高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案3.4函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel#167;3. 4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性授課次序21教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題§3. 4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性教學(xué)難點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性方法的推導(dǎo)參考教材同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語(yǔ)教學(xué)導(dǎo)數(shù)：derivative ；微分：differential calculus；中值定理：law of the mean；極值：

2、extreme values；凸：convex； 凹：concave；拐點(diǎn)：point of inflexion；課堂教學(xué)目標(biāo)1 掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)教學(xué)過程1用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（35min）；2用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點(diǎn)（30min）；3單調(diào)性及凹凸性的應(yīng)用（25min）教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容§3. 4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 如果函數(shù)y=f(x)在a , b上單調(diào)增加（單調(diào)減少）, 那么它的圖形是一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線. 這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）, 即y¢

3、;=f ¢(x)³0(y¢=f ¢(x)£0). 由此可見, 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系. 反過來(lái), 能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性呢？ 定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)>0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f ¢(x)<0, 那么函數(shù)y=f(x)在a, b上單調(diào)減少. 證明 只證(1). 在a, b上任取兩點(diǎn)x1 , x2 (x1 <x2 ), 應(yīng)用拉格

4、朗日中值定理, 得到f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2-x1) (x1 <x<x2 ). 由于在上式中, x2-x1>0, 因此, 如果在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f ¢(x)保持正號(hào), 即f ¢(x)>0, 那么也有f ¢(x)>0. 于是 f(x2 )-f(x1 )=f ¢(x)(x2 -x1 )>0, 即 f(x1 )<f(x2 ), 這函數(shù)y=f(x) 在a, b上單調(diào)增加. 注: 判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間. 例1 判定函數(shù)y=x-sin x 在0, 2p上的單調(diào)性. 解 因?yàn)樵?

5、0, 2p)內(nèi) ，,y¢=1-cos x >0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在0, 2p上的單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調(diào)性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y¢=e x -1. 函數(shù)y=e x -x-1的定義域?yàn)?-¥, +¥). 因?yàn)樵?-¥, 0)內(nèi)y¢<0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在(-¥, 0 上單調(diào)減少; 因?yàn)樵?0, +¥)內(nèi)y¢>0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在0, +¥)上單調(diào)增加. 例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性.

6、 x1 x 2 yx o f(x2) f(x1) x1 x 2 yx o f(x2) f(x1) 解: 函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 (x¹0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 當(dāng)x=0時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因?yàn)閤<0時(shí), y¢<0, 所以函數(shù)在(-¥, 0 上單調(diào)減少; 因?yàn)閤>0時(shí), y¢>0, 所以函數(shù)在0, +¥)上單調(diào)增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f ¢(x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)的

7、定義區(qū)間, 就能保證f ¢(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào), 因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?(-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f ¢(x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè): x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-¥, 11, 22, +¥)f ¢(x)+-+f(x)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥, 1和2, +¥)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間1, 2上單調(diào)減少. 例5.

8、 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)? (-¥, +¥). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為: y¢=3x2 . 除當(dāng)x=0時(shí), y¢=0外, 在其余各點(diǎn)處均有y¢>0. 因此函數(shù)y=x 3在區(qū)間(-¥, 0及0, +¥)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域: (-¥, +¥)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f ¢(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當(dāng)x>1時(shí)

9、, . 證明: 令, 則 . 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí), f ¢(x)>0, 因此f(x)在1, +¥)上f(x)單調(diào)增加, 從而當(dāng)x>1時(shí), f(x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸性的概念: 定義 （凹凸性）設(shè)f(x)在區(qū)間i上連續(xù), 如果對(duì)i上任意兩點(diǎn)x 1, x 2, 恒有, 那么稱f(x)在i上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有, 那么稱f(x)在i上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義¢ 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間i上連續(xù), 如果函數(shù)的

10、曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間i上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間i上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)>0, 則f(x)在a, b上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f ¢¢(x)<0, 則f(x)在a, b上的圖形是凸的. 簡(jiǎn)要證明 只證(1). 設(shè)x1, x2Îa, b, 且x1<x2, 記. 由拉格朗日中值公式, 得 , , , , 兩式相加并應(yīng)用拉

11、格朗日中值公式得 , , 即, 所以f(x)在a, b上的圖形是凹的. 拐點(diǎn): 連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn). 確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f¢¢ (x); (3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn); 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時(shí)省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因?yàn)樵诤瘮?shù)y=ln x的定義域(0, +¥)內(nèi), y¢¢<0, 所以曲線y=l

12、n x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y¢=3x 2, y¢¢=6x . 由y¢¢=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí), y¢¢<0, 所以曲線在(-¥, 0內(nèi)為凸的; 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí), y¢¢>0, 所以曲線在0, +¥)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點(diǎn). 解: y=6x 2+6x-12, . 令y¢¢=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y¢¢<0; 當(dāng)時(shí), y¢

13、¢>0, 所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域?yàn)?-¥, +¥); (2),; (3)解方程y¢¢=0, 得, ; (4)列表判斷: (-¥, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +¥) f ¢¢(x) + 0 - 0 + f(x) È 1 Ç 11/27 È 在區(qū)間(-¥, 0和2/3, +¥)上曲線是凹的, 在區(qū)間0, 2/3上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例5 問曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？解 y¢=4x 3, y¢¢=12x 2. 當(dāng)x ¹0時(shí), y¢¢>0, 在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲