(shù)的歸一化 波函數(shù)的意義之一波函數(shù)的意義之一 波函數(shù)的歸一化。波函數(shù)的歸一化。 dW(x,y,z,t)=1dW(x,y,z,t)=1 C|C| (r,t)|(r,t)|2 2d d =1=1常數(shù)因子常數(shù)因子C C為：為：C=1/C=1/ | | (r,t)|(r,t)|2 2d d 。 歸一化條件歸一化條件： | | (r,t)|(r,t)|2 2d d =1=1，或，或 * * d d =1=1， 為歸一化波函數(shù)。為歸一化波函數(shù)。 并不是并不是所有的波函數(shù)都能按照上面的歸一化所有的波函數(shù)都能按照上面的歸一化條件歸一化，例如條件歸一化，例如 p p( (r,tr,t)=)=AeAei i( (p p r-Etr-Et)/)/，但，但| | ( (r,tr,t)|)|2 2仍和幾率成正比。仍和幾率成正比。 例子例子 ： 波函數(shù)的意義之一波函數(shù)的意義之一 例子：一維運(yùn)動(dòng)的粒子處于狀態(tài)中例子：一維運(yùn)動(dòng)的粒子處于狀態(tài)中(x)=Axe-x(x0)、0(x0，A為待定的歸一化常數(shù)，求：為待定的歸一化常數(shù)，求：A；粒子坐；粒子坐