2011屆高考數(shù)學(xué)最后壓軸大題系列--數(shù)列

1、做好題，得高分，精選習(xí)題，真給力！2011年高考數(shù)學(xué)最后壓軸大題系列-數(shù)列1設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2）是函數(shù)f（x）的圖象上任意兩點(diǎn)，且，已知點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為（1）求證：m點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值； （2）若n*，且n2，求（3）已知其中nn*tn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若對(duì)一切nn*都成立，試求的取值范圍【解析】（1）證明： m是ab的中點(diǎn)設(shè)m點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）， 由（x1x2）x，得x1x21，則x11x2或x21x1 而y（y1y2） f（x1）f（x2） （log2 （1log2 （1log2 （1log2m點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值（2）由（1），知x1x21，f（x1）f（x2）y1y21，

2、 snf（snf（， 兩式相加，得2snf（）f（）f（） ，sn（n2，nn*）（3）當(dāng)n2時(shí)，an tna1a2a3an（ （ 由tn（sn11），得· n4，當(dāng)且僅當(dāng)n2時(shí)等號(hào)成立，因此，即的取值范圍是（）2. 對(duì)于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù)命名得對(duì)于任意都成立，我們稱數(shù)列是“m類數(shù)列”。 （1）若，數(shù)列是否為“m類數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)，若不是，請說明理由； （2）證明：若數(shù)列是“m類數(shù)列”，則數(shù)列也是“m類數(shù)列”； 【解析】（1）因?yàn)?，則有故數(shù)列是“m類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，2。因?yàn)椋瑒t有故數(shù)列是“m類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分雖為2，0。 （4分） （2）證明

3、：若數(shù)列是“m類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)使得對(duì)于任意都成立，且有對(duì)于任意都成立，因此對(duì)于任意都成立，故數(shù)列也是“m類數(shù)列”對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分雖為 （7分） 3. 對(duì)于給定數(shù)列，如果存在實(shí)常數(shù)，使得對(duì)于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “m類數(shù)列”（i）若，數(shù)列、是否為“m類數(shù)列”？若是，指出它對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)，若不是，請說明理由；（ii）若數(shù)列滿足，故數(shù)列前項(xiàng)的和+ 9分（2）數(shù)列是“m類數(shù)列”， 存在實(shí)常數(shù)，使得對(duì)于任意都成立，.10分且有對(duì)于任意都成立，因此對(duì)于任意都成立，而，且則有對(duì)于任意都成立，即對(duì)于任意都成立，因此，12分此時(shí)，13分4.在數(shù)列中，如果對(duì)任意都有（k是不為零的常數(shù)），則稱為等差比數(shù)列，k

4、稱為公差比. （1）證明：公比不為1的等比數(shù)列是等差比數(shù)列，且公比等于公差比; (2) 判斷兩個(gè)數(shù)列是否為等差比數(shù)列; (3)若數(shù)列是首項(xiàng)為，公差比為k的等差比數(shù)列， 求的通項(xiàng)公式。 21.設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)為因所以所以公比不為1的等比數(shù)列是等差比數(shù)列,且公比等于公差比.(2)由由故數(shù)列是等差比數(shù)列.由此時(shí)數(shù)列不是等差比數(shù)列 .此時(shí)數(shù)列是等差比數(shù)列.(3) 數(shù)列是公差比為k的等差比數(shù)列， 綜上可知: 5. 已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察程序框圖，若時(shí)，有，令，（i）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 (ii)令，求解： .2分由框圖可知知數(shù)列an是首項(xiàng)是,公差為的等差數(shù)列，則有.3分.4分（i）由題意可知，

5、k=5時(shí)， （ii）由（i）可得：. -，得.12分6. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（1），.當(dāng)，4分 （2），以上各式相加得，8分 （3）由題意得當(dāng)2時(shí)，相減得：13分7. )某漁業(yè)公司年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，第一年需各種費(fèi)用12萬元，從第二年開始包括維修費(fèi)在內(nèi)，每年所需費(fèi)用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元.(1)該船投入捕撈后第幾年開始贏利？(2)該船投入捕撈多少年后，贏利總額達(dá)到最大？最大值為多少？解：(1)設(shè)該船投入捕撈后第年開始贏利，則 4分化簡得 ， 解得 所以

6、，第3年開始贏利；7分(2)設(shè)該船投入捕撈年后的贏利總額為 則所以，投入捕撈10年后贏利總額達(dá)到最大，最大值為102萬元。13分8.已知正項(xiàng)數(shù)列的前和為，且是與的等比中項(xiàng)。（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；（3）在（2）的條件下，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出；若不存在，說明理由。（滿分13分）解（1）當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列。-（2）由（1）知，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則-得：-（3）易知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列。-9.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn,函數(shù)（其中p、q均為常數(shù)，且p>q>0），當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，點(diǎn)均在函數(shù)

7、的圖象上，（其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)） （1）求a1的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）記的前n項(xiàng)和tn.解：（i）解： 令 當(dāng)x=變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：（0，）（，1）1（1，+）f(x)+00+f(x)極大值極小值 所以f(x)在x=1處取得最小值，即a1=1.（ii）， 由于a1=1，所以 . 又。 得 ，所以an是以a1=1，公差為的等差數(shù)列，. （）10、已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且對(duì)任意，都有數(shù)列滿足（1）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，求的表達(dá)式；（2）設(shè)，求；（3）若對(duì)任意，總有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）記，由有對(duì)任意都成立，又，所以數(shù)列為首項(xiàng)為公差為2的

8、等差數(shù)列，2分故，即4分（2）由題設(shè)若為偶數(shù)，則5分若為奇數(shù)且，則，6分又，即 9分（3）當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)， ；10分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ，11分因?yàn)?，所以?2分，單增即13分故的取值范圍為14分11、,是方程的兩根, 數(shù)列是公差為正的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)記=,求數(shù)列的前項(xiàng)和.12、某旅游景點(diǎn)2010年利潤為100萬元，因市場競爭，若不開發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測從2011年起每年利潤比上一年減少4萬元。2011年初，該景點(diǎn)一次性投入90萬元開發(fā)新項(xiàng)目，預(yù)測在未扣除開發(fā)所投入資金的情況下，第年（為正整數(shù)，2011年為第1年）的利潤為萬元設(shè)從2011年起的前年，該景點(diǎn)不開發(fā)

9、新項(xiàng)目的累計(jì)利潤為萬元，開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤為萬元（須扣除開發(fā)所投入資金），求、的表達(dá)式；依上述預(yù)測，該景點(diǎn)從第幾年開始，開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤超過不開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤？13、在數(shù)列中，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和14、等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，的公比 （1）求與； （2）證明：15、已知數(shù)列滿足如圖所示的程序框圖()寫出數(shù)列的一個(gè)遞推關(guān)系式；()證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；()求數(shù)列的前項(xiàng)和答案：11、解：(1)由.且得 2分, 4分 在中,令得當(dāng)時(shí),t=,兩式相減得, 6分. 8分(2), 9分, 10分=2=, 13分 14分 12、解：依題意，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和2分，所以4分；數(shù)列的前項(xiàng)和為7分，8分由得，9分，是數(shù)集上的單調(diào)遞增數(shù)列10分，觀察并計(jì)算知，11分，所以從第5年開始，開發(fā)新項(xiàng)目的累計(jì)利潤更大12分。123解：（1）解法1：由可得，-3分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1等差數(shù)列， -6分?jǐn)?shù)列的通項(xiàng)公式為-7分解法2：由可得-2分令，則-3分當(dāng)時(shí)-5分-6分-7分解法3：，-1分，-2分-3分由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為-4分以下用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，等式成立假設(shè)當(dāng)（）時(shí)等式成立，即，那么 -6分這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立根據(jù)和可知，等式對(duì)任何都成立-7分（2）令，-8