行列式的計算及應用畢業(yè)論文

1、綏化學院本科畢業(yè)設計（論文）行列式的計算及應用學生姓名： 張 萍 學 號： 201051037 專 業(yè)： 數學與應用數學 年 級： 2010級 指導教師： 付 麗 講 師 suihua university graduation paper calculating methods of determinant and its applicationstudent name zhang ping student number 201051037 major mathematics and applied maths supervising teacher fu li suihua univers

2、ity摘 要行列式理論是代數學的重要組成部分, 并成為一種重要的學習工具，不僅用來計算高等代數問題，還可以用來解決初等數學中的一些重點難點問題，因此懂得解行列式就非常重要本文總結了行列式的幾種計算方法，并對每種方法進行例題跟蹤，并敘述了行列式在初中代數和解析幾何等幾個方面的應用，以便更好的運用行列式解決實際的問題關鍵詞：線性方程組; 行列式; 初中代數；解析幾何abstractthe determinant is an important component of the theory of algebra , and become an important mathematical tool

3、, so it is very important to know the solution determinant. this paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry, to solv

4、e series of problems in several aspects, in order to better use the determinant to solve practical problems.key words: linear equations; determinant; junior high school; algebra analytic geometry目 錄摘 要.iabstract.ii第1章 行列式的計算方法1第1節(jié) 利用行列式定義與性質計算.1第2節(jié) 化三角形法.3第3節(jié) 降階法.4第4節(jié) 遞推公式法及數學歸納法.5第5節(jié) 利用范德蒙行列.7第6節(jié) 行

5、列式的特殊計算法.8第2章 行列式的應用.11第1節(jié) 行列式在代數中的應用.11第2節(jié) 行列式在幾何中的應用.12第3節(jié) 行列式在多項式理論中的應用.14結 論.16參考文獻.17致 謝.18 iii綏化學院2014屆本科生畢業(yè)論文第章 行列式的計算方法第1 節(jié) 利用行列式定義與性質計算定義11 對任何階方陣，其行列式記為 其中是數組1，2， 的全排列，表示對關于這些全排列的項(共有 項)全體求和 性質1 行列互換，行列式不變，即.性質1表明，行列式中行與列的地位是對稱的，所以凡是有關行的性質，對列同樣成立性質2 對換行列式兩行的位置，行列式反號性質3 若行列式有兩行相同，則行列式等于0性質4

6、用一個數乘以行列式的某一行，等于用這個數乘以這個行列式，或者說某一行的公因式可以提出來，即.推論1 若行列式某行（列）元素都是0，則行列式等于0推論2若一個行列式的任兩行成比例，則行列式值為0性質5 行列式具有分行相加性，即 =+.性質6 把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不變，即.例11計算行列式.解 展開式中項的一般形式是.顯然，如果，那么，從而這個項都等于零因此只需考慮的那些項；同理，只需考慮，這些列指標的項這就是說行列式不為零的項只有這一項，而這一項前面的符號應該是正的，所以.例22 計算級行列式.解 這個行列式的特點是每一行有一個元素是，其余個是. 根據性質6，把行列式第二

7、列加到第一列，行列式不變，再把第三列加到第一列，行列式不變，直到第列也加到第一列，即得=.把第二行到第行都分別加上第一行的-1倍，就有 .根據例1得 .把行列式的某一行（或列）的元素寫成兩數和的形式，然后利用行列式的性質將原行列式寫成兩行列式之和, 進而使行列式簡化以便計算例3 計算行列式.解 =.第2節(jié) 化三角形法化三角形法是將原行列式化為上(下)三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法，這是計算行列式的重要方法之一. 利用行列式的定義容易求得上(下)三角形行列式或對角形行列式對于各行（或各列）之和相等的行列式，將其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第行（或第列），然后再化簡例 計算行列式

8、 .解 =.原則上，每個行列式都可利用行列式的性質化為三角形行列式但對于階數高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁，因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質將其作某種保值變形，再化為三角形行列式例2 計算行列式.解 它的特點是各列元素之和為，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出，得將第一行乘以分別加到其余各行，化為三角形行列式，則 =.第3節(jié) 降階法 降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便，往往是先利用行列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然后再展開例1 計算行列式.解 .第4節(jié) 遞推公式法及數學歸納法

9、應用行列式的性質，把一個階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，階或階與階等）的線性關系式，這種關系式稱為遞推關系式根據遞推關系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法使用遞推方法首先要利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明但給定一個行列式要猜想其值是比較困難的，因此數學歸納法一般直是用來證明行列式等式例1 計算階行列式解 按第一列展開于是有=，及 =從上兩式削去，得對于形如的所謂三角行列式，可直接展開得兩項遞推公式，然后采用如下方法求解方法1 如果較小，則直接遞推計算方法2 用第二數學

10、歸納法：即驗證時結論成立，設結論成立，若可證明出時結論也成立，則對任意自然數結論也成立方法3 將變形為，其中，由韋達定理知和是一元二次方程的兩個根確定和后，令，利用遞推求出，再由遞推求出方法4 設，代入，得，因此有（稱為特征方程），求出根和（假設），則這里,可通過取和來確定 例2 求階行列式的值.解 按第一行展開得，即作特征方程解得，則 當時，代入式得當時，代入得 聯立求解得，故例3 計算階行列式解 用數學歸納法 當時=.假設時，有.則當時，把按第一列展開，得=.第5節(jié) 利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素方冪遞增的特點，因次遇到具有逐行（或列）元素方冪遞增或者遞減的行列式時，可以考慮將其

11、轉化為范德蒙行列式并利用相應的結果求值定義 1 范德蒙行列式例1 計算行列式 解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類推直到把新的第行的1倍加到第行，便得范德蒙行列式 =，其中“”表示連乘號 第6節(jié) 計算行列式雜例計算某些行列式有時特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法叫做加邊法當然，加邊后要保證行列式的值不變，并且要使所得的高一階行列式容易計算要根據需要和原行列式的特點選取所加的行和列加邊法適用于某一行（列）有一個相同的字母的行列式，也可用于其列（行）的元素分別為個元素的倍數的情況例13 計算行列式解 給原行列式加邊=例23 計算行列式解 由行列

12、式定義知為的4次多項式,當時，行相同，有，所以為的根；當時，行相同，有, 所以為的根故有4個1次因式：，設，令，則，即，所以所以當行列式各行(列)和相等，且除對角線外其余元素都相同可采用如下步驟(1)在行列式的各元素中加上一個相同的元素,使新行列式除主對角線外,其余元素均為0；(2)計算的主對角線各元素的代數余子式；(3) 例 33 求行列式的值解 在上的各個元素上加上（-1）后又，其它的是零，所以以上是行列式計算常用的方法，在實際計算中，不同的方法適應于具有不同特征的行列式，如定義法一般適用于0比較多的行列式當某行或某列含有較多的零元素，可采用降階的方法每一種方法都有其各自的優(yōu)點及其獨特之處

13、，因此研究行列式的解法有非常重要的意義 第2章 行列式的應用第1節(jié) 行列式在代數中的應用 2.1 用行列式解線性方程組如果線性方程組 ，的系數行列式, 那么，這個方程組有解，并且解是唯一的，可表示為例14 求一個二次多項式，使，解 設所求的二次多項式為，則有 ，可求得系數行列式 ，所以可用克拉默法則求解，又， ， 解得 ,于是所求的二次多項式為2.2 用行列式證明恒等式我們知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數后加到另一行（列）的對應元素上，行列式不變；如果行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么這個行列式等于零，利用行列式的這些性質，我們可以構造行列式來證明等式例2 已知，求證證明 令

14、，則，命題得證第2節(jié) 行列式在幾何中的應用 利用行列式我們可以解決集合中的一些問題，例如求平面三角形面積，在解析幾何中用行列式表示直線的方程，以及三線共點和三點共線的幾何問題，接下來我們就來討論一下行列式在這幾方面的應用15 用行列式表示三角形的面積以平面內三點，為頂點的的面積是證明 將平面,三點擴充到三維空間，其坐標分別為，其中為任意常數, 由此可得，面積為=.例1 （2001年全國高考試題）設拋物線（）的焦點為，經過焦點的直線交拋物線交于、兩點，點在拋物線的準線上，且軸，求證經過原點證明 設、兩點的坐標為、，由于點在拋物線的準線上，且軸，則，由拋物線焦點弦性質，得，故 ，所以經過原點25

15、用行列式表示直線方程直線通過兩點和的直線方程為 證明 由兩點式，直線方程為 將上式展開并化簡，得，此式可進一步變形為 ，此式為行列式按第三行展開所得結果，原式得證36 三線共點平面內三條互不平行的直線相交于一點的充要條件是46 三點共線平面內三點，在一直線的充要條件是第3節(jié) 行列式在多項式理論中的應用實系數二元二次多項式在復數域內是否可以分解因式，是初等數學的一個重要問題，它不僅關系到因式分解，而且關系到判別方程表示曲線的類型及解二元二次方程，能簡單明了地判定二元二次多項式的可分解性例17 求證證明 左邊 結 論 本文對行列式的計算方法進行了概括和總結，主要從階行列式的特點出發(fā)，通過例題的形式

16、列舉了行列式的幾種主要計算方法不僅較完滿地解決了一些較難的求解問題，而且解決了代數，解析幾何等方面的問題，從數形結合方面又開辟了新的思考途徑，使得行列式的作用不僅限于對方程組的研究，在初等數學的各個方面也看到了行列式的妙用參考文獻1 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組，高等代數(第三版) m,北京: 高等教育出社, (2003)：27-382 胡喬林，關于行列式的定義及其計算方法 j,科技信息,2007(25)：3 萬廣龍，行列式的計算方法與技巧 j，china's foreign trade ，2011(04) 4 梁 波，例談行列式的幾個應用 j，畢節(jié)學院學報，2006，(4)：27-285 湯茂林，行列式在初等代數中的巧用 j，廊坊師范學院學報，2008，(3)：9-106 周立仁，行列式在初等數學中的幾個應用 j，湖南理工學院學報，2008，(4