極大似然估計(jì)練習(xí)題

1、關(guān)于矩估計(jì)與極大似然估計(jì)的典型例題例1，設(shè)總體X具有分布律232 珥1）（1_丁其中0宀：:1為未知參數(shù)。已經(jīng)取得了樣本值 為=1,X2二2,Xs 試求參數(shù)二的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。解：（i ）求矩估計(jì)量，列 矩方程（只有一個(gè)未知參數(shù)）E（X）2 2 2珥1）3 （1）2 = 3- 2 - X7矩=士上=士公_二1_5（ii ）求極大似然估計(jì)，寫(xiě)出似然函數(shù)，即樣本出現(xiàn)的概率LeP（XX1,XX2,XX3）二 P（X1,X2,X1）二 P（X廠 1） P（X廠 2） P（X3）2 2 珥1 J）寸2 二 2二 5（1 J）對(duì)數(shù)似然In L（T = In 2 5ln 二 ln（1 -二）dlnL一

2、 511-"8得極大似然估計(jì)為例2,某種電子元件的壽命(以h記)X服從雙參數(shù)指數(shù)分布，其概率密度為f （x）二1 exp0,其他-（x -）/=, x -我其中% J 0均為未知參數(shù)，自一批這種零件中隨機(jī)抽取n件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，設(shè)它們的失效時(shí)間分別為 xl,x2, ,xn(1)求J 的最大似然估計(jì)量；(2)求J 的矩估計(jì)量 解：(1)似然函數(shù)，記樣本的聯(lián)合概率密度為nlc，“ f（x,x2,杠，f（x）iWni =11exp -化叢）/8,xi,X2，Xn X 豈0,其他1nexp（-C 人 - n1）/ - x（i） / 日i=i0/ > x（i）在求極大似然估計(jì)時(shí)，Lf，J

3、) = 0肯定不是最大值的似然函數(shù) 值，不考慮這部分，只考慮另一部分。取另一部分的對(duì)數(shù)似然函數(shù)nIn LC ,") = -nln 二 -(' Xj - n" )/ =,x(1)i勻i=1門n LG) dQ:lnL(T)OP-可知關(guān)于% "的駐點(diǎn)不存在，但能判定單調(diào)性 由也口°知汕0In LC）二 一 nln 二一（'人- nJ ） / 乞 x,關(guān)于"是增函數(shù)，故爲(wèi)二 X（1）n瓦 Xj - n# InLp/）n j門將之代入到二0中得務(wù) X-x（i）則？極一 x（i）， 極二x x（i） 一定能使得似然函數(shù)達(dá)到最大，故71，J的

4、極大似然估計(jì)為(2)列矩方程組(兩個(gè)未知參數(shù))E(X)= i xexp(x-)/訂dx- XE(X2)exp(x-)"dx二 C ，)2 =2解出J g - X)2.?矩丄瓦g - X)2n i =1例3,設(shè)總體X U0/ ,其中二-0為未知參數(shù)，X1, X2廠，Xn為 來(lái)自總體X的一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，為,，人為樣本觀察值，求未 知參數(shù)二的極大似然估計(jì)。解：似然函數(shù)，即樣本的聯(lián)合概率密度nL(J f(為,X2,iT1f(x)=，0 冷X2，x0,elseLCP 0肯定不是最大值，考慮另一部分的最大值, 取對(duì)數(shù)似然ln L(= ) = _ n ln r - x(n)d InLC)n只0知 In L C ) = - n In J 在，-X（n）