線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯總

1、線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1行列式（一）行列式概念和性質(zhì)1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和3、行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變（2）兩行（列）（3）提公因式：互換，行列式變號(hào)行列式的某一行（列）的所有兀素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。（5）行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變（6）兩行成比例，行列式的值為0。（二）重要行列式4、上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值 等于主對(duì)角線元素的乘積5、 副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線

2、元素的乘積乘"一“& Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則*307、n階（n2）范德蒙德行列式a,其余元素為b的行列式的值:11 1冷心臥=X；=n （兀-無）-J»1K1,_ra1巧 數(shù)學(xué)歸納法證明 8對(duì)角線的元素為abb-bbab-bbba-bbbba（三）按行（列）展開9、按行展開定理：（1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘 積之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A| |B|（3）|AT

3、|=|A|（4）|A-1|=|A| -1（5）|A*|=|A| n-1厘i= n人（6）若A的特征值入1入2爪，則®（7）若A與B相似，則|A|=|B|（五）克萊姆法則11、克萊姆法則：（1 ）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0 ,那么方程為唯(2) 如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0(3) 若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為 0,則齊次線性方程組只有0解；如 果方程組有非零解，那么必有 D=0。2矩陣(一) 矩陣的運(yùn)算1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：(1) 矩陣乘法要求前列后行一致；(2) 矩陣乘法不滿足交換律；(因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若 B=E,O,A,

4、A*,f(A)時(shí)，可以用交換律)(3) AB=O不能推出A=O或B=Oo2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)(5條)(1) (A+B) T=AT+BT(2) (kA) T=kAT(3) (AB) t=BtAt(4) |A|t=|A|(5) ( At) T=A(二) 矩陣的逆3、逆的定義：AB= BA=EM立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1注：A可逆的充要條件是|A|豐04、逆的性質(zhì)：(5條)(1)(kA) -1=1/k A-1 (kM 0)(2)(AB) -1=£ A-1(3)|a-1|=|A| -1(4)(AT)-1= (A-1) T(5)(A-1) -1=A5、逆的求法:(1) A為抽象矩陣

5、：由定義或性質(zhì)求解(2) A為數(shù)字矩陣：(A|E) 一初等行變換(E|A-1)(三) 矩陣的初等變換6初等行(列)變換定義：(1) 兩行(列)互換；(2) 一行(列)乘非零常數(shù)c(3) 行(列)乘k加到另一行(列)7、初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：(1) 初等行(列)變換相當(dāng)于左(右)乘相應(yīng)的初等矩陣(2) 初等矩陣均為可逆矩陣，且 Ej-1=Ej(i，j兩行互換)；E-1( c) =E( 1/c)(第 i 行(列)乘 c)j( k) =Ej(-k)(第 i 行乘 k 加到 j)(四)矩陣的秩9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)注：(1) r (A)

6、 =0意味著所有元素為0，即A=O(2) r (Anxn) =n (滿秩)< |A| 工 0 < A 可逆；r (A)v n <- A|=0 <->A 不可逆；(3) r (A) =r (r=1、2、n-1) <-r階子式非零且所有 葉1子式均為010、秩的性質(zhì)：(7條)(1) A 為 m x n 階矩陣，則 r (A)< min (m,n)(2) r (A± B)< r (A)±( B)(3) r (AB)< minr (A), r (B) (4) r (kA) =r (A)(0)(5) r (A) =r (AC) (

7、C是一個(gè)可逆矩陣)(6) r (A) =r (AT) =r (ATA) =r (AAT)(7) 設(shè) A 是 m x n 階矩陣，B 是 n x s 矩陣，AB=O,則 r (A) +r (B)< n11、秩的求法：（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解;（2）A為數(shù)字矩陣：Af初等行變換f階梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0）,則r （A）=非零行的行數(shù)（五）伴隨矩陣12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）(1)AA*=A*A=|A|Ef A*=|A|A -1(2)(kA) *=kn-1A*(3)(AB) *=B*A*(4)|A*|=|A| n-1(5)(At) *= (A*)T(6)(A-1

8、) *= (A*)_1 _11=A|A| 1(7)(A*) *=|A| n-2 A ( 8) r (A*)=n(r(A)=n);r (A*)=1(r(A)=n-1);r (A*)=0(r(A)v n-1)（六）分塊矩陣13、分塊矩陣的1乘法：要求前列后行分法相同14、分塊矩陣求逆:3向量（一）向量的概念及運(yùn)算1、向量的內(nèi)積：（a, B） = a Tp =B Ta2、 長(zhǎng)度定義：| a |=時(shí)=応=禹十卅+F3、正交定義：（a, B） =a Tp = B T a =a1b 什寵匕2+anbn=04、 正交矩陣的定義：A 為 n 階矩陣，AAr=E<-> A-1=AT<->

9、 ATA=Ef |A|= ± 1(二) 線性組合和線性表示5、線性表示的充要條件：非零列向量B可由a i, a 2,，a s線性表示 一E齊次線性方程組(a 1, a 2,，a s) (Xi, X2,，Xs) T= B有解。(2)>r( a 1 ,a 2,，a s)=r( a i,a 2,，a s,B )(系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗(yàn))6、線性表示的充分條件： (了解即可)若a i, a 2,，a s線性無關(guān)，a i, a 2,，a s, B線性相關(guān)，則B可由a i, a 2,，a s線性表示。7、線性表示的求法：(大題第二步)設(shè)a i, a 2,，a s

10、線性無關(guān)，B可由其線性表示。(a i, a 2,，a s| B) 初等行變換一(行最簡(jiǎn)形|系數(shù))行最簡(jiǎn)形：每行第一個(gè)非0的數(shù)為1,其余元素均為0(三) 線性相關(guān)和線性無關(guān)8、線性相關(guān)注意事項(xiàng)：(1) a線性相關(guān)-a =0(2) a 1, a 2線性相關(guān)一a 1, a 2成比例9、線性相關(guān)的充要條件：向量組a 1, a 2,，a s線性相關(guān)(1) 有個(gè)向量可由其余向量線性表示；(2) < 次方程(a 1, a 2,，a s) (X1 , X2,，Xs) T=0有非零解；( 3)JT ( a 1, a 2,，a s)< s即秩小于個(gè)數(shù)特別地,n個(gè)n維列向量a 1, a 2,a n 線性

11、相關(guān)(1) JT r ( a 1, a 2,，a n)v n(2) JT a 1, a 2,，a n |=0( 3)Jt ( a 1, a 2,a n)不可逆10、線性相關(guān)的充分條件：(1) 向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)(2) 部分相關(guān)，則整體相關(guān)(3) 高維相關(guān)，則低維相關(guān)( 4)以少表多，多必相關(guān)推論： n+1 個(gè) n 維向量一定線性相關(guān)11、線性無關(guān)的充要條件向量組a i, a 2,，a s線性無關(guān)(1) 任意向量均不能由其余向量線性表示；(2) <次方程(a i,a 2,，a s)(Xi ,X2,，Xs)T=0 只有零解(3) v >r ( a 1, a 2,，a

12、s) =S特別地，n個(gè)n維向量a 1, a 2,，a n線性無關(guān)vT ( a 1, a 2,，a n) =n <>| a 1, a 2,，a n | 豐 0<S陣可逆12、線性無關(guān)的充分條件：( 1 )整體無關(guān),部分無關(guān)( 2)低維無關(guān),高維無關(guān)(3) 正交的非零向量組線性無關(guān)( 4)不同特征值的特征向量無關(guān)13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定( 1 )定義法( 2)秩：若小于階數(shù),線性相關(guān)；若等于階數(shù),線性無關(guān)【專業(yè)知識(shí)補(bǔ)充】(1) 在矩陣左邊乘列滿秩矩陣(秩=列數(shù))，矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿 秩矩陣，矩陣的秩不變。(2) 若n維列向量a 1, a 2 , a 3線性無關(guān)，B

13、 1, B 2, B 3可以由其線性表示， 即(B 1, B 2, B 3) = ( a 1, a 2, a 3) C,則 r ( p 1, B 2, B 3) =r (C),從而 線性無關(guān)。r(B 1，B 2，B 3) =3 v> r (C) =3 v-> |C| 工 0（四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩14、極大線性無關(guān)組不唯一15、向量組的秩：極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩對(duì)比：矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù)注:向量組a 1 , a 2，a s的秩與矩陣A= （ a 1, a 2，a s）的秩相等16、極大線性無關(guān)組的求法（1）a 1, a 2,，a s為抽象的：定義法（2

14、）a 1, a 2,，a s為數(shù)字的：（a 1, a 2,，a s） f初等行變換f階梯型矩陣則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組（五）向量空間17、基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：若 a 1, a 2,',a n 與 B 1 ,B 2 ,，B n是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（B 1, B 2,，B n)=(a 1,a 2,，a n ) Cn x n其中，C是從基a 1, a 2,a n到B 1,B 2,-，B n的過渡矩陣。C= ( a 1, a 2,，a n) -1 (B 1 ,B 2,，B n)18、坐標(biāo)變換公式：向量丫在基a 1 , a 2,，a n與基

15、B 1 , B 2,，B n的坐標(biāo)分別為X=(X1 , X2,， xn) T, y= (y1, y2,，yn) T,即丫 =X1 a 1 + X2 a 2 + +xn a n =y1 B 1 + y2 B 2 + +yn B n,則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C-1x0其中，C是從基a 1, a 2,，a n到 B 1, B 2,，B n 的過渡矩陣。C= ( a 1, a 2,，a n) -1 ( B 1, B 2,，B n)(六)Schmidt正交化19、Schmidt 正交化 設(shè)a 1, a 2, a 3線性無關(guān)（1）正交化令 B 1= a 1(角蟲)(2) 單位化4線性方程組(一) 方

16、程組的表達(dá)形與解向量1、解的形式：(1) 一般形式(2) 矩陣形式：Ax=b;(3) 向量形式：A= ( a i, a 2,，a n)2、解的定義：若n = (ci, C2,，Cn) T滿足方程組Ax=b,即An =b,稱n是Ax=b的一個(gè)解(向 量)(二) 解的判定與性質(zhì)3、齊次方程組：(1) 只有零解-r (A) =n (n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù))(2) 有非零解r (A)v n4、非齊次方程組：(1)無解->r (A)v r (A|b) <->r (A) =r (A) -1(2) 唯一解-r (A) =r (A|b ) =n(3) 無窮多解r (A) =r (A|

17、b )v n5、解的性質(zhì):(1) 若 E 1, E 2 是 Ax=0 的解，貝UE 1 +k2 E 2 是 Ax=0 的解(2) 若E是Ax=0的解，n是Ax=b的解，貝U E + n是Ax=b的解(3) 若n 1， n 2是Ax=b的解，貝U n 1- n 2是Ax=0的解【推廣】（1）設(shè) n i, n 2,n s 是 Ax=b 的解，貝 U kin i+bn 2+ksn s 為'Ax=b的解-Ax=0的解（當(dāng) 工 ki=1）（當(dāng)工ki=0）(2)設(shè)n 1, n 2,，n s是Ax=b的s個(gè)線性無關(guān)的解，貝打2- n 1, n 3-n 1,，n s- n 1為Ax=0的s-1個(gè)線性無

18、關(guān)的解。 變式： n 1-n 2, n 3-n 2,，n s-n 2 n 2- n 1, n 3- n 2,n s- n s-1（三）基礎(chǔ)解系6基礎(chǔ)解系定義：（1）E 1, E 2,，E s 是 Ax=0 的解（2）E 1, E 2,，E s線性相關(guān)(3) Ax=0的所有解均可由其線性表示-基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組 注：基礎(chǔ)解系不唯一。任意n-r (A)個(gè)線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系 7、重要結(jié)論：(證明也很重要)設(shè)A施m x n階矩陣，B是n x s階矩陣，AB=O(1) B的列向量均為方程Ax=0的解(2) r (A) +r (B)< n (第 2 章，秩)8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求

19、法(1) A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r (A)個(gè)線性無關(guān)的解(2) A為數(shù)字的：A-初等行變換一階梯型自由未知量分別取1,0,0; 0,1,0; 0,0,1;代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系(四) 解的結(jié)構(gòu)(通解)9、齊次線性方程組的通解(所有解)設(shè)r (A) =r, E 1, E 2,，E n-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k1 n 1+k2n 2+kn-rn n-r （其中k1, k2,kn-r為任意常數(shù)）10、非齊次線性方程組的通解設(shè)r (A) =r, E 1, E 2,，E n-r為Ax=0的基礎(chǔ)解系，n為Ax=b的特解， 則Ax=b的通解為n + kin l+bn 2

20、+kn-rn n-r (其中ki，k?，kn_r為任意常數(shù))(五) 公共解與同解11、公共解定義:如果a既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱a為其公共解12、非零公共解的充要條件：方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解x 0有非零解13、重要結(jié)論(需要掌握證明)(1) 設(shè)A是mx n階矩陣，則齊次方程 ATAx=0與 Ax=0同解，r (ATA =r (A)(2) 設(shè)A是mx n階矩陣，r (A) =n，B是nx s階矩陣，則齊次方程 ABx=0與Bx=0 同解，r (AB) =r (B)5特征值與特征向量(一) 矩陣的特征值與特征向量1、特征值、特征向量的定義：設(shè)A為n階矩陣，

21、如果存在數(shù)入及非零列向量a，使得Aa =入a，稱a是矩陣 A屬于特征值入的特征向量。2、特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：|入E-A|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式(入的n次多項(xiàng)式)。|入E-A |=0稱為矩陣A的特征方程(入的n次方程)。注:特征方程可以寫為|A-入E|=03、重要結(jié)論：(1) 若a為齊次方程Ax=0的非零解，貝U Aa =0 a，即a為矩陣A特征值入=0 的特征向量(2) A的各行元素和為k,則(1, 1,，1)T為特征值為k的特征向量。(3) 上(下)三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素。4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法(1) A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊(2) A為數(shù)字的：由特征

22、方程法求解5、特征方程法：(1) 解特征方程|入E-A|=O,得矩陣A的n個(gè)特征值入1,入2,，入n注：n次方程必須有n個(gè)根(可有多重根，寫作入1= X 2=入s=實(shí)數(shù)，不能省略)(2) 解齊次方程(X iE-A) =0,得屬于特征值X i的線性無關(guān)的特征向量，即其 基礎(chǔ)解系(共n-r ( X iE-A)個(gè)解)6性質(zhì)：(1) 不同特征值的特征向量線性無關(guān)(2) k重特征值最多k個(gè)線性無關(guān)的特征向量1 < n-r ( X iE-A)w ki(3) 設(shè) A 的特征值為 X 1，X 2，X n,則 |A|= n X i，2 X i=2 aii(4) 當(dāng)r (A) =1,即A= a B T,其中

23、a , B均為n維非零列向量，則A的特征 為 X 1 = 2 ai=a B = B a , X 2=X n=0(5) 設(shè)a是矩陣A屬于特征值X的特征向量，則Af (A)ATA-1A*P_1AP (相似)Xf ( XXX- -1|A| X1X0,a/aaP1 a(二) 相似矩陣7、相似矩陣的定義：設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣 P使得B=F-1AP,稱A與B相似，記作AB8、相似矩陣的性質(zhì)(1) 若A與B相似，貝U f (A)與f ( B)相似(2) 若A與B相似，B與C相似，則A與C相似(3) 相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡(即 主對(duì)角線元素之和)【推廣】

24、(4) 若A與B相似，則AB與BA相似，A與BT相似，A與B1相似，A*與B 也相似(三) 矩陣的相似對(duì)角化9、相似對(duì)角化定義：如果A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣 P，使得P 1AP=A = 稱A可相似對(duì)角化。注：Aai=X ia i ( a i工0,由于P可逆)，故P的每一列均為矩陣A的特征值入i 的特征向量10、相似對(duì)角化的充要條件(1) A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量(2) A的k重特征值有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量11、相似對(duì)角化的充分條件：(1) A有n個(gè)不同的特征值(不同特征值的特征向量線性無關(guān))(2) A為實(shí)對(duì)稱矩陣12、重要結(jié)論：(1) 若A可相似對(duì)角化，則r (A)為非零特征值的個(gè)

25、數(shù)，n-r (A)為零特征值 的個(gè)數(shù)(2) 若A不可相似對(duì)角化，r (A)不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)(四) 實(shí)對(duì)稱矩陣13、性質(zhì)(1) 特征值全為實(shí)數(shù)(2) 不同特征值的特征向量正交(3) A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣 P使得P-1AP=A(4) A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣 Q,使得Q-1AQ=QTAQA6 二次型（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形1、二次型： （1）一般形式（2）矩陣形式（常用）2、標(biāo)準(zhǔn)形：如果二次型只含平方項(xiàng)，即f （Xi, X2,，xn） =diXi2+cbx22 dnxn2 這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：（ 1）配方法：通過可逆線性變換 X=Cy（ C 可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換 及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到。（ 2）正交變換法：通過正交變換x=Qy,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 入iyi2+入2y22+入nyn2 其中，入1,