第1章緒論√ 有限元

1、第1章 緒 論 l有限元法發(fā)展概況有限元法發(fā)展概況l有限元法在工程中的應用有限元法在工程中的應用l有限元法的解題過程有限元法的解題過程l有限元軟件簡介有限元軟件簡介1.1 有限元法發(fā)展概況1 什么是有限元在工程中有許多力學問題和場問題，盡管人們已建立了求解這些力學問題和場問題的基本方程和邊界方程，但是只有少數簡單的問題才能求出解析解。對于數學物理方程較復雜，物體邊界又不規(guī)則的問題，采用解析法求解在數學上會遇到難以克服的困難，因此會尋求各種行之有效的分析方法。有三條有效的解決途徑：一是引入簡化假設，將方程和邊界條件簡化為能夠處理的問題，從而得到它在簡化狀態(tài)下的解答。這種方法只在有限的情況下可行，

2、因為過多的簡化將可能導致不正確的甚至錯誤的解答。二是數值解法，如有限差分法、邊界元法、有限元法、離散元法和加權余量法等。對于非線性問題，其中以有限元法更為有效，且已經出現了許多通用程序。三是利用現代科學知識，提出新的求解方法。有限差分法 是從方程本身的角度出發(fā)，將問題的基本微分方程和邊界條件化為差分方程，從而將求解微分方程問題轉化為求解代數方程組問題比如，我們要求解下面的問題),( ,),( ,2222syxffyxFfyfxfyfxf在求解域上畫上差分網格，將每個結點的 1,2階導數通過有限差分方式，變換成函數 f 的結點值。泰勒展開式 對于任意場函數 f，其泰勒展開式為3003320022

3、000)()(! 31)()(! 21)()(xxxfxxxfxxxfff20310223102)( 2)(hfffxfhffxf；02220010222003)(2)()(2)(xfhxfhffxfhxfhff考慮在1，3 點展開，略去三階以上的高階小量從上式解出一、二次偏導數在0點的值這樣就把二階偏微分方程轉化為僅包含函數值的代數方程。邊界單元法 依據邊界積分方程，將物體的邊界離散化，建立邊界未知量的代數方程組，求出邊界未知量后，進而求解域內的未知量邊界元法基于邊界積分方程，而建立邊界積分方程的基礎有兩個，一是基本解，二是功的互等定理（貝蒂互換定理）。基本解 一單位力作用于無限大域中產生的

4、應力和位移互換定理 （功的互等定理）。設彈性體受到兩種力系作用，產生兩種狀態(tài)。狀態(tài)一相應的體力、面力、應力、應變、位移分別是)1()1()1()1()1(,iijijiiuFf)2()2()2()2()2(,iijijiiuFf狀態(tài)二相應的體力、面力、應力、應變、位移分別是 由功的互等定理得siiiisiiiisuFufsuFufdddd)1()2()1()2()2()1()2()1(當狀態(tài)一取實際狀態(tài)，狀態(tài)二為單位集中力時，功的互等定理為siiiisiiisuFufsuFuddd)1()2()1()2()2()1()1(有限單元法 的理論基礎是變分原理。常用的變分原理有最小勢能原理、最小余能

5、原理和混合變分原理。采用不同的變分原理，將得到不同的未知場變量。當采用最小勢能原理時，必須假設單元內位移場函數的形式。這種以位移作為基本未知量的分析方法稱作位移法。當采用最小余能原理時，須假設應力場的形式，這種方法稱為應力法。當采用混合變分原理，例如基于 Hellinger-Reissner 變分原理的混合板單元，就必須同時假設某些位移和某些應力，因而這種方法稱為混合法。當用有限元法處理瞬態(tài)問題時，常用的變分原理是 Hamilton原理。進行靜力分析時，對大多數問題，應用位移法較簡單。因此，這種方法得到了廣泛的應用。有限元法是從結構本身出發(fā)，將連續(xù)問題離散化為一個個單元，以插值函數表示單元內場

6、函數的分布規(guī)律，建立平衡方程（或通過變分原理建立有限元方程），從而將求解微分方程問題轉化為求解代數方程組問題。有限單元法處理彈性力學問題的基本思路是：l離散化：將受外力作用的連續(xù)彈性體離散成一定數量的有限小的單元集合體。單元之間只在結點上互相聯(lián)系，亦即只有結點才能傳遞力；l單元分析：根據彈性力學的基本方程和變分原理建立單元結點力和結點位移之間的關系； 整體分析：根據結點力的平衡條件建立有限元方程、引入邊界條件、解線性方程組求出位移以及計算單元應力。有限元法主要優(yōu)點是：概念清楚，易于掌握，既可以從直觀的物理模型來理解，也可以按嚴格的數學邏輯來研究；適應性強，府用范圍廣，不僅能成功地分析具有復雜邊

7、界條件、非線性、非均質材料、動力學等難題，而且還可以推廣到求解數學方程中的其它邊值問題，如熱傳導、電磁場、流體力學等問題；已經出現了許多大型結構分析通用程序，如ASKA、SAP、NASTRAN、ADINA、ANSYS、ABAQUS等。這些優(yōu)點, 使有限單元法得到了廣泛的應用和發(fā)展。2 有限元的發(fā)展史1909年，里茲(Ritz)提出求解連續(xù)介質力學近似解的方法，利用未知量的試探函數將勢能泛函近似化，然后由求泛函極小值條件，導出求解未知量的代數方程組1943年，科朗（Courant）將里茲法作了重要推廣，將 ( 平面）求解區(qū)域進行三角形剖分，在每個三角形的區(qū)域上引入分片線性函數1947年，電子計算

8、機問世，為有限元法提供了強大的計算工具1960年，克拉夫(Clough)最先提出“有限元”(Finite Element Method）這一術語，把桿件結構力學的位移法推廣到求解連續(xù)介質力學問題1960年代開始，有限元理論的研究與應用快速發(fā)展： 單元研究：協(xié)調元、非協(xié)調元，不同形狀單元；應用領域：三維問題、板殼問題、材料非線性和幾何非線性、動力分析、流體力學、滲流、熱傳導、電磁場分析；方法研究：位移法、力法、混合法、雜交法；半解析半數值法：有限條法、邊界元法、有限元線法發(fā)展趨勢；集成化：一個有限元程序包含各種單元、多種材料；通用化：一個有限元程序可以包含靜力分析、動力分析、熱傳導、電磁場分析等

9、；智能化：輸入圖形化、網格自動化分；可視化：計算結果可以多方位、多層次的圖形圖象表示。1.2 有限元法在工程中的應用1 有限元法優(yōu)越性l能夠分析形狀復雜的結構l能夠處理復雜的邊界條件l能夠保證規(guī)定的工程精度l能夠處理不同類型的材料l能夠處理隨時間變化的材料l能夠處理隨溫度變化的材料2 有限元法在工程中的應用在科學技術研究中，廣泛用于機械、交通、電子電氣、生物能源、石油化工、航空航天、汽車船舶、輕工紡織、水利地礦、土木工程等領域在結構工程中，用于桁架、框架、板殼屋頂、剪力墻、橋梁、預應力混凝土結構；結構的固有頻率與振型、結構的穩(wěn)定性；應力波的傳播、非周期性荷載作用下的結構相應在巖土力學中，用于坑

10、道、地下通道、巖石節(jié)理、土與結構相互作用、分層堆積與機器基座的應力分析；壩水庫系統(tǒng)和土結構相互作用的固有頻率和振型；和時間有關的土壤與巖石中瞬態(tài)滲流、應力傳播在水力學及水資源工程、流體動力學中，勢流、自由表面流、邊界層流、粘性流、空氣動力學問題、水工結構；水池、湖泊、港灣的固有頻率和振型、容器中液體的晃動；非穩(wěn)定流動和波的傳播問題、多孔介質中的瞬態(tài)滲流 l結構離散化：將計算結構劃分成許多單元組成的體系；l單元分析：分析每一個單元的位移與所受荷載的關系；l荷載向節(jié)點移置：將作用在非結點上的荷載移植到結點上；l建立結構的平衡方程：建立結構所受荷載與位移的關系；l引入邊界條件：考慮結構所受的約束條件

11、；l求解平衡方程：解出每一個結點的位移；l計算單元中的位移、應變和應力。1.3 有限元法的解題過程有限元法的一個簡例1 結構離散化如圖1(a)所示的直桿，受重力作用沿 x方向將直桿離散成 n 個單元，共有n+1個節(jié)點，如圖1(b) 將單元和節(jié)點依次進行編號，如圖1(c)結點所受的力（單元對節(jié)點的作用力以及荷載作用在節(jié)點上的力） 如圖1(d)所示。2 選擇位移插值函數對于整個直桿來說，位移函數是不知道的，但在每個單元內，可以近似地假設一個位移函數，使其在節(jié)點處等于節(jié)點位移假定第i個單元中的位移函數為eiiiiiiiiiiiiiiiiiNuulxxlxxlxxulxxuxxluuuu)()(111

12、11）（BxAxluuxluuuiiiiiiii11這里11 ,iieiiiiuulxxlxxN3 求出應變與應力在第 i 節(jié)點（截面ab）處，應力的合力為eeiiiiiiiiBlluulxxlxxxxu11dddd11eeiiSllEE11iiieiiiluuAEllAEAEAF1114 荷載向節(jié)點移植按照靜力等效原則，將體積力移置到節(jié)點上11221ieqlff5 建立節(jié)點平衡條件i 點受力如圖1(d)所示，平衡方程為即0)1(2)(11iiiiffFF0)(211iiiillqFF)(2)()(1111iiiiiiiillqluuEAluuEA節(jié)點n+1受力如圖2所示，平衡方程為)(21)

13、(21)( 0nnnnnnfluuEAfF，)(2)()(1223llqluuEAluuEA)(2)()(2334llqluuEAluuEAlqluuEA2)(34現假設將直桿劃分為3個單元，每個單元的長度為 l，各節(jié)點的平衡方程為節(jié)點2： 節(jié)點3： 節(jié)點4： 24324322321)(2)2()2(qluuEAqluuuEAqluuuEA經化簡后得 6 引入邊界條件從約束條件可知，結點1的位移u1=0，代入方程組得2432432232)(2)2()20(qluuEAqluuuEAqluuEA2/1111101210122432qluuuEA寫成矩陣形式或FK7 解線性代數方程組將上述線性代數

14、方程組進行求解，求出節(jié)點位移：EAqauEAqauEAqau29,28,25242322LEAqaLEAqaLEAqaLEAqaLEAqaLEAqa2398 11232985 112321550 1123223222221LAqaLAqaLAqa2329215232221計算單元中的應變和應力有限元法的一般步驟1 結構離散。即將研究對象分割成有限元單元體，使相鄰單元僅在節(jié)點處相連接，構成單元結合體。并用這個單元結合體代替原來的研究對象進行分析計算。2 單元分析。研究對象的位移場是未知函數，但是我們可以在單元內假設一個位移函數來模擬位移場，通過彈性力學的幾何方程、物理方程和平衡方程，求出單元節(jié)點

15、位移與節(jié)點力的關系式。將這個關系用矩陣表示，即可得單元剛度方程。3 荷載移置。實際問題中，很多荷載不是作用在節(jié)點上，而是作用在單元的邊上，有限元分析時需要按靜力等效原則將非節(jié)點荷載向節(jié)點移置。4 建立結構的平衡方程。以每一個節(jié)點作為隔離體建立平衡方程，這個方程是一個線性代數方程組，這個過程在有限元中稱為整體分析。在整體分析時，并不需要一一建立節(jié)點平衡方程，而是采用節(jié)點編號法由單元剛度矩陣集合為整體剛度矩陣。5 引入邊界條件。研究對象受到外界約束，在求解平衡方程之前應考慮約束作用，即將已知節(jié)點的位移引入到平衡方程中，稱為引入邊界條件。6 解線性代數方程組。研究對象的未知量是節(jié)點位移。7 計算單元

16、中的位移、應變和應力。1.4 有限元法的軟件第一個通用（商用）有限元程序是SAP(Structural Analysis Program）其后有很多軟件問世如 ANSYS， NASTRAN ， ADINA ，MARC等結構分析的有限元軟件的功能大致包括：彈性力學、框架分析、離岸結構、地震動分析、結構元件與機械零件、結構穩(wěn)定性、轉子軸承系統(tǒng)、氣動彈性力學、復合材料、橋梁系統(tǒng)、薄殼厚殼結構、瞬態(tài)分析、結構最優(yōu)化、粘彈性分析、焊接問題、沖擊波傳播、船舶結構、管道系統(tǒng)、熱應力與蠕變、斷裂力學、塑性力學、非線性連續(xù)介質等主要有限元軟件的功能程程序序名名稱稱框框架架分分析析離離岸岸結結構構地地震震分分析析面向圖形的有限元程序 機械零件、結構穩(wěn)定性 轉子與軸承系統(tǒng)氣動彈性力學 復合材料、瞬態(tài)分析 橋梁與梁系統(tǒng) 薄殼、厚殼 結構優(yōu)化 粘彈性分析 焊接問題 沖擊波傳播船舶結構、管道系統(tǒng)熱應力與蠕變斷裂力學塑性分析非線性連續(xù)介質ADINAXXXXXXXXANSYSXMARC XNASTRAN XXXXXXXX XXXXSAP XXXXXXXXXXXX參考文獻l監(jiān)凱維奇有限元法(上下冊)北京：科學出