線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合例題解析

1、第9章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合例題解析例9-1 對(duì)于圖9-1所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，當(dāng)外力f（t）作用時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量及彈簧彈性系數(shù)見圖示。如不計(jì)摩擦，試：（1）以質(zhì)量m2的位移y(t)為輸出，外力f(t)為輸入，列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；（2）求從f(s)到y(tǒng)(s)的傳遞函數(shù)；（3）以框圖表示上述系統(tǒng)；（4）自選一定數(shù)目的狀態(tài)變量，建立上述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。y(t) y(t)k1k2f(t)m1 m2圖9-1 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)解：（1）設(shè)質(zhì)量塊m1的位移為z，根據(jù)牛頓定律有 1)同理對(duì)質(zhì)量塊m2有 2)聯(lián)立式1）和2）消去中間變量，得出系統(tǒng)微分方程： 3)(2) 對(duì)式3）進(jìn)行拉氏變換可

2、得 4)(3) 對(duì)式（1）進(jìn)行拉氏變換可得 5)同樣處理式2)有 6)由式5)，式6)可以畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖9-2所示。yk1fz圖9-2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（4）設(shè)狀態(tài)變量 由式1) 1 由式2) 因此有 例9-2 在圖9-3所示系統(tǒng)中，若選取x1，x2 ，x3作為狀態(tài)變量，試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式，并寫成矩陣形式.ux2x3x1 s圖9-3解： 由結(jié)構(gòu)圖可得 整理可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)式 寫成矩陣的形式 例9-3 設(shè)系統(tǒng)微分方程為 系統(tǒng)初始條件為零，試：（1）采用傳遞函數(shù)直接分解法，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出狀態(tài)圖；（2）采用傳遞函數(shù)并聯(lián)分解法，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出狀態(tài)圖。解：

3、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 1)(1) 令 2)式中 3) 4)由式3) 令 則有 由式4) 有 (2) 對(duì)式1)進(jìn)行部分分式展開，有令 則有 故有 兩種形式的狀態(tài)空間表達(dá)式所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)圖分別如圖9-4（a），（b）所示。7158148x3x1x2yu(a)x1124x2yux3(b)圖9-20 系統(tǒng)狀態(tài)模擬圖例9-4 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 求系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解x(t)。解：先求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解法一 按矩陣指數(shù)定義=解法二 用拉氏變換法 故得 解法三 用凱萊哈密頓定理系統(tǒng)特征方程 系統(tǒng)矩陣有a兩個(gè)互異特征值 故 系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為例9-5 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 已知當(dāng)x(

4、0)=時(shí)， x(t)=； 當(dāng)x(0)=時(shí)，x(t)=，試求系統(tǒng)矩陣a及系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：先計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。設(shè)齊次方程解為，依題意應(yīng)有 1) 2)解方程組得故 計(jì)算系統(tǒng)矩陣a,由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣性質(zhì)得 注意：根據(jù)1)，2)可以列出下面的式子,用以求得故 例9-6 設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為 式中 a，b，c均為實(shí)數(shù)；u為系統(tǒng)的輸入；y為輸出。試：(1) 求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式；(2) 畫出系統(tǒng)相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖；(3) 當(dāng)輸入函數(shù)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。解：（1）依題意可寫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)令 則可得 故有 （2）依狀態(tài)空間表達(dá)式，可畫出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖（即狀態(tài)圖），如圖9-5。（3）系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 yx1ua

5、x2b圖9-5例9-7 一系統(tǒng)的微分方程為（1）建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程；（2）用四種方法求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣。解：(1)由微分方程可得到系統(tǒng)傳函為用s2除以g(s)的分子和分母得 根據(jù)梅遜增益公式，可畫出如下信號(hào)流圖圖9-6由圖可知 寫成矩陣形式為（2）求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 首先用拉氏變換法求eat 用特征值、特征向量法求eat特征方程為 特征根為 特征向量為，廣義特征向量為非奇異變換矩陣 用待定系數(shù)法求eat由凱萊哈密爾頓定理知 對(duì)求導(dǎo)得 聯(lián)立求解上面兩個(gè)方程得圖9-7 用信號(hào)流圖法求eat將系統(tǒng)的信號(hào)流圖變?yōu)閳D9-7，由梅遜公式知12s1s2和的關(guān)系為和的關(guān)系為 和的關(guān)系為和的關(guān)系為 由 可得 因此 例

6、9-8 對(duì)例9-7中的系統(tǒng)，當(dāng)輸入量為，初始條件為時(shí)，求輸出量。解: 令 微分方程變?yōu)?令 有 寫成矩陣形式 上題已求出系統(tǒng)狀態(tài)的初始值為 輸入為 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移狀態(tài)方程為 例9-9 太陽能加熱系統(tǒng)的微分方程為： 這里和是系統(tǒng)輸入，是系統(tǒng)的干擾。當(dāng)，初始條件為零時(shí)，求系統(tǒng)響應(yīng)。解：由題目知 有 則 例9-10 已知一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣a。解：可用兩種方法求a（1）由知（2）由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)知 因此有 例9-11 圖 9-8（a）所示電網(wǎng)絡(luò)的輸入端電壓如圖（b）所示，試求電流i（t）的表達(dá)式。（a） （b）圖9-8 （a）電路圖 （b）輸入電壓解：（1）建立狀態(tài)方

7、程，由電路知識(shí)有選i（t）為狀態(tài)變量，即令x1i（t） 即 (2)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為，可用兩種方法求電流i（t） 把輸入電壓表示成，用拉氏變換的方法求解電流i（t）。 把整個(gè)過程看成兩段，第一段是由x(0)轉(zhuǎn)移到x(t2)，第二段由x2(t)轉(zhuǎn)移到x(t)。這里用第二種方法計(jì)算。對(duì)于第一段，有e(t)=e,0tt2，按定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解公式有： 對(duì)于第二段，有e(t)=2e，t>tv,初始狀態(tài)為 于是 例9-12 已知矩陣 ,求.解：（1）求a的特征值特征方程 特征值為 （2）求非奇異線性變換矩陣p對(duì)應(yīng)和的特征向量為 因此有 （3）計(jì)算ea（4）計(jì)算sina（5）計(jì)算a100 例9

8、-13 已知矩陣試用凱萊哈密爾頓定理計(jì)算a7a32i。解：系統(tǒng)的特征方程為 由凱萊哈密爾頓定理知 于是 例9-14 已知矩陣 試?yán)脿顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)求,并用特征值,特征向量法驗(yàn)證。解: 將a分為兩個(gè)矩陣之和 由于,所以對(duì)于矩陣a有 而于是 例9-15 線性定常系統(tǒng)傳遞矩陣為（1）求系統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖；（2）用傳遞函數(shù)并聯(lián)分解法，求系統(tǒng)對(duì)角形實(shí)現(xiàn)，畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖。解：（1） 利用傳遞函數(shù)直接分解法得可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn) （2）令 可得 故 可控標(biāo)準(zhǔn)形，對(duì)角形實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)圖分別如圖9-9(a)，(b)所示。（a）x112321x2y1u x3y2(b)圖9-9例9-16 已知系統(tǒng)傳遞

9、矩陣為 求最小實(shí)現(xiàn)。解：為方便計(jì)，先求其轉(zhuǎn)置實(shí)現(xiàn)：利用傳遞函數(shù)直接分解法可得 再對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)置，得出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)為 例9-17 已知系統(tǒng)的輸入輸出方程為 試分別求出滿足下述要求的狀態(tài)空間表達(dá)式：（1）系統(tǒng)為可控可觀測(cè)的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形；（2）系統(tǒng)為可控不可觀測(cè)的；（3）系統(tǒng)為可觀測(cè)不可控的；（4）系統(tǒng)為即不可控也不可觀測(cè)的。解：（1）令 可得 故有 1)(2) 在g(s)中分子，分母各乘一因子“”，使之存在零極點(diǎn)對(duì)消，即 采用可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)一定是可控（必然不可測(cè)）的，有 2)(3) 利用式2)的對(duì)偶實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)必是可觀測(cè)不可控的，有 3)(4) 在式1)的基礎(chǔ)上，加一個(gè)不可控不可觀測(cè)的狀態(tài)變量，構(gòu)成不

10、可控不可觀測(cè)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，即 4)式中 a為任意實(shí)數(shù)。注意:實(shí)現(xiàn)的方案有很多種,本題答案僅供參考.例9-18 一控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖9-10所示。其中（1）畫出相應(yīng)的信號(hào)流圖,列寫動(dòng)態(tài)方程；（2）確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）判斷系統(tǒng)的能控性和能觀性。u(s) y(s) 圖9-10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解:(1)可變?yōu)橛谑?，根?jù)結(jié)構(gòu)圖畫出信號(hào)流圖如9-11：圖 911分別令積分器的輸出為狀態(tài)變量,于是 整理后得 (2)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性可用兩種方法求系統(tǒng)特征方程 特征方程為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程 根據(jù)特征方程列勞斯陣列為第一列系數(shù)均大于零，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）能控判別矩陣。，系統(tǒng)能控。能觀測(cè)判別矩陣，系統(tǒng)能觀

11、。例9-19 考慮由 定義的系統(tǒng)。除了明顯的選擇c1c2c30外，試找出使得該系統(tǒng)不可觀測(cè)的一組c1，c2和c3。解：a矩陣為友矩陣，于是將友矩陣化為對(duì)角線矩陣的非奇異線性變換矩陣為因?yàn)椋瞧娈愖儞Q不改變系統(tǒng)的能觀性，于是當(dāng) 任一組成立時(shí)，該系統(tǒng)都不能觀測(cè)。例9-20 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）指出當(dāng)a為何值時(shí)，系統(tǒng)是不能控或不能觀的?（2）建立動(dòng)態(tài)方程，使系統(tǒng)是不能控的。（3）建立動(dòng)態(tài)方程，使系統(tǒng)是不能觀的。解：（1）g(s)可變換為當(dāng)a1，2或3時(shí)，傳遞函數(shù)出現(xiàn)零，極點(diǎn)相消的現(xiàn)象，這時(shí)系統(tǒng)是不能控或不能觀的。（2）當(dāng)a1時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型為此時(shí)，系統(tǒng)能觀，但不能控。（3）當(dāng)a=1時(shí)，

12、系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型為此時(shí)，系統(tǒng)能控不能觀。 例9-21 一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為確定系統(tǒng)的能控性和能觀性。解：可以證明對(duì)于單輸入，單輸出系統(tǒng)來說，系統(tǒng)能控,能觀的的充要條件是：傳遞函數(shù)沒有零，極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象。該系統(tǒng)傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，因此系統(tǒng)能控且能觀。例 9-22 一系統(tǒng)的微分方程為，其中y是輸出，u是輸入。（1）選擇相變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，分析系統(tǒng)的能控性和能觀性。（2）選擇狀態(tài)變量為和，分析系統(tǒng)的能控性和能觀性。（3）分別對(duì)上述兩種情況進(jìn)行非奇異變換，分析系統(tǒng)的能控性和能觀性。解：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為存在零極點(diǎn)相消現(xiàn)象，系統(tǒng)不是完全能控和能觀的。 相變量形式的信號(hào)流圖為 圖9-12動(dòng)態(tài)方

13、程為（2）當(dāng) 時(shí)，寫成矩陣形式為 信號(hào)流圖為圖9-13（3）對(duì)于情況（1）特征值為，特征向量為，廣義特征向量為。 系統(tǒng)能控不能觀。對(duì)于情況（2）系統(tǒng)不能控但能觀。由此可見，經(jīng)線性非奇異變換，系統(tǒng)的能控性和能觀性沒有改變。例9-23 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖9-14所示,圖中,均是實(shí)常數(shù).試建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,并分別確立當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)可控及系統(tǒng)可觀測(cè)時(shí),a ,b，c ,d應(yīng)滿足的條件。 yx1x2ucbad 圖9-14 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：依系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可列出 可見,當(dāng)時(shí)系統(tǒng)可控;當(dāng)時(shí)系統(tǒng)可觀測(cè)。例9-24 設(shè) 其中, a1，a2，a3，c1為實(shí)數(shù).試問,(a,c)可觀測(cè)的充分必要條件是什么?要求用a和c中的

14、參數(shù)具體表示。解:可見,當(dāng)時(shí),系統(tǒng)可觀測(cè)。例925 設(shè)在線性系統(tǒng)中 （1）請(qǐng)判斷其可控性，并求出其可控子空間；（2）判斷其可觀測(cè)性，并求出其不可觀測(cè)子空間；（3）計(jì)算其傳遞函數(shù)。解: 系統(tǒng)特征方程為可見，系統(tǒng)特征值為互異單根，可以對(duì)角化。設(shè)矩陣a相對(duì)于的特征向量為p1則有 可解出 取 則有 同理，對(duì)相應(yīng)的特征向量設(shè)為p2,有解出 取 有 同樣,對(duì) 可得;對(duì),可得使系統(tǒng)化為對(duì)角形的線性變換矩陣為 對(duì)角化后的狀態(tài)空間表達(dá)式為 可看出,系統(tǒng)不可控不可觀測(cè).構(gòu)成可控子空間構(gòu)成可觀測(cè)子空間系統(tǒng)傳遞函數(shù)為例9-26 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為請(qǐng)判斷系統(tǒng)的可控性，可觀測(cè)性。若不完全可控，請(qǐng)用坐標(biāo)變換分出其可

15、控和不可控的子系統(tǒng)，討論能否用狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解: （不完全可控） （不完全可觀測(cè)）系統(tǒng)可控性指數(shù)為2，在pc中選兩個(gè)線性無關(guān)的列向量，即取一個(gè)與之線性無關(guān)的列向量構(gòu)成變換矩陣 系統(tǒng)按可控性，不可控性分解為 可見，不可控子空間對(duì)應(yīng)特征值,可控子空間用狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置。因此，用狀態(tài)反饋可以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例9-27 給定開環(huán)傳遞函數(shù)為要求用狀態(tài)反饋將閉環(huán)極點(diǎn)配置到。試計(jì)算狀態(tài)反饋增益矩陣，并說明所得到的閉環(huán)系統(tǒng)是否可觀測(cè)。解: 寫出系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)為設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣，令加狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為比較系數(shù)得 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)零點(diǎn)，且不改變系統(tǒng)可控性。然后反饋后系統(tǒng)

16、在 處出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消，所以閉環(huán)系統(tǒng)必不可觀測(cè)。例9-28 系統(tǒng)狀態(tài)方程如下：試判定系統(tǒng)是否可用狀態(tài)反饋分別配置以下兩組閉環(huán)特征值 若能配置，則求出反饋增益向量k。解: 判定系統(tǒng)可控性 系統(tǒng)不可控，不能實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)的任意配置?？紤]原系統(tǒng)特征值有一個(gè)特征根本來就在處，而且由狀態(tài)方程可看出，正是該特征根對(duì)應(yīng)的狀態(tài)不可控，所以可以利用系統(tǒng)的可控子系統(tǒng)將另兩個(gè)極點(diǎn)配置到，實(shí)現(xiàn)第一組閉環(huán)特征值的配置?？煽刈酉到y(tǒng)狀態(tài)方程為令 得 故可取 將閉環(huán)極點(diǎn)配置到。系統(tǒng)用狀態(tài)反饋不能實(shí)現(xiàn)第二組閉環(huán)極點(diǎn)的配置。例9-29 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)描述為 現(xiàn)引入狀態(tài)反饋構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，為x的估計(jì)值。(1) 寫出該系統(tǒng)狀態(tài)向量的全維漸進(jìn)估計(jì)器

17、動(dòng)態(tài)方程；(2) 寫出帶狀態(tài)反饋、全維估計(jì)器的閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，并畫出包括狀態(tài)反饋及全維估計(jì)器的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解:（1）先畫出閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖9-15所示。依圖，可寫出狀態(tài)觀測(cè)器方程為 1）（2）系統(tǒng)狀態(tài)空間描述 2）聯(lián)立式1），式2）兩式，有 （3）xuvbcakahcby圖9-15例9-30 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為 （1）畫出系統(tǒng)狀態(tài)圖；(2) 求系統(tǒng)傳遞函數(shù)；(3) 判定系統(tǒng)可控性，可觀測(cè)性；(4) 求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(5) 當(dāng)時(shí)，求系統(tǒng)輸出；(6) 設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，將觀測(cè)器極點(diǎn)配置在處；(7) 在(6)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)狀態(tài)矩陣k使系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)配置在處 ；(8) 畫出系統(tǒng)總體狀態(tài)

18、圖。x1u2165x2y=x2解: （1）原系統(tǒng)狀態(tài)圖如圖9-16所示：圖9-16(2)(3) （系統(tǒng)可控） （系統(tǒng)可觀測(cè)）(4) (5) (6) 設(shè)觀測(cè)器輸出誤差反饋矩陣令 比較系數(shù)得(7) 設(shè)狀態(tài)反饋增益矩陣k=，令比較系數(shù) 解出 (8) 整體系統(tǒng)狀態(tài)圖如圖9-17所示。圖 917例9-31 一機(jī)械系統(tǒng)如圖9-18所示，其中m1m21，k1k21。（1）建立動(dòng)態(tài)方程；（2）求系統(tǒng)的特征根；（3）選擇適當(dāng)?shù)模尤雞kxi后使系統(tǒng)變成穩(wěn)定的，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值。 解：（1）系統(tǒng)受力分析如圖9-19所示由牛頓第二定理可知：將m1m21和k1k21代入得圖9-18選狀態(tài)變量為，于是有 圖9-19

19、寫成矩陣形式為：（2）系統(tǒng)的特征方程為特征根為 系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（3）選ukx4，可使特征方程不缺項(xiàng)，此時(shí)勞斯陣列為當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例9-32 已知一個(gè)簡諧振子的狀態(tài)方程為（1）討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）加輸出反饋可否使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定？（3）加狀態(tài)反饋則又如何?解：（1）系統(tǒng)特征方程特征值 。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（2）設(shè)輸出反饋矩陣為h（是常數(shù)），加輸出反饋后,狀態(tài)方程為其中 特征方程為h無論取何值，都不能使系統(tǒng)的特征根都位于左半s平面，因此加輸出反饋不能使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。（3）設(shè)，加狀態(tài)反饋后狀態(tài)方程為 通過k1和k2的調(diào)整可使系統(tǒng)的特征值都位于左半s平面，使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。例9-33

20、設(shè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，要求綜合系統(tǒng)的阻尼比，無阻尼自然振蕩頻率。（1）設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣k，并畫出所構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)；（2）試確定一個(gè)二維觀測(cè)器所構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，要求觀測(cè)器極點(diǎn)為-10，-20，并畫出帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；（3）試確定一個(gè)一維觀測(cè)器所構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，要求觀測(cè)器極點(diǎn)為-20，并畫出帶觀測(cè)器的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。解：（1）希望極點(diǎn)的位置按主導(dǎo)極點(diǎn)設(shè)計(jì)法來進(jìn)行綜合，設(shè)主導(dǎo)極點(diǎn)為和，根據(jù)二階系統(tǒng)性能指標(biāo)和主導(dǎo)極點(diǎn)的關(guān)系有希望的閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為設(shè)，狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為(由傳遞函數(shù)得a) 2410x1u+v由式（1）和式（2）同次項(xiàng)系數(shù)相等，得則 圖9

21、-20 即 原受控系統(tǒng)狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖9-20。 （2）由帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)等于原系統(tǒng)的直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)與觀測(cè)器系統(tǒng)的極點(diǎn)的合成，二者的極點(diǎn)互不相同，彼此分離可知，帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋陣k與（1）中的k相同。系統(tǒng)的可觀矩陣為：系統(tǒng)是可觀的，因此存在漸近穩(wěn)定的狀態(tài)觀測(cè)器。設(shè)，觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為 希望的狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式為 由式（3）和式（4）同次項(xiàng)系數(shù)相等，得則 全維狀態(tài)觀測(cè)器的方程為即 二維觀測(cè)器所構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖9-21所示。（3）由圖9-21可知，x2是可直接量測(cè)的狀態(tài)變量，x1為不可直接量測(cè)的狀態(tài)變量。由c可得非奇異矩陣t為單位矩陣，則可對(duì)原系統(tǒng)直接

22、分解：圖 921對(duì)不能直接量測(cè)子系統(tǒng)構(gòu)造一維觀測(cè)器。設(shè)，可得狀態(tài)觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式： 希望的一維觀測(cè)器的特征多項(xiàng)式是 由式（5），（6）同次項(xiàng)系數(shù)相等，得g20得 由于變換矩陣為單位矩陣，所以不用回到原系統(tǒng)坐標(biāo)系中去。由一維觀測(cè)器構(gòu)成狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖9-22所示。圖 922 例9-34 設(shè)二階系統(tǒng)為（1）該系統(tǒng)能否通過狀態(tài)反饋來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置，為什么？（2）設(shè)希望閉環(huán)極點(diǎn)為，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋矩陣k。（3）畫出帶有狀態(tài)反饋的狀態(tài)變量圖。（4）試分別求出初始值及輸入，求原系統(tǒng)和帶狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。解：（1）由于系統(tǒng)的可控性矩陣為：故系統(tǒng)是可控的，通過狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)其極點(diǎn)任

23、意配置。（2）設(shè)將系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)配置在期望位置上的狀態(tài)反饋增益矩陣為k=k1 k2，則閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：而閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項(xiàng)式是由以上兩式同次項(xiàng)系數(shù)相等，可得即 （3）帶有狀態(tài)反饋的狀態(tài)變量圖如圖9-23所示圖9-23（4）由于所以對(duì)于原系統(tǒng)，有 對(duì)于帶狀態(tài)反饋系統(tǒng)，有例 9-35 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(1) 該系統(tǒng)是否是漸近穩(wěn)定的？(2) 該系統(tǒng)是否是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的？(3) 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋，使期望的閉環(huán)極點(diǎn)為解：（1）該系統(tǒng)的特征值為。有兩個(gè)特征值在右半s平面，因此系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。（2）由動(dòng)態(tài)方程知，系統(tǒng)是不能控的，但不能控部分的特征值是5，位于左半s平面，因此系統(tǒng)是狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的。（

24、3）不能控部分的極點(diǎn)為，與其中一個(gè)期望極點(diǎn)相同。設(shè)，對(duì)能控部分進(jìn)行極點(diǎn)配置。由得解得 例9-36 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（1）分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）已知為單位階躍函數(shù)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。解：（1）由題意得系統(tǒng)特征方程為則系統(tǒng)矩陣有特征值，由李雅普諾夫第一法知系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。（2）先求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解法 一： 用無窮級(jí)數(shù)法。解法二：拉氏變換法。因 所以 解法三：待定系數(shù)法（即凱萊哈密頓定理）。系統(tǒng)特征方程為：則系統(tǒng)矩陣有兩個(gè)互異特征值。系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 例9-37 試求下列系統(tǒng)的平衡狀態(tài)和李雅普諾夫函數(shù)。解：解法一： 用常規(guī)解法，由于系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣a為非奇異矩陣，因此該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是

25、xe0。設(shè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)為，其導(dǎo)函數(shù)為，則，且，、均為對(duì)稱矩陣。取，則上式即為：解得 由于，因此對(duì)稱矩陣p正定，故系統(tǒng)穩(wěn)定，且是該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。解法二： 首先設(shè)pi，再驗(yàn)證q是否正定，若q正定則所選p符合李雅普諾夫函數(shù)條件。設(shè)pi，則所以q正定，表明該系統(tǒng)穩(wěn)定，且也是該系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。例9-38 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為試將它化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型。解：解法一：（1）求a特征值(2) 求非奇異矩陣t。由 ，對(duì)于，有 則 對(duì)于，有 則 對(duì)于，有 則 故非奇異矩陣(3) 對(duì)系統(tǒng)作非奇異變換。 所以系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形為解法二： 本題也可以用代數(shù)余子式的方法求非奇異矩陣。

26、設(shè)pi11，pi12，pi13是行列式的第一行的代數(shù)余子式，則分別將代入上式，即可得非奇異矩陣t：為計(jì)算簡便，將t的各元素同除以6，這樣并不影響結(jié)果，則從以上兩解法可知，特征向量、非奇異矩陣的選取是不唯一的，因而狀態(tài)空間表達(dá)式也不唯一。例9-39 已知一線性系統(tǒng)（1）證明對(duì)系統(tǒng)作線性非奇異變換后其特征值不變；（2）將狀態(tài)方程化為對(duì)角線規(guī)范形；（3）將狀態(tài)方程化為可控規(guī)范形。解:（1）令線性變換為（t為非奇異矩陣），則狀態(tài)方程線性變換后為線性變換后系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為表明與變換前的特征多項(xiàng)式相同，故特征值不變。（2）求a的特征值。由可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故 則 狀態(tài)方程對(duì)角線規(guī)范形為：（3）系統(tǒng)的可控

27、矩陣為則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，存在可控規(guī)范形，得可控規(guī)范形為 例9-40 設(shè)系統(tǒng)方程為試用李雅普諾夫第二分法析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： 考察正定的向量泛函，其導(dǎo)函數(shù)為顯然，這是一負(fù)半定函數(shù)，故為了討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還需要考察的自由運(yùn)動(dòng)軌跡，由系統(tǒng)的狀態(tài)方程可導(dǎo)出：若，由得，故x0；而若，則，得，因而x0，也就是說，不可能維持在的地方。由李雅普諾夫第二法可知，該系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的，且是該系統(tǒng)一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。例9-41 系統(tǒng)狀態(tài)方程為 判斷：是否漸近穩(wěn)定；系統(tǒng)是否bibo穩(wěn)定。解: 求系統(tǒng)特征方程可見，系統(tǒng)有在右半s平面的特征根，所以系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。 可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，所以系

28、統(tǒng)是bibo穩(wěn)定的。例9-42 求系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。式中 解: 取正定對(duì)稱矩陣q為二階單位矩陣，代入方程即 可得 聯(lián)立求解得 一階主子式 二階主子式 故p正定，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處全面漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)的一個(gè)李雅普锘夫函數(shù)為 例9-43 已知線性離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為式中 >0試用李雅普諾夫確定使平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定時(shí)的范圍。解: 選q=i，并代入離散系統(tǒng)的p，q關(guān)系式 即 將此矩陣展開，解之可得可見，要使p正定，只要需使14a2>0。加上條件a>0，可得使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的a范圍為：0a1/2例9-44 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中， （1）說明系統(tǒng)的能控性和能觀性；（2

29、）若在控制u前加入采樣器零階保持器，求該采樣系統(tǒng)的狀態(tài)變量表達(dá)式，并分析系統(tǒng)在各采樣時(shí)刻，周期t對(duì)能控性和能觀性的影響。（3）比較（1）、（2）簡要說明采樣過程對(duì)能控性和能觀性的影響。解：（1）對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，有故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控和能觀。（2）對(duì)離散化系統(tǒng)，有則 離散化狀態(tài)空間表達(dá)式為對(duì)離散化系統(tǒng)，有顯然，mc、m0是否滿秩，取決于采樣周期t的選擇，下面分兩種情況予以討論。a取，則有由此可見，此時(shí)離散后的系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能控和不完全能觀的系統(tǒng)（*處表示不為0）。b. 取，則有由此可見，當(dāng)時(shí)，mc和m0均滿秩，即有故離散化后的系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和完全能觀的。（3）從上述計(jì)算可知，狀態(tài)完全能控和完全能觀的連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)離散化處理以后，不一定能保持原系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控和完全能觀，其結(jié)果與采樣周期t的選擇有關(guān)，另外，當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)不完全能控和不完全能觀時(shí)，對(duì)應(yīng)的離散化系統(tǒng)則一定是不可觀的。例9-45 let us consider the third order system with the differential