湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三第四次月考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、雅禮中學(xué)2014屆高三月考試卷（四）數(shù) 學(xué)（理科）南雅中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組組稿一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合則滿足的集合個(gè)數(shù)是（ ） 2.是直線與直線平行的（ ） 3.若向量滿足/，且，則（ ） 4.已知函數(shù)：，當(dāng)時(shí)，下列選項(xiàng)正確的是 ( ) 5. 已知平面外不共線的三點(diǎn)到的距離都相等,則正確的結(jié)論是( )a.平面必平行于 b.平面必與相交c.平面必不垂直于 d.存在的一條中位線平行于或在內(nèi)6已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)，則等于（ ） 3 4 7.平面上動點(diǎn)滿足，,則一定有（ ） 8. 在等差數(shù)列中，記

2、數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則正整數(shù)的最小值為（ ） 5 4 3 2二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上。（一）選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）oabcdef9.在極坐標(biāo)系中，曲線的焦點(diǎn)的極坐標(biāo) . 10.已知點(diǎn)在圓直徑的延長線上，切圓于點(diǎn)， 的平分線分別交、于點(diǎn)、.則的度數(shù)= . 11若存在實(shí)數(shù)使成立，求常數(shù)的取值范圍 。（二）必做題（12-16題）22（正視圖）22（俯視圖）2（側(cè)視圖）12. 計(jì)算：= 。 13已知某個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的表面積是 。

3、14.桌面上有形狀大小相同的白球、紅球、黃球各3個(gè)，相同顏色的球不加以區(qū)分，將此9個(gè)球排成一排共有 種不同的排法。（用數(shù)字作答） 15.定義：，其中是虛數(shù)單位，且實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對都適應(yīng)。若，則 16.已知函數(shù) 其中,。 （1）若在的定義域內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ； （2）在（1）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，在上有零點(diǎn)，則的最大值為 。 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.求:（1）函數(shù)的最小值及取得最大值的自變量的集合；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間. 高 考 資 源 網(wǎng)18. （本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱

4、（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，平面?zhèn)让妫?，且滿足.（1）求證：；（2）求點(diǎn)的距離；（3）求二面角的平面角的余弦值。19.（本小題滿分12分）長沙市某中學(xué)在每年的11月份都會舉行“社團(tuán)文化節(jié)”，開幕式當(dāng)天組織舉行大型的文藝表演，同時(shí)邀請36名不同社團(tuán)的社長進(jìn)行才藝展示。其中有的社長是高中學(xué)生，的社長是初中學(xué)生，高中社長中有是高一學(xué)生，初中社長中有是初二學(xué)生。 （1）若校園電視臺記者隨機(jī)采訪3位社長，求恰有1人是高一學(xué)生且至少有1人是初中學(xué)生的概率； （2）若校園電視臺記者隨機(jī)采訪3位初中學(xué)生社長，設(shè)初二學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 20. （本小題滿分13分）2013年我國汽車擁有量已超過

5、2億（目前只有中國和美國超過2億），為了控制汽車尾氣對環(huán)境的污染，國家鼓勵和補(bǔ)貼購買小排量汽車的消費(fèi)者，同時(shí)在部分地區(qū)采取對新車限量上號。某市采取對新車限量上號政策，已知2013年年初汽車擁有量為（=100萬輛），第年（2013年為第1年，2014年為第2年，依次類推）年初的擁有量記為，該年的增長量和與的乘積成正比，比例系數(shù)為,其中=200萬。 （1）證明：； （2）用表示；并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi)。21定義：對于兩個(gè)雙曲線,若的實(shí)軸是的虛軸，的虛軸是的實(shí)軸，則稱,為共軛雙曲線?，F(xiàn)給出雙曲線和雙曲線，其離心率分別為。（1）寫出的漸近線方程（不用證明）；（2）試判斷雙曲線和

6、雙曲線是否為共軛雙曲線？請加以證明。（3）求值：。 22（本題滿分13分）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，有極小值，（1） 求實(shí)數(shù)的取值；（2） 若數(shù)列中，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和；（3） 設(shè)函數(shù)，若有極值且極值為，則與是否具有確定的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論。雅禮中學(xué)2014屆高三月考試卷（四）數(shù) 學(xué)（理科）南雅中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組組稿（教師版）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合則滿足的集合個(gè)數(shù)是（ c ） 2.是直線與直線平行的（ a ） 3.若向量滿足/，且，則（ d ） 4.已知函數(shù)：，當(dāng)時(shí)，下列選項(xiàng)正確的是 ( b ) 5. 已知平面

7、外不共線的三點(diǎn)到的距離都相等,則正確的結(jié)論是( d )a.平面必平行于 b.平面必與相交c.平面必不垂直于 d.存在的一條中位線平行于或在內(nèi)6已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)，則等于（ c ） 3 4 7.平面上動點(diǎn)滿足，,則一定有（ b ） 8. 在等差數(shù)列中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則正整數(shù)的最小值為（ a ） 5 4 3 2解：由題設(shè)得，可化為，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，由解得，正整數(shù)的最小值為5。二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上。（一）選做題（請考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）oabc

8、def9.在極坐標(biāo)系中，曲線的焦點(diǎn)的極坐標(biāo) . （）10.已知點(diǎn)在圓直徑的延長線上，切圓于點(diǎn)， 的平分線分別交、于點(diǎn)、.則的度數(shù)= . 11若存在實(shí)數(shù)使成立，求常數(shù)的取值范圍 。（二）必做題（12-16題）22（正視圖）22（俯視圖）2（側(cè)視圖）12. 計(jì)算：= 。 13已知某個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的表面積是 。 14.桌面上有形狀大小相同的白球、紅球、黃球各3個(gè)，相同顏色的球不加以區(qū)分，將此9個(gè)球排成一排共有 種不同的排法。（用數(shù)字作答） 1680種15.定義：，其中是虛數(shù)單位，且實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對都適應(yīng)。若，則 答案 16.已知函數(shù) 其中,。 （

9、1）若在的定義域內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍 ； （2）在（1）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，在上有零點(diǎn)，則的最大值為 。 解：由（1）得 ， 所以 故在上遞增，在上遞減。 所以在上的最小值為，而 ，故在上沒有零點(diǎn)。 所以的零點(diǎn)一定在遞增區(qū)間上，從而有且。 又，當(dāng)時(shí)均有，所以的最大值為-2. 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.求:（1）函數(shù)的最小值及取得最大值的自變量的集合；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間. （1）解: 當(dāng),即時(shí), 取得最大值.函數(shù)的取得最大值的自變量的集合為.6分 （2） 由題意得: 即: 因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間

10、為12分18. （本小題滿分12分） 如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，平面?zhèn)让妫?，且滿足.（1）求證：；（2）求點(diǎn)的距離；（3）求二面角的平面角的余弦值。（1）證明：如右圖，過點(diǎn)a在平面a1abb1內(nèi)作ada1b于d，則由平面a1bc側(cè)面a1abb1,且平面a1bc側(cè)面a1abb1=a1b,得ad平面a1bc,又bc平面a1bc，所以adbc.因?yàn)槿庵鵤bca1b1c1是直三棱柱，則aa1底面abc，所以aa1bc.又aa1ad=a,從而bc側(cè)面a1abb1，又ab側(cè)面a1abb1，故abbc. 4分（2）由（）知，以點(diǎn)b為坐標(biāo)原點(diǎn)，以bc、ba、bb1所在的直線分別為x軸、y

11、軸、z軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， b(0,0,0), a(0,3,0), c(3，0，0) , 有由，滿足，所以e(1，2，0), f(0，1，1) 所以,所以點(diǎn)的距離。 8分（3） 。 12分19.（本小題滿分12分）長沙市某中學(xué)在每年的11月份都會舉行“社團(tuán)文化節(jié)”，開幕式當(dāng)天組織舉行大型的文藝表演，同時(shí)邀請36名不同社團(tuán)的社長進(jìn)行才藝展示。其中有的社長是高中學(xué)生，的社長是初中學(xué)生，高中社長中有是高一學(xué)生，初中社長中有是初二學(xué)生。 （1）若校園電視臺記者隨機(jī)采訪3位社長，求恰有1人是高一學(xué)生且至少有1人是初中學(xué)生的概率； （2）若校園電視臺記者隨機(jī)采訪3位初中學(xué)生社長，設(shè)初二學(xué)生

12、人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。 解：（）由題意得，高中學(xué)生社長有27人，其中高一學(xué)生9人；初中學(xué)生社長有9人，其中初二學(xué)生社長6人。 事件為“采訪3人中，恰有1人是高一學(xué)生且至少有1人是初中學(xué)生”。 . 6分（）的可能取值為0，1，2，3 , . ， ，. 所以的分布列為0123 所以， 12分 20. （本小題滿分13分）2013年我國汽車擁有量已超過2億（目前只有中國和美國超過2億），為了控制汽車尾氣對環(huán)境的污染，國家鼓勵和補(bǔ)貼購買小排量汽車的消費(fèi)者，同時(shí)在部分地區(qū)采取對新車限量上號。某市采取對新車限量上號政策，已知2013年年初汽車擁有量為（=100萬輛），第年（2013年為第1年，20

13、14年為第2年，依次類推）年初的擁有量記為，該年的增長量和與的乘積成正比，比例系數(shù)為,其中=200萬。 （1）證明：； （2）用表示；并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi)。解：（1）依題 2分 只需證明，即證。 上式顯然成立，所以。 5分 （2），所以 按該政策可以將該市汽車總擁有量控制在200萬輛內(nèi)，即。6分 證明如下： 當(dāng)時(shí)，顯然成立。 假設(shè)時(shí)，成立。則當(dāng)時(shí) ，是關(guān)于的一個(gè)二次函數(shù)，令，其對稱軸，所以 ，即綜上所述，成立。 13分21定義：對于兩個(gè)雙曲線,若的實(shí)軸是的虛軸，的虛軸是的實(shí)軸，則稱,為共軛雙曲線。現(xiàn)給出雙曲線和雙曲線，其離心率分別為。（1）寫出的漸近線方程（不用證明）；（2）試判斷雙曲線和雙曲線是否為共軛雙曲線？請加以證明。（3）求值：。 解：（1）的漸近線方程都是：和。 -3分 （2）雙曲線是共軛雙曲線。 -4分 證明如下： 對于，實(shí)軸和虛軸所在的直線是和的角平分線所的直線， 所以的實(shí)軸所在直線為，虛軸所在直線為， -6分 實(shí)軸和的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方。又，所以 從而得；-8分同理對于，實(shí)軸所在直線為，虛軸所在直線為，實(shí)軸和的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方 ，所以，從而得。綜上所述，雙曲線是共軛雙曲線。 -10分 （3） 由（2）易得， 所以=1 。 -13分22（本題滿分13分）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，有極小