平板波導理論

1、第一章 平板波導的射線理論光束在介質中傳輸時，由于介質的吸收和散射而引起損耗，由于繞射而引起發(fā)散，這些情況都會導致光束中心部分的強度不斷地衰減。因此，有必要設計制作某種器件，它能夠引導光束的傳播，從而使光束的能量在橫的方向上受到限制，并使損耗和噪聲降到最小，這種器件通常稱為光波導，簡稱波導。結構最簡單的波導是由三層均勻介質組成的，中間的介質層稱為波導層或芯層，芯兩側的介質層稱為包層。芯層的介電常數(shù)比芯兩側包層的介電常數(shù)稍高，使得光束能夠集中在芯層中傳輸，因而起到導波的作用。這種波導的介電常數(shù)分布是陡變的，也稱為階梯變化的，常稱這種波導為平板波導。對光波導特性的分析，應用兩種理論，即射線光學理論

2、和波動光學理論。射線光學理論的優(yōu)點是對平板波導的分析過程簡單直觀，對某些物理概念能給出直觀的物理意義，容易理解。缺點是對于結構復雜的多層波導射線光學理論不便于應用，或只能得出粗糙的結果。一般而言，若想全面、正確地分析各種結構的光波導的模式特性，還必須采用波動理論。光射線，簡稱射線或光線，可以這樣理解：一條很細很細的光束，它的軸線就是光射線。它的方向沿著光能流的方向。光線與光束是不同的，光線是無限細的，光束則有一定的尺寸。光線在均勻介質中的傳輸軌跡是一條直線，在非均勻介質中的傳輸軌跡是一條曲直線。用射線去代表光能量傳輸路線的方法稱為射線光學。射線光學是忽略光波長的光學，亦即射線理論是光波長趨于零

3、的波動理論。本章將應用射線光學的基本理論對三層平板波導加以分析，目的是對波導的導波原理和與之相關的某些物理概念為讀者給出直觀的物理意義和清晰的理解，并為以后運用波動光學理論分析各種結構光波導的模式特性打好基礎。1.1 模式類型我們把波導中所能傳輸?shù)碾姶艌鲂头Q為波導的模式，在平板波導中存在兩種基本模式，一種稱為TE模，另一種稱為TM模。兩種模式用光的電場和磁場的偏振方向來定義比較直觀。選擇電場只沿平行于波導界面的方向偏振，此時電場垂直于光的傳播方向，是橫向的，因而把這種模式稱為橫電模，英文為Transverse Electric Mode，取其字頭稱為TE模。選擇磁場只沿平行于波導界面的方向偏振

4、，此時磁場垂直于光的傳播方向，是橫向的，因而把這種模式稱為橫磁模，英文為Transverse Magnetic Mode，取其字頭稱為TM模。根據模式的導波性或輻射性，可進一步把模式分為導引模式和輻射模式，前者簡稱導模，而后者簡稱輻射?！，F(xiàn)來研究三層平板波導，其橫截面和相對介電常數(shù)分布如圖1-1所示，光沿垂直紙面的z方向傳輸，圖中b為波導芯厚度，e1、e2、e3分別為芯層、下包層和上包層的相對介電常數(shù)，相應的折射率分別為n1、n2、n3，它們與相對介電常數(shù)的關系為、。為了分析方便，常令，或。當上下包層為同一種介質時，此時為對稱三層波導，當上下包層為兩種不同的介質時，此時為非對稱三層波導。令光沿

5、z方向傳輸，光在y方向不受限制。下面我們對非對稱三層波導進行分析，即、。對于對稱三層波導，只要在分析結果中令即可。 圖1-1 三層平板波導的橫截面圖及相對介電常數(shù)分布，e1 > e2 ³ e3，當e2 = e3時為對稱三層平板波導，當e2 ¹ e3時為非對稱三層平板波導。1.1.1 折射定律和全反射光在波導中傳輸時，從射線的角度來看，要不斷地在波導的兩個界面上發(fā)生反射和折射，如圖1-2所示。反射光的軌跡在芯層中是一個鋸齒波。令入射角為q1，在下界面的折射角為q2，在上界面的折射角為q3。當入射角q1較小時光在上下兩個界面上都不發(fā)生全反射，此時光在上下兩個界面上的折射滿

6、足折射定律 (1.1-1)即有 (1.1-2) 由式(1.1-1)可得 (1.1-3)因為，由式(1.1-2)可判斷出。當入射角q1增大時，折射角為q2 和q3也隨之增大。當q3增大到90°時，光在上界面上發(fā)生全反射。如果入射角q1繼續(xù)增大，使得q2也增大到90°時，光在下界面上也要發(fā)生全反射。光發(fā)生全反射時的入射角稱為臨界角。由式(1.1-3)可得到光在下、上兩個界面上發(fā)生全反射時的臨界角q12、q13分別為 (1.1-4)因為，所以。1.1.2 空間輻射模當入射角較小時，使得光在上下兩個界面上都不發(fā)生全反射，如圖1-2所示。在這種情況下，光在傳輸過程中不斷地有折射光進入

7、上下包層，即光能量不斷地從上下包層中輻射出去，這種模式稱為空間輻射模。因此若產生空間輻射模，入射角q1必須滿足下述條件 (1.1-5)由上式還可得到 (1.1-6)我們定義為模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，產生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-7)令，稱k0為為真空中波數(shù)，l0真空中光波長，并定義為模式的傳播常數(shù)，它是波矢k的z分量，即。引入傳播常數(shù)的概念后，上式兩端同乘以k0，因此產生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-8)我們把產生空間輻射模的條件合寫如下 (1.1-9)傳播常數(shù)b的單位通常采用cm-1或mm-1。圖1-2 空間輻射模1.1.3 襯底輻射模如果入射角q1增大到使

8、光在上界面發(fā)生全反射但在下界面還沒發(fā)生全反射，如圖1-3所示。此時光在傳輸過程中不斷地有折射光進入下包層，即光能量不斷地從下包層(有時也為襯底)中輻射出去，這種模式稱為襯底輻射模。因此若產生襯底輻射模，入射角q1必須滿足下述條件 (1.1-10)由上式還可把產生襯底輻射模的條件寫為 (1.1-11)上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0，產生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-12)圖1-3 襯底輻射模1.1.4 導模如果入射角q1增大到使光在上下兩個界面上都發(fā)生全反射時，此時上下包層中不再有折射光，如圖1-4所示。在這種情況下，光能量不再向包層中輻射，光被限制在波導芯中以鋸齒波的形式沿z方向傳輸，這種

9、模式稱為導模。因此若產生導模，入射角q1必須滿足下述條件 (1.1-13)由上式還可把產生導模的條件寫為 (1.1-14)上式兩端同乘以真空中波數(shù)k0，產生空間輻射模的條件又可寫為 (1.1-15)圖1-4 導模1.1.5 禁區(qū)如果入射角q1增大到90°，則光將沿z方向前進，此時導模的有效折射率N = n1，傳播常數(shù)，這是導模最大可能的傳播常數(shù)。對于組成波導的各層介質都是線性的情況，N > n1或的區(qū)域為禁區(qū)，代表不存在模式的區(qū)域。1.1.6 表面模對于某些特殊結構的波導，如金屬包層波導和非線性波導，會出現(xiàn)其有效折射率大于n1、傳播常數(shù)大于 k0n1的情況。這種N > n

10、1或的模式稱為表面模。1.2 全反射相移光在波導界面上發(fā)生全反射時，入射角大于臨界角。以下界面為例，有 或 (1.2-1) 下面我們分別討論TE和TM模由全反射而引起的相移。1.2.1 TE模的全反射相移TE模的反射系數(shù)公式為 (1.2-2)式中E、分別為入射場強和反射場強。光在下界面發(fā)生全反射時，利用式(1.1-1)和(1.2-1)可得 (1.2-3)上式說明發(fā)生全反射時折射角q2變?yōu)樘摂?shù)。上式代入式(1.2-2)得到 (1.2-4)上式表明，光在下界面發(fā)生全反射時，反射光和入射光之間產生一個相移-2f12，其中 (1.2-5)令 (1.2-6a) (1.2-6b)則有 (1.2-7a) (

11、1.2-7b) (1.2-7c)代入式(1.2-5)則有 (1.2-8)同理，光在上界面發(fā)生全反射時的也要產生一個相移-2f13，其中 (1.2-9)1.2.2 TM模的全反射相移TM模的反射系數(shù)公式為 (1.2-10)光在下界面發(fā)生全反射時，上式(1.2-3)代入式(1.2-10)得到 (1.2-11)其中-2f12為光在下界面發(fā)生全反射時，反射光和入射光之間產生的相移 (1.2-12)此時令 (1.2-13a) (1.2-13b)仍有 (1.2-14a) (1.2-14b) (1.2-14c)代入式(1.2-12)則有 (1.2-15)同理，光在上界面發(fā)生全反射時，反射光和入射光之間也要產

12、生一個相移-2f13，其中 (1.2-16)對于TE和TM模，T2、T3的定義是不同的，參見式(1.2-6a)、(1.2-13a)，因而它們的全反射相移也是不同的。這些全反射相移稱為相移。1.3 穿透深度和有效波導厚度在我們以前的討論中，當光在波導界面上發(fā)生全反射時，認為光就在入射點上發(fā)生反射，入射和反射在同一點上發(fā)生，也就是說認為反射點和入射點是同一個點。 這時光在波導中的軌跡是一個鋸齒波，但實際上卻不然。Goos和二人曾于1947年在試驗上發(fā)現(xiàn)，光的反射并不發(fā)生在入射點上，光的反射點和入射點并不是同一點，反射點離入射點有一段距離或位移，如圖1-5所示。這是因為任何相移都要與一定的光程或位移

13、相聯(lián)系，光在界面上產生的全反射相移也不例外。這樣看來，光在波導上下界面處發(fā)生全反射時，入射光似乎并不是在實際界面上反射，而好像是深入到較低折射率的上下包層中的某兩點，然后再反射回來。設這兩點A、B距上下界面的距離分別為x3和x2，并令在上下界面處因全反射相移而引起的位移分別為2z3和2z2，于是有 (1.3-1)x3、x2稱為導模在上下界面處的穿透深度。光因相移f而引起的位移z由下述公式確定 (1.3-2)下面我們分別討論TE和TM模的穿透深度和有效波導厚度。圖1-5 穿透深度和有效波導厚度。1.3.1 TE模的穿透深度和有效波導厚度式(1.2-8)代入式(1.3-2)，并利用式(1.2-6)

14、和(1.2-7)可得即有 (1.3-3)同理有 (1.3-4)式(1.3-3)、(1.3-4)代入式(1.3-1)則可得到TE模在上下兩個界面處的的穿透深度分別為 (1.3-5)穿透深度的存在相當于增大了波導芯的實際厚度，因此TE模的有效波導厚度為 (1.3-6) 1.3.2 TM模的穿透深度和有效波導厚度式(1.2-15)代入式(1.3-2)并利用式(1.2-13)和(1.2-14)可得 即有 (1.3-7)同理有 (1.3-8)式(1.3-7)、(1.3-8)代入式(1.3-1)則可得到TM模在上下兩個界面處的的穿透深度分別為 (1.3-9a) (1.3-9b)因而TM模的有效波導厚度則為

15、 (1.3-10a)或 (1.3-10b)§1.4 特征方程導模的傳播常數(shù)b 滿足條件 (1.4-1)但并非滿足上式的所有b 的值都能形成導模。在波導中傳輸?shù)墓獠⒎鞘且粭l孤立的光線，而是一束平行光線。這些平行光線在波導的兩個界面之間多次全反射，只有在一個完整的鋸齒波過程中相位相差2p的整數(shù)倍的那些光線才能產生干涉而形成導模。如圖1-6所示，這一平行光束中的一條光線在上下界面處發(fā)生兩次全反射時的光程，與另一條光線在這期間是不同的。令光線1在上下界面的A、B兩點發(fā)生全反射，通過A、B兩點的等相面為AC和BD。在D點發(fā)生全反射的入射光線為光線2，則光線1和光線2在兩個等相面AC和BD間的幾

16、何光程差為AB-ED，相應的相位差為圖1-6 光程差的確定 (1.4-2)式中為波導芯介質中的光波長，l0為真空中光波長。另外光在上下兩個界面處發(fā)生全反射的相移為和，因此總相移應等于2p的整數(shù)倍，即有 (m = 0, 1, 2, ) (1.4-3)由圖中的幾何關系可得 (1.4-4) (1.4-5) 由此得到 (1.4-6)上式代入式(1.4-3)有 (1.4-7)又因，所以有 (1.4-8)式中是一條光線在兩個界面之間往返一次因光程而引起的x方向的橫向相移。把和的表達式(1.2-8)、(1.2-9)或(1.2-15)、(1.2-16)代入上式中則可得到TE和TM導模的特征方程為 (m = 0

17、, 1, 2, ) (1.4-9)式中m稱為模式階數(shù)，T2、T3定義為 (1.4-10) (1.4-11)式中，對于TE導模s = 0，對于TM導模s = 1。導模特征方程(1.4-9)是傳播常數(shù)b的超越方程，由它不可能得到b的解析解，只能得到b的數(shù)值解。又因為這一方程中含的整數(shù)m，取值不連續(xù)，因而b的取值也不連續(xù)，取分立值，即導模的傳播常數(shù)組成分立譜。§1.5 導模的傳輸與截止導模的有效折射率N的變化范圍為，在此范圍內導模能夠在波導中進行傳輸。當導模的有效折射率N等于芯兩側包層折射率n2時，導模不復存在，稱為導模截止。此時把N = n2代入式(1.4-11)中得到，進而由式(1.4

18、-10)得到T2 = 0。下面分別討論對稱三層波導和非對稱三層波導中導模的傳輸與截止情況。1.5.1 對稱三層波導令n2 = n3代入式(1.4-9)中即可得到對稱三層波導TE和TM導模的特征方程為 (m = 0, 1, 2, ) (1.5-1)應用特征方程(1.5-1)進行數(shù)值計算，圖1-7顯示了GaAs/Al0.07Ga0.93As對稱三層波導TE和TM導模的傳輸和截止情況，圖中給出了波導芯厚度b與模有效折射率N的關系曲線。取真空中光波長l0 = 1.15 mm，GaAs波導芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包層的折射率n2 = 3.43。此時由于芯層與上下包層

19、之間的相對折射率差較小，即，因此TE和TM的各階導模的有效折射率之值相差很小，相應的曲線相互重合，TE和TM模發(fā)生簡并。所謂簡并，是指同一個有效折射率的值對應兩個或兩個以上的模式。圖1-7 對稱三層波導TE和TM導模的傳輸曲線。取l0 = 1.15 mm，n1 = 3.45，n2 = n3 = 3.43，特征方程(1.5-1)的數(shù)值結果。當給定波導芯厚度b時，我們可以判斷出波導中能夠傳輸?shù)膶５臄?shù)量。當?shù)趍階導模截止時，把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)可得 (1.5-2)從上式可以看出，波導中所能傳輸?shù)膶?shù)量與芯厚度或折射率差成正比，芯厚度或折射率差越大，則波導中所能傳輸?shù)膶?shù)量越

20、多。當m不為整數(shù)時，波導中所能傳輸?shù)淖罡邔ｋA數(shù)為mmax = int(m)，考慮到0階模，因此波導中所能傳輸?shù)膶?shù)量為M = mmax +1 = Int(m)+1。當m恰為整數(shù)時， mmax = m-1，因此波導中所能傳輸?shù)膶?shù)量為M = mmax +1 = m。把T2 = 0代入特征方程(1.5-1)，得到第m階導模截止時的波導芯厚度為 (1.5-3)因此第m階導模的截止條件為 (1.5-4)上式說明當芯厚度b等于或小于第m階導模的截止芯厚度時，第m階導模截止。由上式可得到相鄰兩個導模截止點的間距為 (1.5-5)即各階導模的截止點等間距排列。對于0階導模，稱為基模，m = 0，由式(

21、1.5-2)知其截止芯厚度為，這意味著對于任何芯厚度的對稱波導，TE和TM基?？偰茉谄渲袀鬏?，永不截止。在波導器件的實際應用中，常要求在其中使高階導模截止，只傳輸TE或TM基模，這種波導稱為單模波導。因此在設計和制作單模波導時，其芯厚度不能大于1階導模的截止芯厚度，即 (1.5-6)從上式可以看出，為了保證波導中進行單模傳輸，波導芯與其兩側包層之間的折射率差越大，波導芯的厚度就應越小。因此為了保證波導中進行單模傳輸，就應適當減小波導芯厚度或折射率差，使芯厚度小于1階模的截止芯厚度。上面討論的各階導模的截止情況與圖1-7顯示的情況完全相符。1.5.2 非對稱三層波導非對稱三層波導TE和TM導模的

22、特征方程為 (m = 0, 1, 2, ) (1.5-7)應用特征方程(1.5-7)進行數(shù)值計算，圖1-8顯示了GaAs/Al0.07Ga0.93As非對稱三層波導TE和TM導模的傳輸和截止情況，圖中給出了波導芯厚度b與模有效折射率N的關系曲線。取真空中光波長l0 = 1.15 mm，GaAs波導芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As下包層的折射率n2 = 3.43，上包層為空氣，其有效折射率為n3 = 1。此時由于芯層與上包層空氣之間的相對折射率差較大，即，從圖中可以看出TE和TM各階模式有效折射率之值有了差別，相應的曲線也已經分開，TE和TM模的簡并被消除。圖1-8 非

23、對稱三層波導TE(實線)和TM導模(虛線)的傳輸曲線。取l0 = 1.15 mm， n1 = 3.45，n2 = 3.43，n3 = 1，特征方程(1.5-7)的數(shù)值結果。當給定波導芯厚度b時，我們可以判斷出波導中能夠傳輸?shù)膶５臄?shù)量。當?shù)趍階導模截止時，把T2 = 0代入特征方程(1.5-7) (1.5-8)把T2 = 0代入特征方程(1.5-7)中得到第m階導模的截止波導芯厚度為 (1.5-9)式中 (1.5-10) 對于TE導模s = 0，對于TM導模s = 1。因此第m階導模的截止條件為 (1.5-11)由上式可得到相鄰兩個導模截止點的間距為 (1.5-12)即各階導模的截止點也是等間

24、距排列。對于0階導模即基模，m = 0，由式(1.5-11)知其截止芯厚度為 (1.5-13)這一點與對稱波導不同。對于對稱波導，其0階導模的截止芯厚度為零，這意味著對于任何芯厚度的對稱波導，TE0和TM0基?？偰茉谄渲袀鬏?，永不截止。而對于非對稱波導，其0階導模的截止芯厚度不為零。因此在波導器件的設計和制作中，波導芯厚度應大于0階導模的截止芯厚度，否則波導將不能導波。當我們設計單模波導時，其芯厚度要大于0階導模的截止芯厚度同時要小于等于1階導模的截止芯厚度，即 (1.5-14)對于許多實際應用的波導如半導體波導，其芯層與下包層的折射率相差很小，而其芯層與上包層的折射率相差較大。對于這種的情況

25、，由式(1.5-10)可知T3很大，因此可近似認為，此時，確定波導中模式數(shù)量的公式(1.5-8)簡化為 (1.5-15)確定導模的截止芯厚度的公式(1.5-9) 簡化為 (1.5-16)單模傳輸?shù)臈l件式(1.5-14)簡化為 (1.5-16)上面討論的各階導模的截止情況也與圖1-8顯示的情況完全相符。§1.6 遠截止近似法波導模式的特征方程是超越方程，不可能從中得到傳播常數(shù)的解析表達式。如果當波導芯厚度較大時，可用遠截止近似法求出導模傳播常數(shù)的近似表達式。下面以非對稱三層平板波導為例加以說明。非對稱三層平板波導TE和TM模的特征方程為 (m = 0, 1, 2, ) (1.6-1)為

26、了運算方便，可把T2和T3的表達式改寫為 (1.6-2)式中 (j = 2, 3) (1.6-3)假設導模處于遠離截止狀態(tài)，引入量 (1.6-4)此時導模有效折射率N趨于n1，由上式定義的P可以看成是小量，而P2為二階小量可略去。利用式(1.6-3)和(1.6-4)做下述變換 (1.6-5) (1.6-6) (1.6-7)利用公式，特征方程(1.6-1)變?yōu)?(m = 0, 1, 2, ) (1.6-8)式(1.6-5)、(1.6-6)、(1.6-7)代入上式得到 (1.6-9)因為，所以為小量，因此上式可近似為 (1.6-10)由此得到 (1.6-11)上式與式(1.6-4)中的第一式聯(lián)立求

27、解則可得到TE和TM導模的有效折射率N和傳播常數(shù)b滿足的近似表達式分別為 (1.6-12) (1.6-13)式中c2、c3、V、Q由式(1.6-2)和(1.6-4)規(guī)定。利用式(1.6-4)中的第二、三式還可把上式寫成下述形式 (1.6-14) (1.6-15) 對于對稱三層波導，在式(1.6-14)、(1.6-15)中令、即可。當給定波導芯厚度b和介電常數(shù)分布時，可直接由上式計算出三層平板波導TE和TM導模的有效折射率N和傳播常數(shù)b的值。圖1-9 顯示了應用遠截止近似法與特征方程對TE 導模計算結果的對比，選擇GaAs/Al0.07Ga0.93As對稱三層平板波導，取真空中光波長l0 = 1.15 mm，GaAs波導芯的折射率n1 = 3.45，Al0.07Ga0.93As上下包層的折射率n2 = n3 = 3.43。圖中可以看出，由式(1.6-13)得到的有效折射率N的近似解，在模臨近截止的區(qū)域內與特征方程(1.6-1)的數(shù)值解之間存在較大的誤差。但當芯厚度b增大時，此誤差將迅速地減小，使得在導模遠離截止的廣大區(qū)域內，能夠用此方法得到導模有效折射率N和傳播常數(shù)b比較精確的計算結果。圖1-9 對稱三層平板波導的TE導模有效折射率N計算結果的對比，取l0 = 1.15 mm，n1 = 3.45，n2 = n3 =3.43。