工作論文-2016年11月14日-模型選擇方法(1)

1、基于全局敏感度分析方法的VaR-FPSM模型的不確定性分析摘要：為了定量討論VaR-FPSM模型中各個參數(shù)對組合選擇結果的影響及其不確定性，本文在Matlab環(huán)境下對模型進行了重新的組合，利用Sobol全局敏感度分析方法對影響組合選擇的重要參數(shù)進行了全局敏感度研究，對模型中各項輸入的變化對參數(shù)敏感性的影響進行了討論。結果顯示：基于Sobol方法的全局敏感度分析能夠篩選出模型中對選擇變化十分敏感的參數(shù)，在實現(xiàn)模型參數(shù)的本地化的過程中有十分重要的潛在應用。關鍵詞：模糊變量；全局敏感度分析；粒子群優(yōu)化算法；模擬退火算法；模糊VaR一、引言 隨著全球經濟的迅速發(fā)展和金融產品的不斷開發(fā)，金融市場日益多樣

2、化，金融產品價格的不確定性及波動性也更加劇烈，使得投資者和投資機構面臨更大的風險.風險管理成為廣大投資機構以及個人投資者廣泛關注的問題.受世界性經濟危機的影響，美國最先于1930年代采用科學的方法進行風險管理，之后風險管理逐步成為全球性的研究課題.特別是以均值方差模型為代表的投資組合選擇理論成為風險管理的重要組成部分，同時也是現(xiàn)代金融投資理論的基礎.投資組合選擇理論被定義為最優(yōu)風險管理的量化分析，主要研究如何將資金分配到不同資產之中以獲得超額收益同時規(guī)避風險.Markowitz在1952年提出的均值方差(Mean-variance, MV)投資模型是現(xiàn)代投資組合理論誕生的標志，同時也是投資組合

3、量化分析階段的開始.以均值方差理論為基礎，夏普等學者提出了著名的資本資產定價模型(Capital Asset Pricing Model CAPM)。該模型闡述了市場均衡價格和均衡狀態(tài)的形成，為資產收益的分析和預測提供依據(jù).此后，F(xiàn)ama提出有效市場理論，認為資產的市場價格能夠充分及反映全部有價值的信息.資本資產定價模型和有效市場理論是現(xiàn)代投資理論的兩大基石，不足的是這兩大理論都需要嚴格的假設條件1976年，Ross提出套利定價模型，該理論認為風險資產的收益受多方面因素的影響，對收益的描述更為準確，其優(yōu)點是不再需要嚴格的假設條件，從而具有更廣泛的應用性.這些理論模型的發(fā)展，以及后來基于不同視角

4、的風險度量方法的提出，使得投資組合理論逐漸成為現(xiàn)代金融學里的一個獨立的學科分支.近年來，為了對投資組合進行選擇上的優(yōu)化，研究人員已經對各種風險度量方法進行了研究和實驗。其中，Markowitz是風險度量方法研究的早期實踐者之一。在他的開創(chuàng)性報告“資產的選擇”之中，Markowitz使用單周期方差作為投資組合優(yōu)化的風險度量工具。從那時起，各種風險度量方法層出不窮?！帮L險價值”（VaR）是其中最為著名，也是應用最為廣泛的一種。一項投資的風險價值（VaR）是一個給定的置信水平的最大損失的可能性?；蛘哒f，它是指在一個指定的時間范圍內,一個金融資產的投資組合造成一定損失的概率。事實上，“風險價值”這個術

5、語是用來衡量風險和度量風險的，兩者是不同的概念。有關它們之間差異的詳細信息可以閱讀1和2。在隨機投資組合選擇模型（PSMs）中，風險價值（VaR）被用來作為一個風險度量方法。在文獻13中，Jorion給VaR下了定義，認為它是在給定的置信區(qū)間下，在正常市場條件下所預期的最大損失。并且他認為，在投資組合選擇中，風險價值（VaR）可以作為風險度量；此外，他還介紹了風險價值（VaR）在隨機模型中的變量的計算。Garcia專注于分散的投資組合管理系統(tǒng)，這個系統(tǒng)正廣泛存在于金融機構，并且他使用風險價值（VaR）作為風險度量方法和風險控制工具。Huang12為了在部分新息可用的情況下解決穩(wěn)健的投資組合選擇

6、問題，如投資組合收益的退出時間分布和條件分布，擴展了最壞情況下的VaR方法，并且制定了相應問題的半定程序。他通過使用真實的市場數(shù)據(jù)，提出了一些數(shù)值結果，以此證明了風險價值（VaR）在投資組合選擇問題中的實用性和有效性。傳統(tǒng)組合選擇模型中的安全收益值是由精確的歷史數(shù)據(jù)所決定的。然而，這樣的精確的數(shù)據(jù)并不總是可測的和可用的。隨著股票市場的發(fā)展，市場的規(guī)模和復雜程度都在不斷的增強，很難用隨機數(shù)值預測證券收益率。在證券市場復雜化的情況下，要處理這種不精確的不確定性，更合理的方法是把安全收益作為不精確的分布變量來處理，也就是用模糊變量來處理不確定性的問題。為了建立模糊投資組合選擇系統(tǒng)模型（FPSMs），

7、各種風險度量技術被大量使用，如均值、方差、均方差和平均熵。Watada 21 將模糊理論引入到隨機投資組合選擇問題之中。他在模糊的環(huán)境中對馬科維茨的均值-方差概念進了擴展?；谀：兞堪敕讲畹母拍?，Huang5提出了兩個模糊平均半方差的投資組合選擇模型（PSMs），并且提出了一種基于模糊模擬的遺傳算法（GA）的解決方案。Huang 4 還構建了模糊投資組合選擇的均值-熵模型，其中的熵值是風險測度的重要指標：熵值越小，被選擇的投資組合的安全性就越高。在4和5中，投資組合選擇的問題通過遺傳算法（GA）得到解決。前面所提到的模型通過最小化方差或最小化熵尋求最優(yōu)解，因此能夠最大限度地提高了投資組合的穩(wěn)

8、定性。然而，這些評價方法沒有給予未來損失的風險以足夠的重視，這是目前組合選擇模型中的重要問題所在，然而在實際的市場交易中未來損失的風險對于投資者來說確實至關重要的。這是因為在模糊環(huán)境中，傳統(tǒng)的隨機風險價值（VaR）理論不適用于投資組合選擇問題。Wang等人構造了基于模糊VaR的投資組合選擇模型，模型成功的引入了對未來風險的模糊度量，成功的在組合選擇的模型中考慮了未來風險的因素。投資組合選擇模型研究中的不確定性問題是當前金融投資理論研究中的重要問題之一。金融資本市場正在趨向于復雜的過程之中，在投資組合選擇模型中存在著眾多的可調整參數(shù)導致了組合選擇結果的不確定性問題，尤其是可能存在所謂的“異同參數(shù)

9、”問題。眾多的因素可能導致優(yōu)化結果存在問題，多種不同的參數(shù)組合將均能夠得到最優(yōu)解。在這種情況下，不能通過對模型參數(shù)的優(yōu)化獲得組合選擇的最優(yōu)解，以此規(guī)避可能存在的風險。為了識別引起選擇模型不確定性的主要參數(shù)，本文擬研究基于Sobol方法的全局敏感度分析，對隨機投資組合選擇模型的主要參數(shù)進行識別，分析輸出對輸入條件改變的敏感性，結果證明基于Sobol方法的全局敏感度分析方法對參數(shù)的篩選有重要的應用。二、基于模糊風險價值（VaR）的隨機投資組合選擇方法 在考察了組合未來的不確定性的基礎之上,我們使用了模糊變量,來描述下一期可能的收益模糊變量是描述未來模糊不確定性的主要工具。在介紹模糊風險價值（VaR

10、）的概念之前，我們簡要的回顧一些關于模糊變量的基本事實。 假定是一個模糊變量，其隸屬度函數(shù)是，并且r是一個實數(shù)，其可信度函數(shù)是：Crr=12Posr+Necr其中，Pos·和Nec·概率測度論中的可能性和必要性測度，他們的定義如下：Posr=sup(t)trNecr=1-supt可信性測度是一個自對偶函數(shù)。假設是一種證券的模糊收益，Cr5=0.8,那么就代表該證券未來收益超過5的可信度有0.8。假設是一個投資組合的最大模糊損失變量。那么在1-的置信水平下，的風險價值如下所示：VaR1-=sup|Cr()上述公式說明，在1-的置信水平下投資組合的最大損失就是。 在眾多的模糊組

11、合選擇模型當中，最大的區(qū)別應當是風險度量方法。不同的技術對組合選擇有不同的標準。在一個模糊的環(huán)境中，沒有模型能夠準確的評價一個備選組合的潛在損失。因此，通常的處理辦法只能是在最壞的情況下實現(xiàn)對預期的收益和最大的可能損失的計算。所以，基于風險價值（VaR）理論的模糊組合選擇策略對投資者有十分重要的實踐價值，不僅能夠據(jù)此選擇組合，而且能夠計算組合的潛在風險。 在過去的組合選擇模型當中，優(yōu)化的目標是在給定的風險水平上對收益的最大化問題，或者說是在給定的收益水平上的風險最小化問題。因此，可以寫成如下的形式：maxEx11+x22+x33+xnns.t.Vx11+x22+x33+xnnrx1+x2+xn

12、=1xi0,i=1,2,3,n或者minVx11+x22+x33+xnns.t.Vx11+x22+x33+xnnRx1+x2+xn=1xi0,i=1,2,3,n 其中，r是給定水平的風險，R是給定水平的收益率，Vx11+x22+x33+xnn是備選組合的均值-方差。如果我們依次更換風險度量的方式，那么新的組合篩選模型就出現(xiàn)了。在本文中，我們保持了馬克維茨選擇策略，然而，與此同時，模糊風險價值（VaR）成為本文中的風險度量方法。 假設pi'是收盤價的估計值，在未來，pi是現(xiàn)在的收盤價，di是股票i在一段未定義的時間段內的股利，那么證券i的收益率被一個模糊變量i所定義i=di+pi'

13、;-pipi 本文的模型中有兩個基本的假設。一些風險厭惡的交易者將安全性作為收益最大化的前提，他們僅僅能夠在風險價值（VaR）的值很小時才能接受組合。因此對于一個固定的風險水平，他們的組合選擇模型是：maxEx11+x22+x33+xnns.t.VaR1-=sup|Cr()Sx1+x2+xn=1xi0,i=1,2,3,n VaR1-表示在1-置信水平下的組合最大損失，S是一個投資者愿意接受的最大損失。Ex11+x22+x33+xnn是期望收益。是損失函數(shù)，=x11+x22+x33+xnn是損失函數(shù)的具體形式 對于其他的風險偏好者來說，期望收益比風險水平更加重要，他們認為在進行組合選擇時首先應當

14、考慮期望收益水平，其次才要考慮風險水平。minVaR1-=sup|Cr()Ex11+x22+x33+xnnRx1+x2+xn=1xi0,i=1,2,3,nVaR1-表示在1-置信水平下的組合最大損失，R是一個投資者愿意接受的最小收益。 粒子群算法是文獻15最初提出的，粒子群算法使用大量的搜索代理在一定的空間內對問題進行優(yōu)化，尋求最優(yōu)解。如果一個粒子能夠產出更優(yōu)的解，那么其他粒子將向這個粒子靠近。粒子群算法已經被廣泛的使用，并且證明了他的有效性。 廣為人知的是，粒子群算法能夠使用比其他優(yōu)化算法更少的迭代次數(shù)獲得最優(yōu)解，但是存在嚴峻的局部最優(yōu)問題。特別的，當備選組合中包含數(shù)量較多的證券的情況下，粒

15、子群算法的這一缺陷就更加的明顯。為了避免陷入局部最優(yōu)解當中，我們對原始的粒子群算法進行了改進。具體的說是改變了ES和PRP相關的規(guī)則。 如果一個優(yōu)化解在數(shù)次迭代之后不能夠被更新，那么我們可以認為它陷入了局部最優(yōu)當中。此時，所有的例子的速度將被ES所調整。如果ES足夠大，所有的粒子將都能夠跳出當前的循環(huán)，在其他的區(qū)域重新開始搜索。 在粒子速度被ES調整之后，所有的粒子將重新隨機分布于搜索空間之中。對于大多數(shù)的選擇問題，搜索空間需要一個約束條件。比如，在我們的選擇問題當中，每個位置值都要在0和1之間，那么重新開始搜索的位置要在邊界之內才是有效的位置。我們將通過修改速度不斷的初始化PRP，直到粒子到

16、達有效的位置重新開始搜索為止。為了闡述上述組合選擇方法，我們研究了下面的數(shù)值案例，其中包含了針對風險厭惡者的模型和針對風險偏好者的模型。最后，使用改進的粒子群算法和遺傳算法對模型進行了仿真和比較。三、基于Sobol方法的全局敏感度分析方法Sobol方法是一種主要得全局敏感度分析方法，是一種基于方差分解的評估方法?，F(xiàn)假設k是將函數(shù)f(x)分解為遞增項之和：fx1,x2,xk=f0+i=1kfi(xi)+1ijkfi,j(xi,xj)+,+f1,2,k(x1,x2,xk)Sobol提出了上述的分解形式，并且證明了該分解形式的唯一性，同時也驗證了該分解形式的每一項都能夠通過求解下列積分進行。其中，函

17、數(shù)的總方差有下列的表現(xiàn)形式。D=Kf2xdx-f02而函數(shù)的偏方差可以通過計算分解式的結果得到。Di1,i2,is=0101fi1,i2,is2xi1,xi2,xisdxi1dxis其中，1itisk且s=1,2,k。敏感度系數(shù)的定義如下所示：Si1,i2,is=Di1,i2,isDSi是xi的一階敏感性系數(shù)，一階敏感度系數(shù)可以度量xi在函數(shù)中的影響和重要程度。Si1,i2,is是對s個參數(shù)共同作用的條件下各因素的綜合影響的一種度量。那么，對于一個包含s個參數(shù)的模型來說，變量xi1的總敏感性指數(shù)是TSxi1=Si1+Si1,i2+Si1,i2,is以往的研究中，對模型可調參數(shù)的敏感性度量的方法

18、主要是有兩種，（1）一種是通過觀察參數(shù)的變化對模型輸出值的直接影響；（2）另一種是通過對控制參數(shù)輸入值的變化引起的似然函數(shù)值的變化來反應參數(shù)的敏感性。本文將使用第二種方式來考察參數(shù)的敏感性，具體的說將使用平均相對誤差及NS系數(shù)來考察模擬值和觀測值之間的差距。Ens=1-1n(Qob-Qsim)21n(Qob-Qoba)2其中，Qob是觀測值，Qsim是模擬值，Qoba是觀測值的平均值。當觀測值與模擬值相等時，納什系數(shù)等于1；當納什系數(shù)小于0時，說明模型的擬合結果時無效的。四、基于改進的粒子群算法的仿真結果 假設存在30只收益相互獨立的有價證券，他們的收益是三角模糊變量或者服從高斯分布的模糊數(shù)

19、由于風險測度的方法十分的不同，不同的方法在策略選擇上的結果也不盡相同。因此，對選擇結果額比較不是很有價值。然而，使投資者清楚的理解風險測度的目的是十分有必要的。傳統(tǒng)的風險測度方法不能識別包含在數(shù)值中的潛在風險。 基于前述的分析，現(xiàn)存的模糊組合選擇方法對未來的風險測度沒有敏感性。本文的模型中，一方面投資者可以確定置信水平和期望收益，另一方面所有的改變都能直接的反映在模糊風險價值（VaR）的變化當中。因此，從這個角度分析，本文的方法能夠提供更加有用的信息，能夠在更大的程度上幫助投資者進行決策。 在以往的研究當中，已經有許多方法能夠用于求解模糊組合優(yōu)化問題，其中包含遺傳算法和模擬退火算法等。在本文中

20、，我們對比了基于改進的粒子群算法、遺傳算法和模擬退火算法的優(yōu)化結果。 首先，我們將期望值的范圍限定在（0.5,0.8）之間，同時我們比較了不同類型投資者的優(yōu)化結果。下圖展示了200次迭代之后各個優(yōu)化算法的優(yōu)化效果對比情況。 在組合優(yōu)化和選擇的問題當中，投資者需要在一系列的證券當中選擇一個組合。當期望值設定在很高的水平上時，選擇的范圍受到了限制，組合的數(shù)量大幅度下降。因此，風險自動的在這種情況之下出現(xiàn)了上升。 在上圖當中，我們在（0.5,0.8）的區(qū)間之中提升期望值，投資的風險出現(xiàn)了大幅度的上升。這驗證了傳統(tǒng)的投資理論中“高風險，高收益”的經典論斷。 同時，本文中的改進的粒子群算法在搜索最優(yōu)解的

21、過程中表現(xiàn)出更好的性能。當期望值小于0.65時，可選的組合框架范圍很大，改進的粒子群算法在深度搜索方面表現(xiàn)出了比遺傳算法和模擬退火算法更好的性能。當期望值大于0.65時，可選的組合框架逐步的減少，有高預期的證券成為了主要的考察對象。因此，當期望值上升時，不同方法計算的風險價值（VaR）值的范圍變窄，這種情況下改進的粒子群算法仍然能夠表現(xiàn)出比遺傳算法和模擬退火算法更好的性能?；趯ι蠄D的分析，我們可以得出結論：我們提出的VaR-FPSM方法和基本的組合選擇理論是一致的，我們提出的改進的粒子群算法能夠在搜索最優(yōu)解的過程中表現(xiàn)良好。當我們將預期值設定為0.6時，以相同的迭代次數(shù)運行各種優(yōu)化算法，改進

22、的粒子群算法總是能夠獲得最優(yōu)的表現(xiàn)。綜合所有的分析可以斷定，改進的粒子群算法能夠得到更優(yōu)的效果。五、基于Sobol方法的全局敏感度分析結果在進行全局敏感度分析之前，本文將首先明確的是，VaR-FPSM模型的評價目標。該模型是一個基于模糊風險價值的投資組合質量評價模型。該模型中有n個參數(shù)需要調整，每個參數(shù)的經濟意義相似，都將被設定為其標的資產在整個投資組合當中的權重值。為了研究權重設置的不同對整個投資組合收益率的影響和對組合評價的影響，本文將計算NS系數(shù)，作為目標函數(shù)對上述分析各種參數(shù)組合對整體目標函數(shù)的影響。 本小節(jié)將對帶參數(shù)敏感度約束的投資模型在參數(shù)穩(wěn)健性方面的表現(xiàn)進行分析，并與經典均值方差

23、模型進行對比。DJIA的30個成份股的期望收益，標準差以及相關性矩陣由2015年7月至2016年7月之間的156個周收益歷史樣本計算得到。我們采用時間序列分析工具對參數(shù)進行檢驗發(fā)現(xiàn)，各成份股的期望收益的估計誤差較大，標準差具有顯著的時異性，而相關性矩陣相對穩(wěn)定。 圖3展示了投資組合中各只股票的一階敏感度系數(shù)。從上圖中可以看到，基于Sobol方法的全局敏感度分析可以在眾多的參數(shù)中找到最為敏感的參數(shù)，重要參數(shù)的敏感性系數(shù)遠高于其他非重要參數(shù)的一階敏感性系數(shù)。 投資組合選擇模型是否真正有效取決參數(shù)的估計是否準確。由于參數(shù)的估計誤差難以避免，為衡量參數(shù)估計誤差對最優(yōu)投資組合的影響，本文在均值方差框架下

24、開展了參數(shù)的全局敏感度分析，整個分析基于Sobol方法完成，并建立了帶有參數(shù)敏感度約束的均值方差投資組合模型。該模型屬于帶非凸二次約束的二次規(guī)劃問題，針對其結構特點，本文選擇納什系數(shù)作為檢測全局敏感度的指標。數(shù)值試驗表明，本文設計的算法能夠在較短時間內求得模型的最優(yōu)解，比全局優(yōu)化商業(yè)軟件BARON的求解效率更高。六、結論在本文中，我們構造了基于模糊VaR的投資組合選擇模型，并且針對模型進行了基于Sobol方法的全局敏感度分析，基于模糊VaR的組合選擇模型可以在給定的風險水平下，直接的給出所選擇的組合的最大損失。本文針對與現(xiàn)存的模糊組合選擇模型相比，本文的方法是更加能夠被廣大投資者所接受的方法。

25、為了在某些特定的情況下求解上述模型，我們證明了一些相關的定理，分析了直接得到解的方式。在大多數(shù)情形下，我們都是給出基于改進的粒子群算法的模糊仿真結果。在數(shù)值仿真之后，我們證明了所提出的改進的粒子群算法能夠克服局部最優(yōu)吸引的問題，能夠產生比傳統(tǒng)的粒子群算法更優(yōu)的解。同時，我們也提出一項投資的期望值最好是基于風險價值（VaR）的敏感度分析的結果給出的決策。在合理的條件下，我們采用的投資的期望值不會產生過大的風險價值（VaR）。進而，改進的粒子群算法和其他的現(xiàn)存組合優(yōu)化算法進行了比較，結果顯示改進的粒子群算法在這個特定的領域當中更加有效。在未來的工作中，我們將使用模糊隨機變量來表達證券的不確定性，基

26、于上述提出的方法，更加精確的結果將能夠被計算得出。本文提出的VaR-FPSM模型同樣適合其他的多種投資問題。傳統(tǒng)的局部敏感性分析方法在風險分析方面取得了一定的成績，然而也存在重要的問題，那就是忽視了模型中多個參數(shù)的耦合作用。這種對多參數(shù)耦合的忽視將導致某些重要參數(shù)的重要作用沒有反應在模型當中，導致了關鍵參數(shù)的弱化，造成了模型本地化過程中的重要誤差?；赟obol方法的全局敏感度分析方法有效的克服了這個問題，促進了風險分析和組合選擇精度的上升，在投資組合選擇模型本地化和區(qū)域化過程中有廣泛的應用和巨大的潛力，值得進一步的挖掘。參考文獻1 王曉迪. 高維復雜模型的全局敏感度分析D. 華東師范大學,

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