二面角的向量求法

1、漫談向量法求解二面角/臺(tái)山華僑中學(xué) 梁劍平向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應(yīng)用更為直接，用向量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問(wèn)題。隨著新教材中向量工具的引入，立體幾何的解題更加靈活多樣，這為那些空間想象能力較差的同學(xué)提供了機(jī)遇。利用平面的法向量幾乎可以解決所有的立幾計(jì)算和一些證明的問(wèn)題，尤其在求點(diǎn)面距離、空間的角（斜線與平面所成的角和二面角）時(shí)，法向量有著它獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)，以下舉例全面剖析在立幾中如何用法向量求二面角。一. 利用法向量求二面角的大小的原理:設(shè) 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 的夾角

2、為，則有（圖1）或 （圖2）ll圖1 圖2 DABCA1B1C1D1圖3GEFxyz基本結(jié)論 構(gòu)成二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角等于這個(gè)二面角的平面角二. 如何求平面的一個(gè)法向量:例題1: 如圖3，在正方體ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分別為AA1、AB、BC的中點(diǎn)，求平面GEF的法向量。推薦精選略解：以D為原點(diǎn)建立右手空間直角坐標(biāo)系，則E(1，,0) 、F(，1,0) 、G(1,0，)由此得:設(shè)平面的法向量為由及可得令y=1取平面的一個(gè)法向量為評(píng)析 因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄坑袩o(wú)數(shù)個(gè)，方向可上可下，?？纱罂尚。覀冎灰蟪銎矫娴哪骋粋€(gè)法向量（教簡(jiǎn)單的）即可。三. 法向量的應(yīng)用舉例:

3、例題4. 在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，求此時(shí)二面角AA1DQ的大小O（A）BA1C1B1D1DCQzyx圖4解 如圖2，建立空間直角坐標(biāo)系依題意：A1（0，0，2），D（0，a，0）Q（2，2，0），D（0，4，0），面AA1D的法向量設(shè)面A1DQ的法向量，則 推薦精選令a1=1，則， 二面角的平面角為銳角二面角AA1DQ的大小為評(píng)析（1）用法向量的方法處理二面角的問(wèn)題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問(wèn)題時(shí)的三步曲：“找證求”直接簡(jiǎn)化成了一步曲：“計(jì)算”，這在一定程度上降低了學(xué)生的空間想象能力，達(dá)到不用作圖就可以直接計(jì)算的目的,更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力

4、的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神。（2）此法在處理二面角問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)遇到二面角的具體大小問(wèn)題，如本題中若令，則，二面角AA1DQ的大小 是的補(bǔ)角。所以在計(jì)算之前不妨先依題意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。 AzyxDCBS圖5例5 如圖5，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的大小。解： 以A為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則S（0，0，）， A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（，0，0），顯然平面SBA的一個(gè)法向量為=(1，0

5、，0)，推薦精選設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為=(x，y，z)，則平面SCD 則評(píng)析：（1）因?yàn)樗蟮亩娼堑慕痪€在圖中較難作出，所以用傳統(tǒng)的方法求二面角比較困難，向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢(shì)；（2）但判斷側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的平面角是銳角還是鈍角時(shí)，圖形的直觀性就不明顯了，當(dāng)不能很好地判斷所求的二面角的類型時(shí),以下給出解決方案。四. 當(dāng)直觀很難判斷二面角是銳角還是鈍角時(shí), 通過(guò)判斷法向量的方向來(lái)求解二面角.原理 首先我們?cè)僦匦抡J(rèn)識(shí)一下法向量夾角和二面角的關(guān)系：如上圖6所示，當(dāng)我們把法向量控制成“一進(jìn)一出”，圖6此時(shí)兩法向量在三個(gè)坐標(biāo)平面的投影也可以看成是“一進(jìn)一出”，這時(shí)不難得出

6、的夾角就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一個(gè)平面的法向量方向是我們想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？oABC圖7如圖7所示：平面ABC的法向量若要法向量的方向“向上”,可設(shè)或,其中>0；若要法向量的方向“向前”,可設(shè)或,其中；若要法向量的方向“向右”，可設(shè)或,其中所以，只要我們判斷兩個(gè)法向量的方向是“一進(jìn)一出”，那么所求的二面角的平面角就等推薦精選于兩法向量的夾角，如果是“同進(jìn)同出”， 那么所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角，掌握了這點(diǎn)，那么用法向量求二面角就可以做到隨心所欲。ABCD例題6 改編自2007年福建高考題如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的大??；解：（）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系xzABCDOFy 解略（）設(shè)平面的法向量為，令，得平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，推薦精選令，得平面的一個(gè)法向量所求的二面角的平面角是評(píng)析 上題中的兩個(gè)平面的法向量是符合“一進(jìn)一出”的，所以它們的夾角就等于所求的二面角的大小?？梢?jiàn)通過(guò)判斷法向量的方向，就可以解決直觀不能判斷二面角的銳或鈍的情況。將向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)后，既豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓