數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文關于伴隨矩陣性質的若干探討

1、關于伴隨矩陣性質的若干探討xxxxx（湖北師范學院數(shù)學系 數(shù)學與應用數(shù)學 0702班 湖北 黃石 435002）0 前言：伴隨矩陣是高等代數(shù)中的一個重要內容，在矩陣的計算和討論中，常常會遇到伴隨矩陣.但很多時候伴隨矩陣只是作為計算的工具，伴隨矩陣的性質很少被提到.在前人研究的基礎上，總結了伴隨矩陣的一些性質并討論其證明過程，并把一些性質推廣到了分塊矩陣的伴隨矩陣的上去，得到了一些相似的結果.1 伴隨矩陣的定義定義 1 設矩陣，將矩陣的元素所在的第行第列元素劃去后，剩余的個元素按原來的排列順序組成的階矩陣所確定的行列稱式為元素的余子式，記為，稱為元素的代數(shù)余子式，記為，即.定義2方陣的各元素的代

2、數(shù)余子式所構成的如下矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣.2伴隨矩陣的基本性質性質2.1 設矩陣的伴隨矩陣為，則，且當時，有或.證明 設,則 .于是 .類似地，.所以 .當時，可逆，由得,即.所以.注 該性質給出了矩陣與其伴隨矩陣之間的關系，同時給出了逆矩陣或伴隨矩陣的一種求法.性質2.2 證明 （1）當時，這時，從而等式成立.（2） 當時，由得,所以 . 注 該性質給出了矩陣與其伴隨矩陣的行列式之間的關系.性質 2.3 若是階方陣,那么證明 (1)當時，由 得 ,所以 .(2)時，由得 .所以對列向量都是方程組的解.由于，所以齊次線性方程組的解向量組的秩為,故的列向量組的秩小于或等于1，即 .又，所以至少

3、有一個 階段非零子式，即，所以 ,故 .(3）當時，矩陣沒有不為零的階子式，故的每個元素都是零，即.所以 . 注 該性質給出了矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關系.3 伴隨矩陣的運算性質3.1乘積矩陣的伴隨矩陣的運算性質性質 3.1.1 若矩陣為階可逆矩陣，為常數(shù)，則 .證明 由及可得.注 該性質給出了數(shù)乘可逆矩陣的伴隨矩陣的運算.性質3.1.2 設、為階方陣，則.證明 （1） 當時，由可得.（2) 當時，令，只要充分大，都可逆，所以 .上式兩端矩陣中的元素都是關于的多項式，由于兩端對應元素相等，所以對應元素都是相等的多項式，即上式對任意的都成立，特別的取，即得.推論 3.1.1 設均為階方陣，則.

4、注 方陣乘積的伴隨矩陣等于每個方陣伴隨矩陣的乘積，但順序恰好交換過來.3.2分塊矩陣的伴隨矩陣的運算性質性質3.2.1設、為階可逆矩陣，則有.證明 因為,所以可逆，且,又有 ,由 可得 = =.注 性質3.2.1的結果與推論3.1.1的結果具有類似的形式，即與分別取伴隨矩陣，但位置交換，且伴隨矩陣前多了一個系數(shù).上述結果可進一步推廣到次對角線上有多個子塊的情形，如,其中、是階可逆矩陣.例1 設均為3階可逆矩陣，且求.解 由可得 .3.2轉置矩陣的伴隨矩陣的運算性質性質 3.2.1 若為 階方陣，則.證明 因，而則,故.注 該性質說明求伴隨矩陣與求逆可交換順序.推論3.2.1設、為階方陣，則.證

5、明 由可得.該結果可以推廣到多個方陣乘積的情形，如.推論3.2.2設、為階可逆方陣，則.證明 因、均為階可逆方陣，所以可逆，且有.由可得 .所以 .上述結論可進一步推廣到主對角線上有多個子塊的情形，如.推論3.2.3設、為階可逆方陣，則.此結論可進一步推廣到次對角線有多個主塊的情形，如.例2 設均為3階可逆矩陣，且求.解 由,可得 .3.3矩陣逆的伴隨矩陣的運算性質性質3.3.1 設是階可逆矩陣，則 .證明 由得 又,所以.注 該性質說明求逆與求伴隨矩陣兩種運算可交換順序.推論3.3.1設為階可逆矩陣，則有.證明 由可得 上述結果也可以進一步推廣到主對角線上有多個子塊的分塊對角矩陣上來，如 ,

6、其中均為階可逆矩陣.例3 設，求.解 因為，.所以均可逆，由推論3.3.1可得，.推論3.3.2 設為階可逆矩陣，則有.上述結果也可以進一步推廣到次對角線上有多個子塊的分塊對角矩陣上來，如 ,其中均為階可逆矩陣.性質3.3.2 設是階可逆矩陣，則.證明 由性質3.2.1可得.由性質3.3.1可得.又因為.所以.從而.即.又,所以.例4 設，是的伴隨矩陣，求.解 因=，所以可逆，由性質3.3.3可得.推論3.3.3設為階可逆矩陣，則有 .證明 因為為階可逆矩陣，所以也可逆，由性質3.3.2得,又由推論3.2.2.得 .上述結果也可以推廣到主對角線上有多個子塊的分塊矩陣上來，如 .推論3.3.4設

7、為階可逆矩陣，則有.上述結果也可以推廣到次對角線上有多個子塊的分塊矩陣上來，如 .注 對伴隨矩陣的運算性質進行了分類歸納，并把一些性質推廣到分塊矩陣的伴隨矩陣上去，得到的是一些相似的結果.4 矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性質4.1矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性質性質4.1.1 （1）若是階對稱矩陣，那么也是對稱矩陣；（2） 若是階反對稱矩陣，那么當是偶數(shù)時，也是反對稱矩陣；當是奇數(shù)時，是對稱矩陣.證明 （1）因為是階對稱矩陣，所以，又 所以也是階對稱矩陣.（2） 因為是階反對稱矩陣，所以.又 .當是偶數(shù)時，有，即，所以也是反對稱矩陣；當是奇數(shù)時，有，即，所以是階對稱矩陣.性質4.1.2 （1）若方陣是階可

8、逆矩陣，則也是階可逆矩陣；（2） 若方陣是階不可逆矩陣，則也是階不可逆矩陣.證明（1)因為是階可逆矩陣，所以，由性質2.2可得,所以是階可逆矩陣.(2)因為是階不可逆矩陣，所以，由得. 當，則有，所以是階不可逆矩陣. 當時，假設則有=.這與矛盾，所以，即也是階不可逆矩陣.性質4.1.3 （1）若是階正定矩陣，則也是階正定矩陣；（2） 若是階半正定矩陣，則也是階半正定矩陣.證明 （1）設是階正定矩陣，則且為對稱矩陣，另存在可逆矩陣，使得,于是.即有 .又由得.即.所以合同于單位矩陣,即是正定矩陣.（2） 設為半正定矩陣，則為對稱矩陣，下面分三種情況討論: 若，那么為正定矩陣，由（1)知，是正定矩

9、陣； 若，則，顯然是半正定矩陣； 若，則. 由于為半正定矩陣，所以的一階主子式即的元素的代數(shù)余子式必大于或等于零，且至少有一個大于零（否則，若每個都等于零，由和的對稱性知，至少有一個二階子式不等于，即，這與相矛盾），不妨設，令，則可逆，且有,所以是半正定矩陣.性質4.1.4（1)若是冪等矩陣，則也是冪等矩陣；（2） 若是冪零矩陣，則也是冪零矩陣；（3） 若是冪幺矩陣，則也是冪幺矩陣.證明 （1)若是冪等矩陣，即，則,由推論2.1可得.所以 .即 也是冪等矩陣.（2） 若是冪零矩陣，即，則.即也是冪零矩陣.和.即也是冪幺矩陣.性質4.1.5若是對合矩陣，則也是對合矩陣.證明 因為是對合矩陣，所以

10、有,兩邊取行列式，得 .所以可逆，且有 .由性質2.1知也可逆，由得.所以也是對合矩陣.性質4.1.6 若是正交矩陣，則也是正交矩陣.證明 設是正交矩陣，則有.又 ,所以也是正交矩陣.性質4.1.7若是正規(guī)矩陣，則也是正規(guī)矩陣.證明 設是正規(guī)矩陣，則有.又.所以也是正規(guī)矩陣.性質4.1.8 若是上（下）三角形矩陣，則也是上（下）三角形矩陣.證明 設是上三角矩陣，則當時，有.當時，的余子式為階段三角形行列式，且主對角線上的元素至少有一個為零，所以，即有，故也是上三角形矩陣.同理可證，若是下三角形矩陣，則也是下三角形矩陣.推論4.1.1 當是對角矩陣時，也是對角矩陣.注 對矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性

11、質進行了較為詳盡的研究，可以看出伴隨矩陣對矩陣的性質有很好的繼承性.5 兩伴隨矩陣間的關系性質5.1兩伴隨矩陣間的關系性質性質5.1.1若矩陣與可交換，則也可交換.證明 因為可交換，所以有.又.所以也可交換.性質5.1.2 若方陣等價于，則等價于.證明 因為等價于，則存在可逆矩陣，使得,上式兩邊取伴隨矩陣，得.即有 .因為可逆，所以也可逆，由矩陣等價的定義可知，等價于.性質5.1.3 若與相似，則與也相似.證明 （1）當可逆時，因為與相似，則存在可逆矩陣，使得,上式兩邊取行列式，得，所以也可逆.兩邊取逆，得 .上式兩邊分別乘以，得,即.所以與相似.（2) 當不可逆時，由知，也不可逆，所以必存在

12、，當時，有.令 ,則，且=,由（1）知,即.上式兩端矩陣中的元素都是關于的多項式，由于兩端對應元素相等，所以對應元素是相等的多項式，即上式對任意的都成立，特別的取，即得.即與相似.性質5.1.4若與合同，且與可逆，則與也合同.證明 因為若與合同，所以存在可逆矩陣，使得.又與可逆，上式兩邊取逆，得,即.令,則.所以,又由,得.所以 ,即.令，則.所以與合同.注 依據(jù)兩矩陣的關系推導出對應的伴隨矩陣也具有同種的關系，這為我們進一步研究伴隨矩陣間的關系提供了理論指導.6小結 伴隨矩陣是矩陣理論及線性代數(shù)中的一個基本概念，是許多數(shù)學分支研究的重要工具，伴隨矩陣一些新的性質被不斷的發(fā)現(xiàn)與研究.本文在伴隨

13、矩陣的基本性質的基礎上，較為詳細的歸納并討論了伴隨矩陣的性質.并在此基礎上討論了一類分塊矩陣的伴隨矩陣的性質.具體來說本文做了以下幾方面的工作:介紹伴隨矩陣在其行列式、秩等方面的基本性質；研究數(shù)乘矩陣、乘積矩陣、分塊矩陣與其伴隨矩陣的的運算性質及伴隨矩陣在逆等方面的運算性質；研究矩陣與其伴隨矩陣的關聯(lián)性質，主要介紹由矩陣的對稱性、正定性、奇異性、正交性推導出伴隨矩陣的對稱性、正定性、奇異性、正交性；研究伴隨矩陣間的關系性質，主要研究由兩矩陣的相似、合同等關系推出對應的兩伴隨矩陣之間的關系.伴隨矩陣是線性代數(shù)中的重要概念，我們在研究過程中深刻體會到其性質的美妙.限于本人的知識水平，所做的有很多不

14、足之處.目前的基礎上，仍有很多地方有待完善，希望有志同人作出更好成績.參考文獻:1 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，1998.2 張禾瑞.高等代數(shù)m.北京：高等教育出版社，1983.3 趙建中，葉紅萍.伴隨矩陣的一些性質j.皖西學院學報,2004，20(5):12-15.4 譚維奇.伴隨矩陣的性質初探j.南京經濟區(qū)域廣播電視大學學報，97（2）：56-58.5 劉佑林.伴隨矩陣的若干性質j.湘南學院學報,2009,30(5):31-32.6 肖翔，許伯生.伴隨矩陣的性質j.上海工程技術大學教育研究，2007，（3）：48-49.7 郭文婷.與矩陣的伴隨矩陣有關的幾個技巧j.長

15、江工程職業(yè)技術學院，2010,27 （1）：78-80.8 武潔.伴隨矩陣的性質及證明j.高校理科研究,科技信息：517.9 徐蘭.階矩陣與其伴隨矩陣的關系的進一步探討j.昌吉學院學報，2005，（4）： 100-101.10 林磊.方陣的伴隨矩陣j.高等數(shù)學研究，2004，（11）：23-25.11 金啟勝 .由伴隨矩陣所聯(lián)想的幾個問題j.高校理科研究，科技信息.424.12 朱煥，關麗杰，范慧玲.有關伴隨矩陣的性質j.2008,28（3）：21-24.13 孔慶蘭.伴隨矩陣的若干性質j.洛陽大學學報,1998,13（4）：21-22.14 陳艷玲，許杰.矩陣的伴隨矩陣的性質j.齊齊哈爾師范高等?？茖W校學報, 2007，（2）：151-153.15 史延峰.矩陣的伴隨矩陣j.紡織高?；A科學學報,1999,12(3)：276-279.16 張艷麗. 關于伴隨矩陣性質的討論j. 衡水學院學報, 2007 .17 王蓮花，田立平.伴隨矩陣的性質及其應用j.河南教育學院學報，2006,15 （3）：4-6.18 張毅敏.伴隨矩陣的若干性質