《挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題》之幾何證明及通過幾何計算進(jìn)行說理問題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載3.2 幾何證明及通過幾何計算進(jìn)行說理問題例 12013 年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24 題已知二次函數(shù)y x2 bx c 的圖像經(jīng)過點P(0, 1) 與 Q(2, 3)（ 1）求此二次函數(shù)的解析式；（ 2）若點 A 是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖像上一點，過點A 作 x 軸的平行線交二次函數(shù)圖像于點 B，分別過點B、 A 作 x 軸的垂線，垂足分別為C、 D，且所得四邊形ABCD 恰為正方形求正方形的ABCD 的面積；聯(lián)結(jié) PA、 PD，PD 交 AB 于點 E，求證： PAD PEA動感體驗請打開幾何畫板文件名“13黃浦 24”，拖動點A 在第一象限內(nèi)的拋物線上運動，可以體驗到，

2、PAE 與 PDA 總保持相等，PAD 與 PEA 保持相似請打開超級畫板文件名“13黃浦 24”，拖動點A 在第一象限內(nèi)的拋物線上運動，可以體驗到， PAE 與 PDA 總保持相等，PAD 與 PEA 保持相似思路點撥1數(shù)形結(jié)合，用拋物線的解析式表示點A 的坐標(biāo)，用點A 的坐標(biāo)表示AD、AB 的長，當(dāng)四邊形 ABCD 是正方形時，AD AB2 通過計算PAE 與 DPO的正切值，得到PAE DPO PDA ，從而證明 PAD PEA滿分解答（ 1）將點 P(0, 1)、 Q(2, 3)分別代入 y x2bx c，得c1,b0,42b 1 3.解得1.c所以該二次函數(shù)的解析式為y x2 1（

3、2）如圖 1，設(shè)點 A 的坐標(biāo)為 (x, x2 1)，當(dāng)四邊形 ABCD 恰為正方形時， AD AB此時 yA 2xA解方程 x21 2x，得 x12 所以點 A 的橫坐標(biāo)為21學(xué)習(xí)必備歡迎下載因此正方形ABCD 的面積等于 2( 21)21282 設(shè) OP 與 AB 交于點 F，那么 PFOPOF12(21)322 (21)2所以 tanPF( 21)22 1PAE21AF又因為 tanPDA tanDPOOD21，OP所以 PAE PDA 又因為 P 公用，所以 PAD PEA圖1圖2考點伸展事實上，對于矩形ABCD ，總有結(jié)論 PAD PEA證明如下：如圖 2，設(shè)點 A 的坐標(biāo)為 (x,

4、 x2 1)，那么 PF OPOF 1 ( x2 1) x2PFx2所以 tan PAEx AFx又因為 tan PDA tanDPOODx ，OP所以 PAE PDA 因此 PAD PEA 例 22013 年江西省中考第24 題某數(shù)學(xué)活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時，經(jīng)歷了如下過程：（ 1）操作發(fā)現(xiàn)：在等腰 ABC 中，AB AC，分別以 AB、AC 為斜邊， 向 ABC 的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖 1 所示，其中 DF AB 于點 F，EG AC 于點 G， M 是 BC 的中點，連結(jié) MD 和 ME，則下列結(jié)論正確的是 _ （填序號即可） 學(xué)習(xí)必備歡迎下載 AF AG 1 A

5、B ； MD ME ；整個圖形是軸對稱圖形；MD ME2（ 2）數(shù)學(xué)思考：在任意 ABC 中，分別以AB、 AC 為斜邊，向 ABC 的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示， M 是 BC 的中點， 連結(jié) MD 和 ME ，則 MD 與 ME 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；（ 3）類比探究：在任意 ABC 中，仍分別以AB、AC 為斜邊，向 ABC 的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3 所示， M 是 BC 的中點，連結(jié)MD 和 ME，試判斷 MDE 的形狀答：_圖 1動感體驗請打開幾何畫板文件名 “13江西 24”，拖動點 A 可以改變 ABC 的形狀，可以體驗到， DFM MGE 保持不變， D

6、ME DFA EGA 保持不變請打開超級畫板文件名 “13江西 24”，拖動點 A 可以改變 ABC 的形狀，可以體驗到， DFM MGE 保持不變， DME DFA EGA 保持不變思路點撥1本題圖形中的線條錯綜復(fù)雜，怎樣尋找數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？最好的建議是按照題意把圖形規(guī)范、準(zhǔn)確地重新畫一遍2三個中點M、 F 、G 的作用重大，既能產(chǎn)生中位線，又是直角三角形斜邊上的中線3兩組中位線構(gòu)成了平行四邊形，由此相等的角都標(biāo)注出來，還能組合出那些相等的角？滿分解答（ 1）填寫序號（ 2）如圖 4，作 DF AB，EG AC，垂足分別為 F、 G因為 DF 、 EG 分別是等腰直角三角形ABD 和等腰

7、直角三角形ACE 斜邊上的高，所以 F、 G 分別是 AB 、AC 的中點又已知 M 是 BC 的中點，所以MF 、 MG 是 ABC 的中位線所以 MF1 AC ， MG 1 AB ， MF /AC， MG/AB22所以 BFM BAC， MGC BAC學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以 BFM MGC 所以 DFM MGE 因為 DF 、 EG 分別是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜邊上的中線，所以 EG11AC，DFAB 22所以 MF EG， DF NG所以 DFM MGE 所以 DM ME （ 3） MDE 是等腰直角三角形圖4圖5考點伸展第（2）題和第（ 3）題證明 DFM MGE 的思路是相同的， 不同的是證明 DFM MGE 的過程有一些不同如圖 4，如圖 5， BFM BAC