1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖解析

1、1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1.2.1 中心投影與平行投影1.2.2 空間幾何體的三視圖【考綱要求】學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解中心投影和平行投影.2能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(柱、錐、臺(tái)、球及其組合體)的三視圖.3能識(shí)別三視圖所表示的立體模型.目標(biāo)解讀1會(huì)畫簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖是重點(diǎn)；2識(shí)別三視圖所表示的立體模型是難點(diǎn).【自主學(xué)習(xí)】1投影(1)投影的定義由于光的照射，在 _物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的 _ ，這種現(xiàn)象叫做投影其中，我們把 叫做投影線，把 _ 的屏幕叫做投(2)投影的分類1中心投影：光由 _散射形成的投影.2平行投影：在一束 _照射下形成的投影.當(dāng)投影線 _時(shí)，叫做正投影，否則叫做 _投

2、影的性質(zhì)1中心投影的性質(zhì)：中心投影的 _交于一點(diǎn)；當(dāng)光源距離物體越近，投影形成的影子_2平行投影的性質(zhì)：平行投影的投影線 _2.三視圖分類正視圖:光線從幾何體的向正投影，得到的投影圖側(cè)視圖:光線從幾何體的向正投影，得到的投影圖俯視圖:光線從幾何體的向正投影，得到的投影圖(2)三視圖的畫法規(guī)則視圖都反映物體的長(zhǎng)度 一“長(zhǎng)對(duì)正”；視圖都反映物體的高度一“咼平齊”；視圖都反映物體的寬度一-“寬相等”.特別提醒：畫幾何體的三視圖時(shí)，能看見的輪廓線和棱用實(shí)線表示，不能看見的輪廓線和棱用虛線表示.【考點(diǎn)突破】要點(diǎn)一平行投影與中心投影中心投影與平行投影都是空間圖形的基本畫法， 是投影的兩種形式. 通過中心投

3、影與平 行投影將三維物體轉(zhuǎn)換成二維平面物體， 可以通過投影想象實(shí)際物體的形狀， 但還不能完全 反映真實(shí)情況，只能反映部分形狀，只有在特殊情況下反映真實(shí)尺寸.畫立體幾何圖形時(shí)一般采用平行投影法，畫實(shí)際效果圖時(shí)采用中心投影法，中心投影的投影線交于一點(diǎn)，點(diǎn)光源離物體越近，投影形成的影子越大；平行投影的投影線是平行的.典型例題1、在正方體ABCDABCD中，E、F分別是AA、CC的中點(diǎn)， 則下列判斷正確的是_ 1四邊形BFDE在底面ABCD內(nèi)的投影是正方形2四邊形BFDE在面ADDA內(nèi)的投影是菱形3四邊形BFDE在面ADDA內(nèi)的投影與在面ABBA內(nèi)的投影是全等的平行四 邊形【思路啟迪】先根據(jù)平行投影的

4、定義知投影線垂直于投影面，從而確定四邊形BFDE四點(diǎn)在各投影面的位置.再把各投影點(diǎn)連線成圖.【解析】 四邊形BFDE的四個(gè)頂點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)的投影分別是點(diǎn)B、C、D、A, 故投影是正方形，正確；設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則AE=1,取DD的中點(diǎn)G,則四邊形BFDE在面ADDA內(nèi)的投影是四邊形AGDE,由AE/DG,且AE=DG,.四邊形AGDE是平行四邊 形.但AE=1,DE=5,故四邊形AGDE不是菱形.對(duì)于，由知是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別相等的平行四邊形，從而正確.方法指導(dǎo)：畫出一個(gè)圖形在一個(gè)投影面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（如頂點(diǎn)，端點(diǎn)等），先畫出這些關(guān)鍵點(diǎn)的投影，再依次連接即可得此圖形在投影面

5、上的投影.反饋訓(xùn)練1、 如圖甲所示， 在正方體ABCDAQIDI中，E、F分別是AACQi的 中點(diǎn)，G是正方形BCCiBi的中心，則四邊形AGFE在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是圖 乙中的.甲甲（3）乙要點(diǎn)二畫空間幾何體的三視圖1三視圖是用兩兩相互垂直的三個(gè)平面（正面、側(cè)面、水平面）作為投影面，把物體放在這個(gè)空間內(nèi)，分別向三個(gè)平面進(jìn)行正投影，然后將水平投影繞水平面和正面的交線向下轉(zhuǎn)90將側(cè)面投影繞側(cè)面和正面的交線向右轉(zhuǎn)90就得到了三視圖，即畫出的三視圖需要符合長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等的基本特征.2畫簡(jiǎn)單組合體的三視圖時(shí)，先要分析該組合體的結(jié)構(gòu)特征，再想象模型，從正前方【解】（1）三視圖如圖所示.

6、俯視圖方法指導(dǎo)： 在畫三視圖時(shí)，務(wù)必做到正（視圖）側(cè)（視圖）高平齊，正（視圖）俯（視圖）長(zhǎng)對(duì) 正，俯（視圖）側(cè)（視圖）寬相等.（2）三視圖的排列方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯 視圖在正視圖的正下方.反饋訓(xùn)練2、畫出如下圖所示的四棱錐的三視圖.要點(diǎn)三識(shí)別三視圖所表示的幾何體根據(jù)三視圖還原幾何體，要仔細(xì)分析和認(rèn)真觀察三視圖并進(jìn)行充分的想象，然后綜合三視圖的形狀，從不同的角度去還原. 通常要根據(jù)俯視圖判斷幾何體是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征.典型例題3、下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，請(qǐng)你想象這個(gè)幾何體的形狀，并畫出這個(gè)幾左方、正上方三個(gè)不同

7、角度各能看到什么形狀, 體的三視圖.典型例題2、畫出下列幾何體的三視圖.再借助簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，畫出簡(jiǎn)單組合【思路啟迪】 先弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征,再確定三視圖的形狀， 并注意輪廓線的虛實(shí).正視圖側(cè)視圖何體.【思路啟迪】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行空間想象，再進(jìn)行合理分析.【解】 這是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體：上部是一個(gè)圓柱，下部是一個(gè)長(zhǎng)方體，幾何體如圖所示：方法指導(dǎo)：綜合三視圖的形狀，從不同的角度去還原， 看圖和想圖是兩個(gè)重要的步驟,“想”于“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類問題的常用方法.反饋訓(xùn)練3、如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，由圖可以判斷此幾何體是 _.俯視圖考點(diǎn)鞏固1.如果圖形所在的平面不平行于

8、投影線，那么下列說法正確的是（）A矩形的平行投影一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形俯視圖俯視圖C.正方形的平行投影一定是矩形D正方形的平行投影一定是菱形2.下列幾何體各自的三視圖中， 有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）A.B.C.D.3.將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）ABCD4.給出下列命題：1如果一個(gè)幾何體的三視圖是完全相同的，則這個(gè)幾何體是正方體；2如果一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體；3如果一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體；4如果一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形，則這個(gè)幾何體是圓臺(tái).其中正確命題的序號(hào)是 _

9、（寫出所有正確命題的序號(hào)）.5.如圖所示，E、F分別為正方體面ADDA、面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的面上的投影可能是圖中的 _ .ABCD6._如圖，直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為 側(cè)視圖面積為 .2，正視圖與俯視圖如圖，則該直三棱柱的正方體&如圖是用小正方體搭的一個(gè)幾何體的正視圖與俯視圖，它最少需要多少個(gè)小正方體?最多需要多少個(gè)小正方體？正視圖俯視圖正視圖俯視圖7.如圖所示的幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體木塊鋸成的.(2)畫出它的三視圖.考點(diǎn)歸納-答案1、解析：從平行投影的性質(zhì)進(jìn)行分析，平行投影只保持平行性，其他的如垂直、夾角 等則不一定保持.答案：B2、解析：正方體，三視圖均

10、相同；圓錐，正視圖和側(cè)視圖相同；三棱臺(tái)，三視 圖各不相同；正四棱錐，正視圖和側(cè)視圖相同.答案：D3、 解析：根據(jù)正投影的性質(zhì)，并結(jié)合側(cè)視圖要求及如圖所示，AB的正投影為AB BC的正投影為BC ,BD的正投影為BD,綜上可知側(cè)視圖為選項(xiàng)D.答案：D4、解析：中三視圖完全相同的還可以是球；中如果將一個(gè)圓柱橫放，則其正視圖和俯視圖都是矩形；中正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形的幾何體還可以是棱臺(tái).故正確的是3答案：5、解析：四邊形BFDE在正方體ABCDABCD的面ADDA和BCCB 上的射影是C;在面DCCD上的射影是B，同理，在面ABBA、面ABCD、面ABCD上的射影也全是B.答案：BC6、 解析：

11、該直三棱柱的側(cè)視圖是長(zhǎng)為2,寬為.3的矩形，其面積為2 3.答案：2 37、解：(1)是棱柱.因?yàn)樵搸缀误w的前、后兩個(gè)面互相平行，其余各面都是矩形，而且 相鄰矩形的公共邊都互相平行.(2)該幾何體的三視圖如圖所示.俯視圖8、解：最少需要9個(gè)小正方體；最多需要15個(gè)小正方體.正視圖側(cè)視圖123 空間幾何體的直觀圖【考綱要求】學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解“斜二測(cè)畫法”的概念并掌握斜二測(cè)畫法的步驟.2.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出一些簡(jiǎn)單平面圖形和立體圖形的直觀圖.3通過觀察三視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式及不同形式間的聯(lián)系.目標(biāo)解讀1.斜二測(cè)畫法的概念是重點(diǎn)；2.應(yīng)用斜二測(cè)畫法畫平面圖形和立體圖形的直觀圖是難點(diǎn)

12、.【自主學(xué)習(xí)】1.直觀圖空間幾何體的直觀圖通常是在 _ 投影下畫出的空間圖形.2.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸， 兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們分別畫成對(duì)應(yīng)的x軸與y軸，其交點(diǎn)為0，且使/xOy =_(或_)，它們確定的平面表示_ .3.立體圖形直觀圖的畫法畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時(shí)，要多畫一條與平面xOy垂直的軸Oz,使/xOz=_,且平行于Oz的線段長(zhǎng)度_【考點(diǎn)突破】要點(diǎn)一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法1.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖要掌握：水平長(zhǎng)不變，垂線長(zhǎng)減半，直角化成45遮擋線條 改虛線，豎線長(zhǎng)也不變，也就是把握住一斜

13、一一已知圖形中垂直于x軸的線段，在直觀圖中 與x軸成45?；?35;二測(cè)一一兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變， 平行于y軸的線段變?yōu)樵L(zhǎng)度的一半.2.畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可.典型例題1、如圖是由正方形ABCE和正三角形CDE所構(gòu)成的平面圖形，請(qǐng)畫出其水 平放置的直觀圖.【解】(1)以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖(1)，再 建立坐標(biāo)系xOy,使兩軸的夾角為45如圖(2);(2)以O(shè)為中點(diǎn)，在x軸上截取AB =AB;分別過A ,B作y軸的平行線，1 1 1

14、截取AE =2AE,BC=尹C.在y軸上截取OD =?OD.(3)連接ED ,EC ,CD,得到平面圖形ABCDE.擦去輔助線，就得到所求的直觀圖(如圖(3).(I)(2)(3)方法指導(dǎo)：利用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí)應(yīng)注意：(1)在已知圖形中x軸，y軸的選取，應(yīng)盡可能多的使圖形的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，有的點(diǎn)不 滿足時(shí)應(yīng)作輔助線，與x軸，y軸垂直的線段是最常用的輔助線.(2)垂直于x軸，y軸的線段在坐標(biāo)系xOy下的長(zhǎng)度變化切勿混淆.反饋訓(xùn)練1、用斜二測(cè)畫法畫邊長(zhǎng)為4 cm的水平放置的正三角形的直觀圖.要點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖的畫法幾何體的直觀圖的畫法規(guī)則，與平面圖形的畫法相比，只是多畫一個(gè)與x軸、y軸都垂

15、直的z軸，并且平行于z軸的線段的平行性和長(zhǎng)度都不變?cè)谥庇^圖上，xOy表示水 平平面，平面yOz和平面zOx表示直立平面.畫空間圖形的直觀圖的原則：1首先在原幾何體上建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,并且把它們畫成對(duì)應(yīng)的x軸與y軸，兩軸交于點(diǎn)O,且使/xOy=45或135,它們確定的平面表示水平面，再作z軸與x軸垂直.2作空間圖形的直觀圖時(shí)平行于x軸的線段畫成平行于x軸的線段并且長(zhǎng)度不變.典型例題2、畫正六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面）的直觀圖.【思路啟迪】先畫底面，即先按照水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法畫正六邊形，再畫側(cè)棱，最后成圖.【解】 畫法：畫軸.畫x軸、y軸、z軸，使/xOy =

16、45或135，/xOz =90A/B（2）畫底面.按x軸，y軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF .（3）畫側(cè)棱.過A、B、C、D、E、F各點(diǎn)分別作z軸的平行線，在這些平行線上分別 截取AA、BB、CC、DD、EE、FF都等于側(cè)棱長(zhǎng).成圖.順次連接A、B、C、D、E、F，并加以整理（去掉輔助線，將被 遮擋的部分改為虛線，就得到正六棱柱的直觀圖）.方法指導(dǎo)：（1）空間幾何體直觀圖的畫法規(guī)則與平面圖形的畫法相比，只是多畫一個(gè)與x軸和y軸都垂直的z軸，表示豎直方向；平行于z軸或在z軸上的線段，方向與長(zhǎng)度都與原 來保持一致.對(duì)于一些常見幾何體（柱、錐、臺(tái)、球）的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便可以較

17、 快、較準(zhǔn)確地畫出來.第一步：作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使/BAD=45 , AB=2cm，AD=1cm.第二步：過A作z軸，使/BAz =90.分別過點(diǎn)B，C，D作z軸的平行線，在z 軸及這組平行線上分別截取AA =BB =CC =DD =2cm.第三步：連接AB ，BC ，CD ，DA，得到的圖形就是所求正方體的直 觀圖反饋訓(xùn)練2、畫長(zhǎng)、寬、高分別是4cm 3cm 2cm的長(zhǎng)方體ABCD-A BC D的直觀 圖。要點(diǎn)三 將直觀圖還原為平面圖形給出直觀圖來研究原圖形， 逆向運(yùn)用斜二測(cè)畫法規(guī)則， 要求我們具有逆向思維的能力. 畫法關(guān)鍵之處同樣是關(guān)鍵點(diǎn)的確定，逆向的規(guī)則為“水平長(zhǎng)不變，

18、垂直長(zhǎng)增倍”，注意平行于y軸的線段與平行于x軸的線段為垂直關(guān)系.典型例題3、已知水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC,求原圖的面積.【思路啟迪】根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則遞推畫出原三角形.AEC=45念BC的面積為S=|BCAE =1X,6=26.方法指導(dǎo)：把直觀圖還原為平面圖形是畫直觀圖的遞推過程，解題時(shí)要正確運(yùn)用斜二測(cè)畫法，特別是對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度應(yīng)準(zhǔn)確無誤.反饋訓(xùn)練3、水平放置的則AB邊上的中線的實(shí)際長(zhǎng)度為考點(diǎn)鞏固1利用斜二測(cè)畫法得到：三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形以上結(jié)論中正確的是（）【解】如下圖所示，作AD丄BC

19、于D，延長(zhǎng)DB至U E,使DE=AD，連接AE,則/畫E過E 連接ACC =EC, 作EEB =EB,B丄EC，使E ,AB，則AAB=BD.這里BC=2EA,就是原來的圖形（如上圖所示）.=BC=1,AE =2AE=2 2AD=2 2X云=6,ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知AC=3, BC=2,ACABC的形狀如何?ABC的面積是多少?B.D.AOB用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，則AOB的面積是()5._在水平放置的平面M內(nèi)有一邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,如圖所示，其中對(duì) 角線AC在水平位置，已知該正方形是某個(gè)四邊形用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，則真實(shí) 圖形的面積為.6.AABC水平放置的直觀圖形

20、如下圖所示，OA=OB=OC=2 cm，那么:A.C.2.如下圖所示是厶A.8B.3.已知正三角形16ABC的邊長(zhǎng)為那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為A.C.2 2a a22a38代一1616B D4.如圖所示的正方形 直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)是OABC的邊長(zhǎng)為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的.Ya,7如圖是一梯形OABC的直觀圖，其直觀圖面積為S,求梯形OABC的面積.&如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖.俯視圖考點(diǎn)鞏固-答案1、解析：斜二測(cè)畫法保持平行性和相交性不變，即平行直線的直觀圖還是平行直線，相交直線的直觀圖還是相交直線， 故正確；但是斜二測(cè)畫法中平行于y軸的線段，在直 觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半，則正方形的直觀圖不是正方形， 菱形的直觀圖不是菱形，所以 錯(cuò).答案：A2、解析：1由圖可知厶AOB的底邊長(zhǎng)為4,高為16,所以面積為-X4X16=32.答案：C3、解析： 如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖.在圖中作C D丄AB于D, 則CD =22OC= fa.：B