人教版高中數(shù)學(xué)必修一--第一章-集合與函數(shù)概念--知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精編知識(shí)點(diǎn)人教版高中數(shù)學(xué)必修一第一章函數(shù)與集合概念知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念：1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。2、集合的中元素的三個(gè)特性：（1）元素的確定性；（ 2）元素的互異性；（ 3）元素的無(wú)序性說(shuō)明： (1)對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。(2) 任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。(3) 集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4) 集

2、合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示： 如 我校的籃球隊(duì)員 ， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （ 1）用拉丁字母表示集合： A= 我校的籃球隊(duì)員 ,B=1,2,3,4,5（ 2）集合的表示方法：列舉法與描述法。（）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。（） 描述法： 將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。語(yǔ)言描述法：例： 不是直角三角形的三角形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式 x-3>2 的解集是 x R| x-3>2 或 x| x-3>2 （3）圖示法（文

3、氏圖） ：4、常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或 N+整數(shù)集 Z有理數(shù)集 Q 實(shí)數(shù)集 R5、“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素， 就說(shuō) a 屬于集合 A 記作 aA ，相反， a 不屬于集合 A 記作 aA6、集合的分類：1有限集 含有有限個(gè)元素的集合2無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集對(duì)于兩個(gè)集合 A 與 B ，如果集合 A 的任何一個(gè)元素都是集合B 的元素，我們就說(shuō)兩集合有包含關(guān)系，稱集合 A 為集合 B 的子集，記作 A B精編知識(shí)點(diǎn)注意：有兩種可能（ 1）

4、 A 是 B 的一部分，；（ 2） A 與 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A, 記作 AB或BA集合 A 中有 n 個(gè)元素 ,則集合 A 子集個(gè)數(shù)為 2n.2“相等”關(guān)系 (5 5，且 5 5，則 5=5)實(shí)例：設(shè) A=x|x 2-1=0B=-1,1“元素相同”結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合 A 與 B，如果集合 A 的任何一個(gè)元素都是集合B 的元素，同時(shí) ,集合 B的任何一個(gè)元素都是集合A 的元素，我們就說(shuō)集合A 等于集合 B，即： A=BA B且B A 任何一個(gè)集合是它本身的子集。A A真子集 :如果 AB,且 A B 那就說(shuō)集合 A 是集合 B 的真子

5、集，記作A B(或BA)如果 AB, BC,那么 AC如果AB同時(shí)B A那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1 交集的定義 ：一般地，由所有屬于A 且屬于 B 的元素所組成的集合,叫做 A,B 的交集記作 A B( 讀作” A 交 B ”)，即 A B=x|x A ，且 xB 2、并集的定義 ：一般地，由所有屬于集合A 或?qū)儆诩?B 的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作： A B( 讀作” A 并 B” ) ，即 A B=x|x A ，或 x B 3、交集與并集的性質(zhì)： A A = A ，A = ,

6、 A B = B A ，A A = A ，A = A , A B = BA.4、全集與補(bǔ)集（1）全集：如果集合S 含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U 來(lái)表示。（2）補(bǔ)集：設(shè)S 是一個(gè)集合， A 是 S 的一個(gè)子集（即AS），由 S 中所有不屬于 A 的元素組成的集合，叫做S 中子集 A 的補(bǔ)集（或余集） 。記作： CSA ，即 CSA =x | xS 且 xA（3）性質(zhì)： CU(C UA)=A(C UA) A= (C UA) A=U(4)(C UA) (C UB)=CU(A B)(5)(C UA) (C U B)=C U(A B)SACsA二、函數(shù)的有關(guān)

7、概念1函數(shù)的概念： 設(shè) A 、 B 是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù)f(x) 和它對(duì)應(yīng)， 那么就稱 f：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)記作：y=f(x) ， x A 其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 A叫做函數(shù)的定義域；與x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域注意： 1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x) ，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間 的形式定義域補(bǔ)充：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)

8、x 的集合稱為函數(shù)的定義域， 求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù) 是： (1)分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零； (4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x 的值組成的集合 .（ 6）指精編知識(shí)點(diǎn)數(shù)為零底不可以等于零(7) 實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.(注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域注意：（ 1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決

9、定的，所以， 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）。（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：定義域一致；表達(dá)式相同(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備值域補(bǔ)充)(1) 、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2) 、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1) 定義： 在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A) 中的 x 為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y 為縱坐標(biāo)的點(diǎn) P(x， y)

10、的集合 C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A) 的圖象C 上每一點(diǎn)的坐標(biāo) (x， y)均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x) ，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x) 的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x、 y 為坐標(biāo)的點(diǎn) (x， y)，均在 C 上 . 即記為 C= P(x,y) | y= f(x) , x A 圖象 C 一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線 ), 也可能是由與任意平行于Y 軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2) 畫法：A、描點(diǎn)法： 根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y 的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y) 為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y) ，最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來(lái).B、圖象變換法

11、：常用變換方法有三種，即平移變換、對(duì)稱變換和伸縮變換、對(duì)稱變換 :（1）將 y= f(x) 在 x 軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)= f(x) 的圖象如：書上 P21 例 5x（2） y= f(x) 和 y= f(-x) 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱。如 yax與 y a x1a（3） y= f(x) 和 y= -f(x) 的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱。如 ylog a x與 ylog a xlog 1xa、平移變換 :由 f(x) 得到 f(x a)左加右減；由 f(x) 得到 f(x)a上加下減(3) 作用： A 、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的

12、錯(cuò)誤。4區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（ 2）無(wú)窮區(qū)間；（ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示5映射定義 ：一般地，設(shè) AA 、 B 是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f ，使對(duì)于集合xByfAB 為從集合A 到集合 B 的一個(gè)映射。記作“f ： AB”給定一個(gè)集合 A 到 B 的映射，如果 a A,b B.且元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象說(shuō)明 :函數(shù)是一種特殊的映射， 映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)， 集合 A 、B 及對(duì)應(yīng)法則 f 是確定的；對(duì)應(yīng)法則有“方向性” ，即強(qiáng)調(diào)從集合 A 到集合 B 的對(duì)應(yīng)，它與從

13、 B 到 A 的對(duì)應(yīng)關(guān)系一精編知識(shí)點(diǎn)般是不同的；u=g(x)y=f(u)y=fg(x)對(duì)于映射 f ：A B 來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足： （）集合 A 中的每增增增一個(gè)元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； （）集合增減減A 中不同的元素，在集合B 中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)； （）減增減不要求集合 B 中的每一個(gè)元素在集合A 中都有原象。減減增6、函數(shù)的表示法：常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、 離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)：作垂直于x 軸的直線與曲線最多有一個(gè)交點(diǎn)。2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：

14、確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。 分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程， 而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況注意：（ 1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)； （ 2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u),(u

15、M),u=g(x),(x A), 則 y=fg(x)=F(x)， (x A)稱為 f 是 g 的復(fù)合函數(shù)。7函數(shù)單調(diào)性（ 1）增函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 的定義域?yàn)?I，如果對(duì)于定義域I 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1 ，x2，當(dāng) x1<x 2 時(shí)，都有 f(x 1)<f(x 2)，那么就說(shuō) f(x) 在區(qū)間 D 上是 增函數(shù) 。區(qū)間 D 稱為 y=f(x) 的單調(diào)增區(qū)間；如果對(duì)于區(qū)間D 上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng) x1<x 2 時(shí)，都有 f(x 1) f(x 2 )，那么就說(shuō)f(x) 在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù) .區(qū)間 D 稱為 y=f(x) 的單調(diào)減區(qū)間.注意

16、： 1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2、必須是對(duì)于區(qū)間D 內(nèi)的 任意 兩個(gè)自變量x1， x2；當(dāng) x1<x 2 時(shí)，總有f(x 1)<f(x 2) （或 f(x 1)f(x 2)）。（ 2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù) y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的 )單調(diào)性， 在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：1 任取 x1， x2D ，且 x1 <x2；2 作差 f(x 1) f(x 2)； 3 變形（通常是因

17、式分解和配方） ； 4 定號(hào)（即判斷差 f(x 1) f(x 2)的正負(fù)）； 5 下結(jié)論（指出函數(shù) f(x) 在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性） (B) 圖象法 (從圖象上看升降)(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x) ，y=f(u) 的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：口訣：同增異減注意： 1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間成其并集 .,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫精編知識(shí)點(diǎn)（ 4）判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的結(jié)論函數(shù) yf (x) 與 yf ( x) 的單調(diào)性相反；y1當(dāng)函數(shù) yf ( x) 與函數(shù) yf ( x) 的單調(diào)性相反；f ( x

18、) 恒為正或恒有負(fù)時(shí)，函數(shù) yf (x) 與函數(shù) yf ( x) C （ C 為常數(shù)）的單調(diào)性相同；當(dāng) C > 0（ C 為常數(shù)）時(shí)， yf (x) 與 yC f ( x) 的單調(diào)性相同；當(dāng) C < 0（ C 為常數(shù)）時(shí)， yf (x) 與 yCf (x) 的單調(diào)性相反；函數(shù) f (x) 、 g(x) 都是增（減）函數(shù)，則f ( x)g( x) 仍是增（減）函數(shù)；若 f ( x)0, g (x)0 且 f (x) 與 g (x) 都是增（減）函數(shù)，則f ( x) g(x) 也是增（減）函數(shù)；若 f (x) 0, g( x)0 且 f ( x) 與 g( x) 都是增（減）函數(shù)，則

19、f ( x)g( x) 也是減（增）函數(shù)；設(shè) f ( x)0 ，若 f (x) 在定義域上是增函數(shù)，則n f ( x) 、 kf ( x)(k 0) 、 f n (x)( n 1)1都是增函數(shù)，而 f (x) 是減函數(shù) .8函數(shù)的奇偶性（ 1）偶函數(shù)一般地， 對(duì)于函數(shù) f(x) 的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有 f( x)=f(x) ，那么 f(x) 就叫做偶函數(shù)（ 2）奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù) f(x) 的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有 f( x)= f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函數(shù)注意： 1、 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒(méi)有奇偶性,也可能既

20、是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2、 由函數(shù)的奇偶性定義可知， 函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè) x，則 x 也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（ 3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱總結(jié)： 利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； 2確定 f( x)與 f(x) 的關(guān)系； 3作出相應(yīng)結(jié)論：若f( x) = f(x) 或 f( x)f(x) = 0 ，則 f(x) 是偶函數(shù)；若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0 ，則 f(x) 是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱， (1)再根據(jù)定義判定 ; (2) 有時(shí)判定f(-x)= ± f(x) 比較困難，可考慮根據(jù)是否有 f(-x) ± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 來(lái)判定 ; (3) 利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱 .若 f ( x) 為偶函數(shù)，則