云南省德宏州梁河縣第一中學(xué)高中數(shù)學(xué)3.1.1兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)2新人教版必修4通用

1、3.1.1 兩角差的余弦公式 教學(xué)內(nèi)容及其解析【內(nèi)容】本課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修4（人教a版2020年2月第2版）的第三章第一節(jié)第1課內(nèi)容?！窘馕觥?本節(jié)是以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題做引子,目的在于從中提出問(wèn)題,引入本章的研究課題.在用方程的思想分析題意,用解直角三角形的知識(shí)列方程的過(guò)程中,提出了兩個(gè)問(wèn)題:實(shí)際問(wèn)題中存在研究像tan(45°+)這樣的包含兩個(gè)角的三角函數(shù)的需要;實(shí)際問(wèn)題中存在研究像sin與tan(45°+)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與、45°單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.以實(shí)例引入課題也有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)

2、習(xí)的積極性,同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展的過(guò)程. 本節(jié)首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)cos(-)的結(jié)果進(jìn)行探究,讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力,進(jìn)行猜想,給出所有可能的結(jié)果,然后再去驗(yàn)證其真假.這也展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的具體過(guò)程,最后提出了兩種推導(dǎo)證明“兩角差的余弦公式”的方案.方案一,利用單位圓上的三角函數(shù)線(xiàn)進(jìn)行探索、推導(dǎo),讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖,構(gòu)造出-角,利用學(xué)過(guò)的三角函數(shù)知識(shí)探索存在一定的難度,教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).方案二,利用向量知識(shí)探索兩角差的余弦公式時(shí),要注意推導(dǎo)的層次性:在回顧求角的余弦有哪些方法時(shí),聯(lián)系向量知識(shí),體會(huì)向量方法的作用;結(jié)合有關(guān)圖形,完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備;探索過(guò)程不應(yīng)追求一

3、步到位,應(yīng)先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié),抓住主要問(wèn)題及其線(xiàn)索進(jìn)行探索,然后再反思,予以完善;補(bǔ)充完善的過(guò)程,既要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想,又要用到誘導(dǎo)公式.教學(xué)目標(biāo)及其解析【目標(biāo)】1.知識(shí)與技能引導(dǎo)學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”,了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過(guò)強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解。2.過(guò)程與方法通過(guò)探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”， 培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).通過(guò)兩角差的余弦公式的運(yùn)用,會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、證明,體會(huì)化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用,使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn),自覺(jué)地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題,提高學(xué)

4、生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.3.情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生體會(huì)探究的樂(lè)趣,認(rèn)識(shí)到世間萬(wàn)物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí),從而培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.【解析】通過(guò)在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情景中，引導(dǎo)學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)，由特殊到一般發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式的內(nèi)容并會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式。本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué),教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律,應(yīng)注意以下幾方面:要使學(xué)生了解公式的由來(lái);使學(xué)生認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特征,加以記憶;使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明;通過(guò)例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用,靈活運(yùn)

5、用公式進(jìn)行解答有關(guān)問(wèn)題.重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn):通過(guò)探究得到兩角差的余弦公式. 教學(xué)難點(diǎn):探索過(guò)程的組織和適當(dāng)引導(dǎo).教學(xué)問(wèn)題診斷分析1學(xué)生在利用單位圓上的三角函數(shù)線(xiàn)進(jìn)行探索、推導(dǎo),并構(gòu)造出-角,利用學(xué)過(guò)的三角函數(shù)知識(shí)探索時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是學(xué)生不能對(duì)三角函數(shù)線(xiàn)進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化。要克服這一困難，關(guān)鍵是教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).2學(xué)生在利用向量知識(shí)探索兩角差的余弦公式時(shí)，又可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是他們對(duì)向量方法難以靈活應(yīng)用，對(duì)、及向量夾角的關(guān)系難以找出。要克服這一困難，關(guān)鍵是教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).并結(jié)合有關(guān)圖形,完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備，探索過(guò)程不應(yīng)追求一步到位,應(yīng)先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié),抓住主要問(wèn)題及

6、其線(xiàn)索進(jìn)行探索,然后再反思,予以完善。教學(xué)支持條件分析為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法的掌握，幫助學(xué)生克服在推導(dǎo)過(guò)程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下，利用多媒體課件動(dòng)態(tài)地研究?jī)山遣畹挠嘞夜脚c三角函數(shù)線(xiàn)和向量知識(shí)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、基本流程提出問(wèn)題推導(dǎo)公式例題講解目標(biāo)檢測(cè)課堂小結(jié)二、教學(xué)情景（一）知識(shí)點(diǎn)教學(xué)【問(wèn)題提出】我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道對(duì)于30°，45°，60°等特殊角的三角函數(shù)值可以直接寫(xiě)出，利用誘導(dǎo)公式還可進(jìn)一步求出150°，210°

7、;，315°等角的三角函數(shù)值. 由此我們能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?這里是不是等于cos45°-cos30°呢？ 設(shè)計(jì)意圖由此展開(kāi)新課。師生活動(dòng)教師可讓學(xué)生驗(yàn)證,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可知,我們的猜想是錯(cuò)誤的.那么究竟是個(gè)什么關(guān)系呢？cos(-)等于什么呢？這時(shí)學(xué)生急于知道答案,由此展開(kāi)新課:我們就一起來(lái)探討“兩角差的余弦公式”.這是全章公式的基礎(chǔ).探究1：利用特殊三角函數(shù)值探究?jī)山遣畹挠嘞夜健締?wèn)題1】設(shè)，為兩個(gè)任意角, 你能判斷cos()coscos恒成立嗎?設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生明白,要想說(shuō)明此式正確,需進(jìn)行嚴(yán)格證明,而要想說(shuō)明

8、猜想錯(cuò)誤,只需一個(gè)反例即可.師生活動(dòng)教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥,然后讓學(xué)生由特殊角來(lái)驗(yàn)證它的正確性.如=60°,=30°,則cos(-)=cos30°=,而cos-cos=cos60°-cos30°=,這一反例足以說(shuō)明cos(-)cos-cos.【問(wèn)題2】我們?cè)O(shè)想cos()的值與，的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀察下表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？【問(wèn)題3】一般地，你猜想cos()等于什么？設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下,大膽猜想探究2：利用單位圓上的三角函數(shù)線(xiàn)探究?jī)山遣畹挠嘞夜健締?wèn)題1】如圖1,設(shè)，為銳角，且，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p1,pop1=,則p

9、ox=-.過(guò)點(diǎn)p作pm垂直于x軸,垂足為m,那么cos()表示哪條線(xiàn)段長(zhǎng)？圖1【問(wèn)題2】如何用線(xiàn)段分別表示sin和cos？【問(wèn)題3】過(guò)點(diǎn)a作ab垂直于x軸,垂足為b,過(guò)點(diǎn)p作pc垂直于ab,垂足為c,為什么？【問(wèn)題4】coscosoacos，它表示哪條線(xiàn)段長(zhǎng)？sinsinpasin，它表示哪條線(xiàn)段長(zhǎng)？【問(wèn)題5】利用omobbmobcp可得什么結(jié)論？【問(wèn)題6】上述推理能說(shuō)明對(duì)任意角，都有cos()coscossinsin成立嗎？設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)線(xiàn)推導(dǎo)兩角差的余弦公式師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,以上的推理過(guò)程中,角、-是有條件限制的,即、-均為銳角,且>,如果要說(shuō)明此結(jié)果是否

10、對(duì)任意角、都成立,還要做不少推廣工作,并且這項(xiàng)推廣工作的過(guò)程比較繁瑣,由同學(xué)們課后動(dòng)手試一試.探究3：利用向量的知識(shí)探究?jī)山遣畹挠嘞夜健締?wèn)題1】根據(jù)coscossinsin的結(jié)構(gòu)特征，你能聯(lián)想到一個(gè)相關(guān)計(jì)算原理嗎？【問(wèn)題2】如圖，設(shè)角，的終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為a、b，則向量、 坐標(biāo)分別是什么？其數(shù)量積是什么？圖2 【問(wèn)題3】設(shè)向量的夾角,則根據(jù)數(shù)量積定義，等于什么？【問(wèn)題4】由圖可知向量的夾角與，有什么關(guān)系？由此你可以得到什么結(jié)論？【問(wèn)題5】公式cos()coscossinsin稱(chēng)為差角的余弦公式，記作，該公式有什么特點(diǎn)？如何記憶？教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式c(-)的結(jié)構(gòu)特征,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)

11、公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過(guò)程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶,特別是運(yùn)算符號(hào),左“-”右“+”.或讓學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單填空,如:cos(a-b)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了.設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生利用向量知識(shí)推導(dǎo)兩角差的余弦公式。師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理。（二）例題講解例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.變式：不查表求sin75°的值.設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)例題及變式訓(xùn)練，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用，體驗(yàn)公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學(xué)生掌握“變角”和“

12、拆角”的思想方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的靈活思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，促進(jìn)思維的創(chuàng)新。師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、cos的值,然后利用公式c(-)即可求解.（三）目標(biāo)檢測(cè)1. cos110°cos20°sin110°sin20°= 2. sinxsin(x+y)cosxcos(x+y)= 3. 利用公式證明：（1） （2）（四）課堂小結(jié)先由學(xué)生自己思考、回顧公式的推導(dǎo)過(guò)程,觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用,還可變用及掌握變角和拆角的思想方法解決問(wèn)題.然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下知識(shí)點(diǎn)小結(jié):(1)怎么聯(lián)系有關(guān)知識(shí)進(jìn)行新知識(shí)的探究？(2)利用差角余弦公式方面:對(duì)公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識(shí);三角變換的特點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容更加熟悉。師生活動(dòng)教師畫(huà)龍點(diǎn)睛:本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo),要正確熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行解題,在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱(chēng)、角的關(guān)系,準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào). 配餐作業(yè)a