旋轉題(含答案)

1、圖形變換 (2015江西）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是ABC的中線，AFBE，垂足為P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”設BCa，ACb，ABc特例探索(1)如圖1，當ABE45°，c時，a ，b ； 如圖2，當ABE30°，c4時，a ，b ；歸納證明(2)請你觀察(1)中的計算結果，猜想a2，b2，c2三者之間的關系，用等式表示出來，請利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式；拓展應用(3)如圖4，在ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點，BEEG，AD，AB3求AF的長解：（1）如圖1，連接EF,則EF是A

2、BC的中位線， EF=, ABE=45°,AEEF ABP是等腰直角三角形， EFAB ，EFP也是等腰直角三角形， AP=BP=2 ，EP=FP=1, AE=BF=, . 如圖2，連接EF,則EF是ABC的中位線.ABE=30°,AEBF,AB=4 AP=2, BP=,EF, PE=,PF=1, AE=, BF= , . (2) 如圖3，連接EF， 設AP=m ,BP=n.,則 EF, PE=BP=n , PF=AP=m, , , , （3）如上圖，延長EG,BC交于點Q, 延長QD,BA交于點P,延長QE,BE分別交PB，PQ于點M,N,連接EF.四邊形ABCD是平行四

3、邊形，ADBC, ABCD,E,G是分別是AD,CD的中點，EDGQCGEAM, CQ=DE=, DG=AM=1.5，BM=4.5.，BP=9, M是BP的中點；ADFQ, 四邊形ADQF是平行四邊形，AFPQ,E,F分別是AD，BC的中點，AEBF, 四邊形ABFE是平行四邊形，OA=OF,由AFPQ得： , , PN=QN, N是PQ的中點；BQP是“中垂三角形”， , （2013江西）某數(shù)學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經(jīng)歷了如下過程：（1）操作發(fā)現(xiàn)：在等腰ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DFAB于點F，EGAC

4、于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是 （填序號即可）AF=AG=AB；MD=ME；整個圖形是軸對稱圖形；MDME（2）數(shù)學思考：在任意ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關系？請給出證明過程；（3）類比探究：（i）在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷MED的形狀（ii）在三邊互不相等的ABC中（見備用圖），仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內側作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直

5、角三角形ACE，M是BC的中點，連接MD和ME，要使（2）中的結論此時仍然成立，你認為需增加一個什么樣的條件？（限用題中字母表示）并說明理由解：（1）ADB和AEC是等腰直角三角形，ABD=DAB=ACE=EAC=45°，ADB=AEC=90°在ADB和AEC中， ADBAEC（AAS）， BD=CE，AD=AE，DFAB于點F，EGAC于點G， AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=ACAB=AC， AF=AG=AB，故正確；M是BC的中點，BM=CMAB=AC，ABC=ACB，ABC+ABD=ACB+ACE，即DBM=ECM在DBM和ECM中 DBMECM（SAS）

6、， MD=ME故正確；連接AM，根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1，沿AM對折左右兩部分能完全重合，整個圖形是軸對稱圖形，故正確AB=AC，BM=CM， AMBC，AMB=AMC=90°，ADM=90°，四邊形ADBM四點共圓，AMD=ABD=45°AM是對稱軸， AME=AMD=45°，DME=90°， MDME，故正確，故答案為：（2）MD=ME，理由：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG， AF=AB，AG=ACABD和AEC是等腰直角三角形， DFAB，DF=AB，EGAC，EG=AC，AFD=AGE=90°，DF

7、=AF，GE=AGM是BC的中點， MFAC，MGAB，四邊形AFMG是平行四邊形，AG=MF，MG=AF，AFM=AGMMF=GE，DF=MG，AFM+AFD=AGM+AGE，DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），DM=ME；（3）i點M、F、G分別是BC、AB、AC的中點，MFAC，MF=AC，MGAB，MG=AB，四邊形MFAG是平行四邊形，MG=AF，MF=AGAFM=AGMADB和AEC是等腰直角三角形，DF=AF，GE=AG，AFD=BFD=AGE=90°MF=EG，DF=MG，AFMAFD=AGMAGE，即DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMG

8、E（SAS），MD=ME，MDF=EMGMGAB，MHD=BFD=90°，HMD+MDF=90°，HMD+EMG=90°，即DME=90°，DME為等腰直角三角形；ii如圖4，ADB和AEC是直角三角形，ADB=AEC=90°，當BAD=CAE時，DM=EM理由：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，MF=AC，MFAC，MG=AB，MGAB，四邊形AFMG是平行四邊形，MF=AG，MG=AF，AFM=AGMADB=AEC=90°，DF=AF，EG=AG，DF=MG，MF=EG，F(xiàn)DA=DAF，AEG=GAEBAD=C

9、AE，F(xiàn)DA=DAF=AEG=GAE，AFD=AGE，AFDAFM=AGEAGM，即DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），DM=ME（2014南昌）如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上（不與點A，B重合），點F在BC邊上（不與點B，C重合）第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉，當點E落在正方形上時，記為點G；第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉，當點F落在正方形上時，記為點H；依次操作下去（1）圖2中的EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為等邊三角形，求此時線段EF的長；（2）若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH請判斷四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AE與

10、BF的數(shù)量關系是AE=BF；以中的結論為前提，設AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式及面積y的取值范圍；（3）若經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是多少？它可能是正多邊形嗎？如果是，請直接寫出其邊長；如果不是，請說明理由解：（1）如題圖2，由旋轉性質可知EF=DF=DE，則DEF為等邊三角形在RtADE與RtCDF中，RtADERtCDF（HL）AE=CF設AE=CF=x，則BE=BF=4x BEF為等腰直角三角形 EF=BF=（4x）DE=DF=EF=（4x）在RtADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x+42=（4x2，解得：x1=84

11、，x2=8+4（舍去） EF=（4x）=44DEF的形狀為等邊三角形，EF的長為44（2）四邊形EFGH的形狀為正方形，此時AE=BF理由如下：依題意畫出圖形，如答圖1所示：由旋轉性質可知，EF=FG=GH=HE，四邊形EFGH的形狀為正方形1+2=90°，2+3=90°，1=33+4=90°，2+3=90°，2=4在AEH與BFE中，AEHBFE（ASA）AE=BF利用中結論，易證AEH、BFE、CGF、DHG均為全等三角形，BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4xy=S正方形ABCD4SAEH=4×44×x（4x）

12、=2x28x+16y=2x28x+16（0x4）y=2x28x+16=2（x2）2+8，當x=2時，y取得最小值8；當x=0時，y=16，y的取值范圍為：8y16（3）經(jīng)過多次操作可得到首尾順次相接的多邊形，其最大邊數(shù)是8，可能為正多邊形，邊長為44如答圖2所示，粗線部分是由線段EF經(jīng)過7次操作所形成的正八邊形設邊長EF=FG=x，則BF=CG=x，BC=BF+FG+CG=x+x+x=4，解得：x=44(2) 證明：ACAB且EFBC，AEAF；由旋轉的性質可知：EACFAB，AEAF， 在CAE和BAF中，CAEBAF，CEBF (3)存在CEAB，理由：由(1)可知AEBC，所以，在AEF

13、繞點A逆時針旋轉過程中，E點經(jīng)過的路徑(圓弧)與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，如圖：當點E的像E與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，BAMABC72°，又BAC36°，CAM36°當點E的像E與點N重合時，由ABl得，AMNBAM72°，AMAN，ANMAMN72°，MAN180°2×72°36°，CANCAMMAN72°所以，當旋轉角為36°或72°時，CEAB（1）證明：B1CB=45°，B1CA1=90°，B1CQ=BCP1=45°。在B1CQ和BCP1中，B1CQBCP1（ASA）。CQ=CP1。（2）如圖，過點P1作P1DCA于D，A=30