實(shí)變函數(shù)論試題

1、實(shí)變函數(shù)期末考試卷姓名班級(jí)座號(hào) 成績(jī)一、判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或“×”，共8×3=24分）1設(shè)是可測(cè)集，是上幾乎處處為零的實(shí)函數(shù)，則在上可測(cè)。 （ ）2設(shè)是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則必在上勒貝格可積。 （ ）3設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，則一定存在。 （ ）4設(shè)是中的可測(cè)集，為上的可測(cè)函數(shù)，若，則在上幾乎處處為零。 （ ）5設(shè)是上的單調(diào)函數(shù)，則是上的可測(cè)函數(shù)。 （ ）6. 設(shè)和都是可測(cè)集，是和上的可測(cè)函數(shù)，則不一定是上的可測(cè)函數(shù)。 （ ） 7. 設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，且存在，則和至少有一個(gè)在上可積。 （ ）8. 設(shè) , 則在上勒貝格可積，但不是黎曼可積的。

2、（ ）二、 填空題（每空2分，共9×2=18分）1.設(shè) ，則稱 ，。. 設(shè)是康托集，則 ；任意可數(shù)集合的外測(cè)度為 。3設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有是 ，則稱是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù).4設(shè)函數(shù)列為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)列，且在上依測(cè)度收斂于，則存在的子列，使得在上 .5設(shè),是上的可測(cè)函數(shù)列，是上的實(shí)函數(shù), 若在上幾乎處處收斂于，則在上 收斂于.6設(shè)在上黎曼可積，則在上勒貝格可積，且它們的積分值 7設(shè),都在上勒貝格可積，且?guī)缀跆幪幭嗟?則它們?cè)谏侠肇惛穹e分值 三、敘述題 (3小題 , 每題6分，共3×6=18分)1) 依測(cè)度收斂2) 可測(cè)分劃3) lebesgue基本

3、定理四、簡(jiǎn)答題(2小題 , 每題8分，共2×8=16分)1、可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系？2、設(shè)是中的不可測(cè)集，令問在上是否可測(cè)？是否可測(cè)？為什么？五、證明題 (共3小題 , 每題8分，共3×8=24分)1、設(shè)是可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)。若在上可積，則在上可積。2、從 推證3、 實(shí)變函數(shù)期中考試試卷題型判斷題填空題敘述題證明題總分分值26321824100得分一、 判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或“×”。共13小題，每題2分，共13×2=26分）1、。 （ ）2、可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并集是可數(shù)集。 （ ）3、若，且，則。 （ ）4、若，則，反之亦然

4、。 （ ）5、閉集中的每個(gè)點(diǎn)都是聚點(diǎn)。 （ ）6、和都是閉集。 （ ）7、是完備集是無(wú)孤立點(diǎn)的閉集。 （ ）8、設(shè)，則。 （ ）9、和都是可測(cè)集，且，。 （ ）10、若，則必為無(wú)界集。 （ ）11、設(shè)為中的區(qū)間，則。 （ ）12、若是無(wú)限集，且，則是可數(shù)集。 （ ）13、在中必存在測(cè)度為零的無(wú)界集。 （ ）二、 填空題（每空2分，共16×2=32分）1、設(shè)，是上的全部有理點(diǎn)，則 ；的內(nèi)部 ； 。2、設(shè)是康托（三分）集，則為 集；為 集；為 集， ； 。3、若是可數(shù)集，則 ，為 集， 。4、若為可測(cè)集，則 ；若為兩兩不相交的可測(cè)集，則 。5、設(shè)為可測(cè)集，則 ；若還有，則 。6、設(shè)為可測(cè)

5、集，且，則 。三、敘述題 (共3小題 , 每題6分，共3×6=18分)1、伯恩斯坦（bernstein）定理2、中開集的結(jié)構(gòu)定理3、中的集合是lebesgue可測(cè)集的卡氏定義（即caratheodory定義）及其等價(jià)形式。四、證明題 (共4小題 , 每題6分，共4×6=24分)1、證明集p是一閉集2、證明：若，則為可測(cè)集。3、證明：有理數(shù)集為可測(cè)集，且。4、證明：對(duì)任意集合，恒有型集合，使實(shí)變函數(shù)論試卷三一、 判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“對(duì)”或“錯(cuò)”。共5小題，每題3分，共5×3=15分）1、可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并集是可數(shù)集。 （ ）2、可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)

6、必lebesgue可積。 （ ）3、上全體lebesgue可測(cè)集所組成的集類m具有連續(xù)勢(shì)。 （ ）4、非空開集的lebesgue測(cè)度必大于零。 （ ） 5、若（，）和都為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，且，于，則，。 （ ）二、敘述題 (共5小題 , 每題3分，共5×3 =15分)1、單調(diào)收斂定理（即levi定理）2、中開集的結(jié)構(gòu)定理3、中的集合是lebesgue可測(cè)集的卡氏定義（即c.caratheodory定義）4、f.riesz定理（黎斯定理）5、有界閉區(qū)間上絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的定義三、計(jì)算題（共1題，共1×10 = 10分）設(shè)為中的零測(cè)集， ，求 。四、解答題（共6小題，每題10分，

7、共6×10 = 60分）1、設(shè)為中的集，證明：必存在中的一列單調(diào)遞增的閉集，使得。2、證明：中互不相交的開區(qū)間所構(gòu)成的集族必為至多可數(shù)集。3、設(shè)是上的實(shí)值函數(shù)，且在上的任一有限區(qū)間上都可測(cè)，則在上也可測(cè)。4、用fubini定理證明：若為上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則。5、設(shè)是中的可測(cè)集，若（1），其中為可測(cè)集，；（2），都是上的可測(cè)函數(shù)，且，于；（3）存在上的lebesgue可積函數(shù)，使得， 。證明：在上也lebesgue可積，且 。6、設(shè)是lebesgue可測(cè)集，都是上的lebesgue可積函數(shù)，若，且，證明：（1）在上非負(fù)可測(cè)；（2）用fatou引理證明：。實(shí)變函數(shù)論試卷四一、判斷題（判斷

8、正確、錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“對(duì)”或“錯(cuò)”。 共5小題，每題3分，共5×3=15分）1、中全體子集構(gòu)成一個(gè)代數(shù)。（ ） 2、若為lebesgue可測(cè)集上的lebesgue可測(cè)函數(shù)，且在上有積分值（即存在），則在上必lebesgue可積。 （ ） 3、上的cantor（三分）集具有連續(xù)勢(shì)。 （ ） 4、可數(shù)個(gè)集的交集不一定是集。 （ ） 5、若（，）和都為可測(cè)集上的可測(cè)函數(shù)，且，則，于。（ ） 二、敘述題 (共5小題 , 每題3分，共5×3 =15分)1、fatou引理（法都引理）2、非負(fù)可測(cè)函數(shù)的fubini定理3、lebesgue控制收斂定理4、egoroff定理（葉果洛夫定

9、理）5、有界閉區(qū)間上的有界變差函數(shù)的定義三、計(jì)算題（共1題，共1×10 = 10分） 設(shè)為中的零測(cè)集， ，求 。四、解答題（共6小題，每題10分，共6×10 = 60分）1、設(shè)為中的有界集，證明：必存在中的一列單調(diào)遞減的有界開集，使得。2、設(shè)是有界閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，證明：在上的不連續(xù)點(diǎn)所組成的集為至多可數(shù)集。3、設(shè)是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則是上的lebesgue可測(cè)函數(shù)。4、用fubini定理證明：若為上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則。5、設(shè)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，滿足，在上黎曼可積（即存在），若在上的廣義黎曼積分絕對(duì)收斂（即絕對(duì)收斂），證明：在上lebesgue可積，且 。6、設(shè)是leb

10、esgue可測(cè)集，都是上的lebesgue可積函數(shù)，若 ，且，證明：（1）在上非負(fù)可測(cè)；（2）用fatou引理證明：。實(shí)變函數(shù)論試卷五一、判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或“×”。 共5小題，每題3分，共5×3=15分）1、設(shè) 則集合是可數(shù)集合。（ ） 2、cantor 集是中無(wú)處稠密的完備集合。 （ ） 3、設(shè)是可測(cè)集，若對(duì)任何有理數(shù)可測(cè)，則在上可測(cè)。 4、若是可測(cè)集，則對(duì)任何是上的可測(cè)集合。（ ） 5、若是上的有界變差函數(shù)，則。 （ ） 二、敘述題 (共5小題 , 每題3分，共5×3 =15分)1、bernstein 關(guān)于兩集合對(duì)等的定理2、中開集的構(gòu)

11、造定理3、lusin定理4、fubini定理三、計(jì)算題（共1題，共1×10 = 10分）設(shè)為全體有理數(shù)所成的集合，在上函數(shù)定義如下： 求 。四、解答題（共6小題，每題10分，共6×10 = 60分）1、設(shè)是集且，證明：必存在一列單調(diào)下降包含于的開集，使得。2、設(shè)是中的測(cè)度有限的可測(cè)集，若幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列在上幾乎處處收斂于a.e.于，試用egoroff定理證明存在一列可測(cè)集合使得在每個(gè)上一致收斂于，而。3、設(shè)都是可測(cè)集上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)且，用表示集合的特征函數(shù)（示性函數(shù)）。證明函數(shù)是上的可測(cè)函數(shù)。4、設(shè)是中的可測(cè)集，是上的lebesgue可積函數(shù)。證明：（1）若于，則存

12、在上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列使得；（2）存在上的簡(jiǎn)單函數(shù)列使得。5、設(shè)，證明若在上，則。6、設(shè)函數(shù)是中的有界可測(cè)集上的lebesgue可積函數(shù)，且。證明：（1）是上的連續(xù)函數(shù)，其中是以原點(diǎn)為中心以為半徑的開球。（2）存在可測(cè)集，使得且實(shí)變函數(shù)論試卷六一、判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或“×”。共5小題，每題3分，共5×3=15分）1、設(shè) 則集合是可數(shù)集合。（） 2、cantor 集是中稠密的完備集合。（） 3、設(shè)是可測(cè)集，若對(duì)任何有理數(shù)可測(cè)，則在上可測(cè)。 4、若是可測(cè)集，則對(duì)任何是上的可測(cè)集合。 5、若是上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，則。 二、敘述題 (共5小題 , 每題3分，共5&

13、#215;3 =15分)1、bernstein 關(guān)于兩集合對(duì)等的定理 2、中開集的構(gòu)造定理3、lusin定理4、單調(diào)收斂定理（即levi定理）5、有界閉區(qū)間上有界變差函數(shù)的定義三、計(jì)算題（共1題，共1×10 = 10分）設(shè)為全體有理數(shù)所成的集合，在上函數(shù)定義如下： 求 。四、解答題（共6小題，每題10分，共6×10 = 60分）1設(shè)為中的集，證明：必存在中的一列單調(diào)遞增的閉集，使得。2、設(shè)是中的測(cè)度有限的可測(cè)集，若幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)列在上幾乎處處收斂于a.e.于，證明存在一列可測(cè)集合使得在每個(gè)上一致收斂于，而。3、證明。4、設(shè)是中的可測(cè)集，是上的一列非負(fù)可測(cè)函數(shù)，若于。

14、試證明。5、設(shè)是可測(cè)集，是e上幾乎處處取有限值的可測(cè)函數(shù)，試用fubini定理證明：。6、設(shè)是中的可測(cè)集，都是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，于且存在不依賴于的常數(shù)，使得。證明：在上也lebesgue可積，且 。實(shí)變函數(shù)論試卷七一、判定下列命題正確與否，簡(jiǎn)明理由(對(duì)正確者予以證明，對(duì)錯(cuò)誤者舉處反例)（15分，每小題3分）1. 非可數(shù)的無(wú)限集為c勢(shì)集 2. 開集的余集為閉集。 3. 若me=0，則e為可數(shù)集 4. 若 |f(x)| 在e上可測(cè)，則f(x) 在e上可測(cè) 5. 若f(x) 在e上有界可測(cè)，則f(x) 在e上可積 二、將正確答案填在空格內(nèi)（共8分，每小題2分）1. _可數(shù)集之并是可數(shù)集。a. 任意多

15、個(gè) b. c勢(shì)個(gè)? c. 無(wú)窮多個(gè) d 至多可數(shù)個(gè) 2. _閉集之并交是閉集。a. 任意多個(gè) b. 有限個(gè) c. 無(wú)窮多個(gè) d 至多可數(shù)個(gè) 3. 可數(shù)個(gè)開集之交是_a開集 b閉集 c f型集 d g型集 4. 若 |f| 在e上可積，則_a. f在e上可積 b. f 在e上可測(cè) c. f 在e上有界 d. f在e上幾乎處處有限 三、敘述有界變差函數(shù)定義、fatou引理、lebesgue控制收斂定理（共9分，每小題3分）。四、證明下列集合等式（共6分，每小題3分）：1. s-s=(s-s) 2. efa=ef>a- 五、證明：有限個(gè)開集之交是開集。舉例說(shuō)明無(wú)限個(gè)開集之交不一定是開集。（8分

16、）六、證明：設(shè)f(x)，f(x)為可積函數(shù)列，f(x)f(x) a.e于e，且|f|d|f|d，則對(duì)任意可測(cè)子集ee有? |f|d|f|d（7分）七、計(jì)算下列各題：（每小題5分，共15分）1. sin(nx)d=? 2. 設(shè)f(x)=求d=? 3. 設(shè)f(x)=   ?n=2,3, ?求d=? 實(shí)變函數(shù)論試卷八一、填空題（每題3分，共39分）1.設(shè),，則 =_.2.欲使，只須令_，這里為正實(shí)數(shù)。3. 的閉包與內(nèi)部的對(duì)偶關(guān)系：_；_4. 無(wú)限個(gè)開集的交未必是開集，試寫出一個(gè)例子:_.5.設(shè)，,在連續(xù) _.6.設(shè),外測(cè)度定義為_7.設(shè)可測(cè)，則對(duì),閉集，使得_.8.半開閉區(qū)間可寫

17、成_，故它是型集，又可寫成_，故它也是型集。9._，_.10.設(shè)在上,，則可測(cè)函數(shù)與滿足:_11. 當(dāng)時(shí)，葉果洛夫定理不成立試寫出一個(gè)例子:_.12.設(shè)在可測(cè)集上可測(cè)，定義，其中為_，_13. 根據(jù)定理，設(shè)是可測(cè)集上非負(fù)單增可測(cè)函數(shù)列, 則_.二、證明題（前五題每題10分，第六題11分，共61分）1、 證明：若集合的所有子集構(gòu)成的集類為，則2、設(shè)既是開集又是閉集，應(yīng)用開集構(gòu)造定理證明： 或者.3、設(shè)為可測(cè)集,為任意集，應(yīng)用卡氏定義證明: .4、證明魯津定理的逆定理：設(shè)是定義在可測(cè)集上的實(shí)函數(shù)，若對(duì)，閉子集，使得，且在上連續(xù)，則必是上的可測(cè)函數(shù)。5、設(shè),是上有限的可測(cè)函數(shù)列，應(yīng)用控制收斂定理證明

18、：若于，則.6、設(shè)在集上等于,而在的長(zhǎng)度為的余區(qū)間上等于,證明在上可積，并求.實(shí)變函數(shù)論試卷九一.（10分）證明，若，則點(diǎn)集是閉集 . 二 (10分) . 對(duì)于集列,證明. 三(10分) . 設(shè) 可測(cè), 且 ,證明可測(cè)并求 . 四(10分) . 證明若可測(cè), 則開集,使 .五(10分). 記為 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)族, 則函數(shù) 是上的可測(cè)函數(shù). 六. （10分). 設(shè) 以及 都是上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù). 若對(duì)任給的, 存在的可測(cè)子集, 使得在上一致收斂于, 證明 在上幾乎處處收斂于.七. (10分) . 設(shè) , 問是否r-可積？是否l-可積? 如果是, 求出積分值.八(10分). 設(shè) ,證明九(

19、10分).設(shè)是上非負(fù)可測(cè)函數(shù).若存在, , 使得極限存在, 試證明在上可積.十. (10分) . 設(shè). 若對(duì)任給,在上絕對(duì)連續(xù)，且在處連續(xù)，則在上絕對(duì)連續(xù).實(shí)變函數(shù)論試卷十一.（10分）. 已知 , 求 的上極限集與下極限集. 二. (10分) . 對(duì)于集列, 記, 證明, . 三. (10分) . 設(shè) , 若 , 試證明 . 四 (10分) . 設(shè)是 中的可測(cè)集, 且有,證明 . . 五. (10分). 設(shè) 定義在可測(cè)集 上, 若 在上可測(cè), 且是零測(cè)度集, 則 在上可測(cè).六 (10分) . 設(shè) 在 上依測(cè)度收斂于, 在上 幾乎處處等于. 證明 在 上依測(cè)度收斂于.七.(10分) . .設(shè),

20、 問是否 r-可積？是否l-可積? 如果可積, 求出積分值.八. (10分). 設(shè) , 試證明函數(shù) 在上連續(xù).九 (10分). 計(jì)算十(10分). 設(shè)在上非負(fù)可積, 且存在. 試證明積分 存在.實(shí)變函數(shù)論試卷二 一、判斷題（判斷正確、錯(cuò)誤，并改正。共5題，共5×3=15分） 1、無(wú)限集中存在基數(shù)最大的集合，也存在基數(shù)最小的集合。 ( ) 2、存在閉集使其余集仍為閉集。 （ ） 3、若是可測(cè)集，是的可測(cè)子集，則 。 ( ) 4、若是可測(cè)集，是上的實(shí)函數(shù)，則在上可測(cè)的充要條件是：存在 實(shí)數(shù)，使是可測(cè)集。 （ ） 5、若是可測(cè)集，是上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，則一定存在。 ( ) 二、敘述題（共5題，共5×3=15分） 1、伯恩斯坦定理。 2、伯恩斯坦定理。 3、可測(cè)集與開集的關(guān)系。 4、葉果洛夫定理的逆定理。 5、在可