2262.培養(yǎng)合情推理思維提高創(chuàng)新能力

1、培養(yǎng)合情推理思維，提高創(chuàng)新能力摘要：本文根據(jù)作者主持的臺州市規(guī)劃課題數(shù)學(xué)教學(xué)中通過類比歸納培養(yǎng)創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)能力的結(jié)題報告縮寫而成，文中主要內(nèi)容分別以強化歸納推理教學(xué)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新觀下的定理教學(xué)、強化類比推理教學(xué)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力為題發(fā)表于中學(xué)數(shù)學(xué)雜志、創(chuàng)新·實踐談素質(zhì)教育等書刊。文章指出了現(xiàn)行數(shù)學(xué)教育中存在的主要弊端，介紹了合情推理的思想方法，分析了類比和歸納這兩種重要的合情推理方法在培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力中的重要作用，提出了通過類比歸納發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一般模式、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中強化類比歸納推理能力培養(yǎng)的主要途徑和方法，并借鑒波利亞的“怎樣解題表”，提出了一個著重啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行“合情推理”

2、的“怎樣解題表”，最后提出了防止濫用類比歸納法的措施。一、問題的提出目前的數(shù)學(xué)教育，處在兩大背景中，一是以創(chuàng)新精神和實踐能力為核心的素質(zhì)教育的不斷深入，二是以計算機技術(shù)為代表的信息技術(shù)的迅猛發(fā)展.前者對高中數(shù)學(xué)教育的一個最直接的促進(jìn)，就是現(xiàn)在使用的新教材中，增加了研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容、強調(diào)數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用和與相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系.而后者，使數(shù)學(xué)具有了科學(xué)的方法論屬性、關(guān)于客觀世界的模式的屬性和技術(shù)的屬性.以往人們對數(shù)學(xué)的描繪，就是利用紙、筆進(jìn)行運算與證明，因此人們很難體會到試驗、合情推理（類比歸納等）、模型模擬、矯正與調(diào)控、逐步優(yōu)化與近似逼近等一系列的科學(xué)活動過程.隨著計算機、計算器引入課堂，中學(xué)生有更

3、多的條件通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體會科學(xué)研究的基本方法：觀察、嘗試、合情推理、建立猜想與實驗驗證.但從現(xiàn)實來看，目前的數(shù)學(xué)教學(xué)基本上是還是純演繹式的.教材呈現(xiàn)為“概念定理（公式）范例”的純數(shù)學(xué)系統(tǒng)，教學(xué)中偏重知識的系統(tǒng)性和邏輯思維能力的訓(xùn)練，很難看到知識發(fā)生、形成的過程，也看不到真實可信的應(yīng)用，在很大程度上還存在過分強調(diào)純數(shù)學(xué)意義上的能力的傾向，忽視數(shù)學(xué)對發(fā)展人的一般能力、提高人的整體素質(zhì)應(yīng)起的促進(jìn)作用.由于受應(yīng)試教育的影響，教師往往著力于精心地傳授，使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，通過大量的重復(fù)練習(xí)使學(xué)生掌握許多解題的“套路”，以使學(xué)生在應(yīng)試中獲得高分，對于如何引導(dǎo)學(xué)生自我探究，通過親身的參與和內(nèi)心的體驗去發(fā)

4、現(xiàn)和創(chuàng)造重視不夠，新教材在這些方面有一些改進(jìn)，但在教學(xué)實踐中，仍存在“新教材、舊教法”的現(xiàn)象.合情推理是美籍?dāng)?shù)學(xué)家波利亞在30年代提出的概念，主要指觀察、歸納、類比、實驗、聯(lián)想、猜測、矯正與調(diào)控等方法。在社會生活中，醫(yī)生診斷疾病，法官審判案件，軍事家指揮戰(zhàn)爭，人際交往等都經(jīng)常應(yīng)用合情推理?？茖W(xué)發(fā)現(xiàn)的思維，也主要是合情推理：量子力學(xué)方程是猜出來的；球體公式是阿基米德“稱”出來的；在對熱在金屬中流動的觀察研究中，傅立葉發(fā)明了級數(shù)；而現(xiàn)代仿生學(xué)則是類比推理在科技中應(yīng)用的杰出成果。由上可以看出，“我們所學(xué)到的關(guān)于世界的任何新的東西都包含著推理，它是我們?nèi)粘Ｊ聞?wù)中所關(guān)心的僅有的一種推理”。合情推理是各學(xué)

5、科之間、社會生活中的文化大使，是現(xiàn)代化社會公民的必備文化素質(zhì)。因此加強合情推理的教育將有助于發(fā)揮學(xué)科的兩個功能，并學(xué)會發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法?？茖W(xué)思維一般可分兩類：一類是進(jìn)行論證推理的邏輯思維；另一類則是形象思維。合情推理是形象思維的一種重要形式。邏輯思維是在“抓到真理”后進(jìn)行完善和“補行證明“的思維，而合情推理則是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維?！凹冉套C明，又教猜想”，給合情推理能力的教學(xué)以適當(dāng)?shù)牡匚?，是開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要。目前關(guān)于合情推理尚無一個比較統(tǒng)一的、明確的定義。比較一致的看法是：合情推理就是在認(rèn)知過程中，主體根據(jù)自己在日常生活中積累的知識、經(jīng)驗，經(jīng)過非演繹（或非完全演繹）的思維而得到合乎情理、

6、理想化結(jié)論的一種推理方式。由于合情推理的結(jié)論，超出了前提的范圍，所以是或然的。其表現(xiàn)形式一般為：歸納、類比、聯(lián)想、猜測、推廣、限定、觀察、實驗、矯正與調(diào)控等。 類比和歸納，是兩種重要的合情推理方法，和學(xué)生的學(xué)習(xí)生活和社會生活的聯(lián)系比較緊密，以此作為改變“重結(jié)果，輕過程；重結(jié)論，輕發(fā)現(xiàn)；重知識，輕能力”的弊端、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)能力的入口，具有較強的操作性，這是我們提出并進(jìn)行這項研究的一個主要原因. 二、理論上的思考“從特殊到一般”與“由一般到特殊”乃是人類認(rèn)識客觀世界的一個普遍規(guī)律.實踐是人類認(rèn)識的基礎(chǔ).毛澤東同志在實踐論中提出了一個著名的認(rèn)識過程模式：“實踐認(rèn)識實踐”，他認(rèn)為，人的認(rèn)識不是一

7、次形成的，而是要經(jīng)過由特殊到一般、由具體到抽象、由感性認(rèn)識到理性螺旋式發(fā)展過程，經(jīng)過多次“由此及彼，由表及里，去粗取精，去偽存真”的反復(fù)修正，不斷逼近真理.作為研究“現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”（恩格斯），數(shù)學(xué)當(dāng)然也不例外.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中常用的類比法與歸納法集中體現(xiàn)了“從特殊到一般”的認(rèn)識規(guī)律.前者是由個別事例推出一般性結(jié)論的思想方法，后者是根據(jù)兩個不同的對象，在某些方面有類同之處，推測它們在其它方面也有類同之處的推理方法.著名的哥德巴赫猜想、地圖四色定理、費爾馬定理的提出，可以說是應(yīng)用歸納法、類比法的典范，再如勾股定理、多面體的面頂棱定理、前個自然數(shù)的立方和公式、二項展開式和楊輝三

8、角形，無一不是觀察、實驗、歸納、類比的結(jié)果.本世紀(jì)中葉以來，隨著現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，國際上一些著名的心理學(xué)、教育學(xué)理論，無論是皮亞杰的發(fā)生認(rèn)識論、布魯納的“認(rèn)知發(fā)現(xiàn)”學(xué)說，加涅的層次學(xué)習(xí)理論，奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論，還是加里培林的活動理論，都強調(diào)以下幾點：學(xué)生不是一張白紙，他們有著豐富的生活經(jīng)驗和知識積累，這其中就包含著大量的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，特別是運用數(shù)學(xué)解決問題的策略；學(xué)生的學(xué)習(xí)不是一個被動接受知識、記憶、反復(fù)練習(xí)、強化儲存的過程，一個有意義的學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生以一種積極的心態(tài)，調(diào)動原有的知識和經(jīng)驗嘗試解決新問題，同化新知識，并構(gòu)建它們的意義；所有的新知識只有通過學(xué)生的“再發(fā)現(xiàn)”、“再創(chuàng)

9、造”活動，使其納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才可能成為一個有效的知識.對于每一個學(xué)生主體，沒有活動，沒有做，就形不成學(xué)習(xí)；應(yīng)該讓學(xué)生從現(xiàn)實中學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué).布魯納有一句名言：任何一個知識都能夠以一種合適的方式教給任何一個年齡的學(xué)生，我們可以進(jìn)一步理解為：任何一個知識如果能夠以與學(xué)生的年齡特征、生活經(jīng)驗相適應(yīng)的方式出現(xiàn)，就能被學(xué)生所感知，為學(xué)生所接受；讓學(xué)生體驗做數(shù)學(xué)的成功樂趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.我國有人認(rèn)為：“數(shù)學(xué)概念形成的過程，是學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一種遞歸過程”，“數(shù)學(xué)問題解決，是一個經(jīng)驗的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)過程”.問題解決的實現(xiàn)，經(jīng)歷以下幾個步驟：提出問題分析問題提出假設(shè)檢驗假設(shè)他還提出了一個數(shù)學(xué)問題解

10、決學(xué)習(xí)的模型1 傅敏，試論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程，西北師范大學(xué)學(xué)報，1995年第2期.類比與歸納在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力與發(fā)現(xiàn)能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)方面具有獨特的作用，為許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家所看重.歐拉說過，“類比是偉大的引路人”.高斯也曾說過，他的許多定理都靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是一個補行的手續(xù).著名的美籍匈亞利裔數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家g·波利亞在怎樣解題（1945）、數(shù)學(xué)與猜想（1954）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（1962）等著作中，深刻闡述了他的啟發(fā)法與發(fā)現(xiàn)觀，并研究了數(shù)學(xué)解題的一般規(guī)律與思維方法.他認(rèn)為數(shù)學(xué)解題不僅僅重結(jié)果，更要了解解題過程.他說：“我

11、們應(yīng)該討論一般化、特殊化和類比這些過程本身，它們是發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”，特別值得一提的是，波利亞將歸納、類比等非證明推理，總結(jié)為一種合情推理模式.合情推理，直觀來說，就是合乎情理的推理，它是一種似真推理，并非嚴(yán)格證明，但科學(xué)史表明，它是獲取新的結(jié)論的一種創(chuàng)造性思維方法.波利亞曾說過“不錯，完成了的數(shù)學(xué)的確是演繹體系.但是，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程卻和其它知識的創(chuàng)造過程一樣，在證明一個定理之前，你總是先得猜測這個定理的內(nèi)容，當(dāng)你完成其證明之前，同樣總是先得猜測其證明思路，而且往往得一次次地進(jìn)行嘗試.數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性成果是論證推理，即證明，但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發(fā)現(xiàn)的2 g·波利亞發(fā)現(xiàn)與

12、猜測，科學(xué)出版社”.從本世紀(jì)80年代，我國部分省市中學(xué)開展了貫徹數(shù)學(xué)方法論的教育方式，全面提高學(xué)生素質(zhì)的數(shù)學(xué)教育實驗（即mm教育方式實驗），mm教育方式是徐利治教授提出的一種探索式的教學(xué)方式，它直接體現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法論的指導(dǎo)作用，強調(diào)教學(xué)、學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)同步.mm教育方式實驗已在無錫、天津、武漢等地取得可喜的成果，這對我們從事這項研究與實踐，是一個鼓勵.三、通過類比歸納發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的兩個典型案例與一般模式我們先看兩個通過類比歸納發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的兩個典型案例，并由此歸納通過類比歸納發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的一般模式.【案例1】開普勒第三定理的發(fā)現(xiàn).第谷是一位經(jīng)驗豐富的天文學(xué)家，他積累了大量的觀測資料，但并未從中引出規(guī)律

13、性的東西.開普勒是第谷事業(yè)的合作者，他利用第谷的資料，利用歸納的方法，發(fā)現(xiàn)了行星公轉(zhuǎn)的周期與行星和太陽的距離的關(guān)系.開普勒從下表（表1）中六個行星的資料中發(fā)現(xiàn)了，于是建立了猜想：行星公轉(zhuǎn)的周期的平方與它同太陽的距離的立方成正比.表1：行星名稱公轉(zhuǎn)周期太陽距離水星0.2410.3870.0580.058金星0.6150.7230.3780.378地球1.0001.0001.0001.000火星1.8811.5243.5243.524木星11.8625.203140.7140.7土星29.4579.539367.7367.7這里應(yīng)該注意的是，這一猜想的提出并不是開普勒的偶然發(fā)現(xiàn)，而是開普勒確信行星

14、運動的周期與它們的軌道大小應(yīng)該是和諧的，于是才悉心探求，借助于歸納法找到了規(guī)律.開普勒第三定理的發(fā)現(xiàn)，為后來勒維烈和亞當(dāng)斯發(fā)現(xiàn)海王星起了關(guān)鍵的導(dǎo)航作用.勒維烈曾說過：天王星“我是用筆算出來的”.【案例2】無窮級數(shù)的和的發(fā)現(xiàn).著名的瑞士數(shù)學(xué)家貝努利曾發(fā)現(xiàn)了許多無窮數(shù)列的和，但是，他卻未能求出一切自然數(shù)平方的倒數(shù)之和，即無窮級數(shù)的和.于是，他公開征求這個問題的解答，可惜直到他逝世時都沒有人能解決.瑞士的另一位著名的數(shù)學(xué)家歐拉，用類比的方法解決了這個問題.具體作法是：把一個次方程的根與系數(shù)的關(guān)系類推到“無窮次”方程（見表2）.表2：方程次方程“無窮次”方程，即方程的根設(shè)它有個相異根它有無窮多個根根與

15、系數(shù)的關(guān)系由，比較系數(shù)即得： 由 再將推出式的方法（比較系數(shù)法）類推到，就有以下猜想：，即 這是一個有限與無限類比發(fā)現(xiàn)公式的典型案例.公式的嚴(yán)格證明則要用到積分的方法.但值得注意的是，歐拉發(fā)現(xiàn)公式時并沒有用到微積分.案例1中用到的就是歸納法，而案例2用到的則是類比法.歸納法是由個別事例推出一般性結(jié)論的思想方法，其基礎(chǔ)是觀察與實踐.它是人們認(rèn)識自然，總結(jié)生產(chǎn)、生活經(jīng)驗，處理科學(xué)實驗材料的一種十分重要而又被普遍使用的方法.物理學(xué)家、化學(xué)家的最基本的研究手段就是實驗和歸納.例如物理學(xué)中的波義耳馬略特定律，化學(xué)中的門捷列夫元素周期表等，就都是運用歸納法的典型例證.實驗和歸納同樣是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里尋找、發(fā)現(xiàn)真

16、理的主要手段.如勾股定理、多面體歐拉定理、前個自然數(shù)的立方和定理、二項展開式和楊輝三角形等，無一不是觀察、實驗和歸納的結(jié)果.歸納法有完全歸納法與不完全歸納法之分.完全歸納法也叫完全歸納推理，是在考察了某類事物中的所有對象后，推出的該類對象的某種性質(zhì)的方法，其結(jié)論正確無誤.不完全歸納是通過對一類事物的部分對象的考察，從中作出有關(guān)這一類事物的一般性結(jié)論的猜想的方法，它大致包括以下幾個階段：觀察、試驗推廣猜測一般性結(jié)論這是一種由點到線、由線到面的推理方法，其結(jié)論不一定可靠.它的價值在于其發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新功能.類比推理是根據(jù)兩個不同的對象，在某些方面有類同之處，推測它們在其它方面也有類同之處的推理方法.類比

17、推理在生產(chǎn)、生活和科學(xué)實踐中有著廣泛而普遍的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)中，類比推理同樣是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，甚至是開拓新領(lǐng)域、創(chuàng)造新分支的重要手段.尋找（模擬）類比對象類比預(yù)測（猜想、猜測）未知目標(biāo)按目標(biāo)確定解題途徑與方法用類比法發(fā)現(xiàn)未知目標(biāo)促使問題解決大致有以下幾個步驟：在許多情況下，類比與歸納是交織的（后文通過具體例子說明），因此從一個數(shù)學(xué)材料中發(fā)現(xiàn)結(jié)論的模式可表示為：演繹化歸分析歸納聯(lián)想類比數(shù)學(xué)材料猜測結(jié)論證明猜想在這里，作出猜想是類比歸納后的一個必然結(jié)果，聯(lián)想在這里起關(guān)鍵的作用.實際上，對于比較復(fù)雜的問題，猜想不可能是一步到位的，而是要經(jīng)過多次的改進(jìn)，因此以上模式相應(yīng)改為：論證、檢

18、驗改進(jìn)了的猜想猜測數(shù)學(xué)材料猜測結(jié)論證明猜想我國數(shù)學(xué)家徐利治教授在1980年就充分肯定歸納、類比在從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動中的作用，并提出一個公式3 徐利治，數(shù)學(xué)方法論，沈陽：遼寧人民出版社，1980：從具體問題、具體素材出發(fā)形成普遍命題證明實驗歸納推廣類比聯(lián)想預(yù)見四、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中強化類比歸納推理教學(xué)的主要途徑和方法強化類比歸納推理教學(xué)可通過以下四條途徑：1、概念、定理、公式教學(xué)中通過類比，以舊引新，搭橋引渡：教材中許多概念、定理、公式都是直接呈現(xiàn)的，學(xué)生看不到概念是怎樣提出的、定理公式是怎樣發(fā)現(xiàn)的、證明的思路是怎樣找到的，就是說，學(xué)生看不到知識的發(fā)生過程，這就需要教師精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，促使學(xué)生“再發(fā)

19、現(xiàn)”.例1我們在引出二面角的概念后，對“角”和“二面角”這兩個對象進(jìn)行類比（見表3），這種“二維與三維”的類比，不僅可以降低學(xué)習(xí)的難度，而且可以使新概念、新公式、新定理“自動”遞歸到學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使知識系統(tǒng)化.表3：角二面角定 義從一點出發(fā)的兩條射線構(gòu)成的圖形從一條直線出發(fā)的兩個半平面構(gòu)成的圖形圖 形表示符號二面角構(gòu) 成邊頂點頂點半平面棱半平面相關(guān)的類比還有很多（見表4）：表4：點與線、線與面、面與體、長度與面積、面積與體積；三角形與三棱柱、三角形與三棱錐；直角三角形與直三棱錐；等差數(shù)列與等比數(shù)列；梯形的中位線與臺體的中截面；線段的定比分點與臺體的平行截面例2等差數(shù)列與等比數(shù)列從定義

20、、性質(zhì)等許多方面都有類似之處，它們的通項公式都可通過歸納法“發(fā)現(xiàn)”，等差數(shù)列與一次、二次函數(shù)、直線方程都有一些類似之處，因此，在這部分內(nèi)容的教學(xué)過程中，我們有意識地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過類比、歸納的方法去學(xué)習(xí)、去發(fā)現(xiàn)、去探索.表5：等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個數(shù)列從第二項起，后一項與前一項的差等于同一常數(shù)，則稱這個數(shù)列為等差數(shù)列，此常數(shù)稱為公差.如果一個數(shù)列從第二項起，后一項與前一項的比等于同一常數(shù)，則稱這個數(shù)列為等比數(shù)列，此常數(shù)稱為公比.通項公式前項和公式常見性質(zhì)若，則若，則2、解題教學(xué)中通過類比歸納，促進(jìn)聯(lián)想，激活知識儲備，使學(xué)生能“觸類旁通” “題海戰(zhàn)術(shù)”的缺點在于，只注重“練習(xí)量”的“大容量

21、”和“高密度”，不注重練習(xí)的質(zhì)，特別是忽視通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和批判性，期望以時間和精力上的“高投入”得到分?jǐn)?shù)的“高產(chǎn)出”.而實際上，題目是做不完的，這種“高投入”未必就有“高產(chǎn)出”，即使有，培養(yǎng)出來的是也往往是“高分低能”的學(xué)生.我們在解題教學(xué)中不僅注重量的適度，更注重質(zhì)的提高，不僅注重“一題多解”，更注重通過類比歸納，促進(jìn)聯(lián)想，激活知識儲備，使學(xué)生能“觸類旁通”，學(xué)會“多題一解”，這樣，一個典型的例（習(xí)）題往往可以發(fā)揮“以一當(dāng)十”的作用.obaxy例3求函數(shù)的最大值和最小值分析：已知函數(shù)表達(dá)式可與過兩點的斜率公式相類比，由此可對問題作以下類比轉(zhuǎn)化：函數(shù)最大斜率最大于是設(shè)，因點在單位

22、圓上，所以問題又轉(zhuǎn)化為：在單位圓上求一點，使得最大（?。┤鐖D，不難求得，當(dāng)與相切時，例4已知，求證：abcoxyz分析：不等式的結(jié)構(gòu)，可與“三角形任意兩邊之和大于第三邊”相類比由，聯(lián)想到余弦定理，可構(gòu)造，使 ，（如圖），則由，即得例5已知，求證這是一個三元的不等式，證明有一定難度，我們可以先考慮與它類似的二元不等式，這是不難證明的不妨設(shè)，則由，得同理可得，三式相乘，得，兩邊平方后再約去，得，最后，上式兩邊開立方得這里我們通過降元類比，回歸到了簡單情況，構(gòu)造引理而證明了原不等式，我們還可以通過升元類比將原不等式推廣：設(shè)，則可以用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，此處不贅述近年來，關(guān)于類比能力的考察，開始出

23、現(xiàn)在高考中，如2000年上海高考有這樣一個小題：在等差數(shù)列中，若，則有等式成立類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，則有等式_成立例6三維空間余弦定理的發(fā)現(xiàn)在平面上，我們知道有勾股定理：中，則通過對其條件和結(jié)論類比，可得到所謂三維空間的勾股定理：在直三面角dabc（da、db、dc兩兩垂直）中，有sd2=sa2+sb2+sc2（sa表示bcd的面積，余類似）我們還知道平面上有所謂余弦定理：中，在空間也應(yīng)該有它的類比定理，其中三角形在空間的一個類比對象應(yīng)該是四面體，相應(yīng)的，三角形邊長的一個類比對象是四面體表面的面積，三角形內(nèi)角的一個類比對象是四面體的兩個面所成的內(nèi)二面角，這樣我們就得到關(guān)于三維

24、空間的余弦定理的一個猜想：設(shè)在四面體中，是棱（）上的內(nèi)二面角，表示頂點所對的面的面積，則（*）如何證明（*）式？我們?nèi)钥梢酝ㄟ^與余弦定理的證明作類比尋找思路，當(dāng)然我們應(yīng)從余弦的許多種證明方法中選擇便于推廣到空間的證法作類比在余弦定理的證明中，有一種基于射影定理和消元思想的證明abcd如圖1，在abc中，根據(jù)線段射影定理有 （1） （2） （3）a1a3a4oa2由（1）得，由（2）得，代入（3）得 ，化簡得 線段射影在空間的類比對象應(yīng)該是面積射影，如圖2 s1=s2cosq34+s3cosq24+s4cosq23 （4）同理 s2=s1cosq34+s3cosq14+s4cosq13 （5）

25、s3=s1cosq24+s2cosq14+s4cosq12 （6） s4=s1cosq23+s2cosq13+s3cosq12 （7）由（4）、（5）、（6）分別解出cosq23、cosq13、cosq12，代入（7）化簡即得（*） 這是一個在二維空間與三維空間之間進(jìn)行類比、通過探究“發(fā)現(xiàn)”定理的好問題，遺憾的是，很多這樣富含啟發(fā)性和創(chuàng)造性的例子卻因“高考不考”而被忽視例6非零實數(shù)滿足求證：是等比數(shù)列此題的歸納證明冗長繁瑣，其實已知條件即上式左邊與二次函數(shù)的判別式（即其對應(yīng)的二次方程的判別式判別式）的結(jié)構(gòu)類似，為此我們考察以其為判別式的二次函數(shù)變形得恒成立，故其判別式但由已知，故方程有唯一解，

26、其唯一解應(yīng)適合所以，故成等比數(shù)列例7求數(shù)列的和：我們知道，對于等差數(shù)列，我們可以用一種叫做“倒序求和”的方法求其前n項和，即若是等差數(shù)列，是其前項和，則一方面，另一方面，兩式相加得，注意到，就可得到數(shù)列與等差數(shù)列也有一些類似之處：組合數(shù)的上標(biāo)成等差數(shù)列，組合數(shù)的“系數(shù)”也成等差數(shù)列，不妨用“倒序求和法”一試將改寫為 （8）注意到，由得 （9）（8）+（9），得，于是得這里我們通過類比將適合于一個特殊對象的特殊方法遷移到不同對象，這種遷移可以使我們已掌握的方法“以一當(dāng)十”地發(fā)揮作用對此命題還可以從不同角度推廣和引申：比如組合數(shù)的上標(biāo)換成等差數(shù)列的一般自然數(shù)呢？組合數(shù)的“系數(shù)”換成一般的等差數(shù)列或

27、等比數(shù)列呢？這里僅給出一種推廣：若成等差數(shù)列，則例8已知為非零常數(shù)，且，試探討的周期性由于探索周期性，容易聯(lián)想到三角函數(shù)，又的結(jié)構(gòu)與類似，因而可看作的一個原型，且相當(dāng)于原型中的，再由的周期為，故可猜想為周期函數(shù)，且周期為證明：，即為周期函數(shù)，且周期為這里我們通過結(jié)構(gòu)類比找到了的一個原型，進(jìn)而做出了關(guān)于周期的猜想，使問題解決的方向、途徑變得明朗，難度得以降低例9圓內(nèi)接四邊形面積公式的發(fā)現(xiàn)我們知道，計算三角形面積的海倫公式：設(shè)三角形的三邊長分別為，半周長，則此三角形的面積，通過將三角形與圓內(nèi)接四邊形類比（如它們都有外接圓，三角形可看作有一邊長為零的四邊形等），可就圓內(nèi)接四邊形的面積公式作以下猜想：

28、設(shè)圓內(nèi)接四邊形的四邊長分別為，半周長，則此四邊形的面積可以證明以上猜想是正確的例10在學(xué)了（1）的求和之后，我們可進(jìn)一步思考以下題組：（2）求；（3）若為等差數(shù)列，求；（4）求；并進(jìn)一步歸納出一類型數(shù)列的求和方法.事實證明，這種由學(xué)生經(jīng)過自己的探索“發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論，比起教師直接“奉送”的知識，印象要深刻得多，而且學(xué)生從中學(xué)到的不僅僅是這些知識本身.例11任意等分線段方法的發(fā)現(xiàn)yb0b1b3a1b2a2a3xa0前兩年，國內(nèi)報載美國的兩位中學(xué)生（15歲的大衛(wèi)和16歲的丹尼爾）在計算機上借助“幾何畫板”軟件，找到了任意等分線段的一種新方法，這個問題本來是兩千多年前古希臘的幾何學(xué)家歐幾里得提出并解決的

29、，大衛(wèi)和丹尼爾的方法是自歐幾里得以來任意等分線段的第二種方法，而且比歐幾里得的方法還好，本例即由此改編而成這說明，在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力成為教育的當(dāng)務(wù)之急的今天，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的教育，不僅必要，而且可行.以下我們根據(jù)報道中的線索，呈現(xiàn)這兩個中學(xué)生的方法如圖，欲把線段a0a1分成2等分，我們可先作以a0a1為邊的正方形a0a1b1b0，設(shè)其對角線a0b1和a1b0交于b2，過b2作b2a2a0a1于a2，a2即為線段a0a1的2等分點；連b0a2，交a0b1于b3，過b3作b3a3a0a1于a3，可以證明，a3是a0a1的3等分點：不妨設(shè)a0a1=1，建立直角坐標(biāo)系如圖，則a0b1，

30、a2b0的方程分別為y=x，2x+y=1，解方程組，得b3（），a3 （），故a2是a0a1的3等分點；我們可以猜想，重復(fù)這個過程，可得到a0a1的4等分點，5等分點，l事實上，假設(shè)ak是a0a1的k等分點，即ak（），連b0ak則b0ak的方程為kx+y=1，解方程組，得bk+1（），ak+1（），即ak+1是a0a1的k+1等分點例12個平面最多把空間分成幾個部分？這是一個比較復(fù)雜的問題，但與相類似的問題1、問題2（見表6）相對比較簡單.首先，于是可猜想：，從而可進(jìn)一步猜想：.不難證明以上猜想的正確性.表6：問題1：個點最多把所在直線分成幾部分？問題2：條直線最多把所在平面分成幾部分？原問

31、題：個平面最多把空間分成幾個部分？=1222=2344=3478設(shè)為設(shè)為經(jīng)上表中問題1、問題2與原問題的類比，我們又可猜想：是關(guān)于的3次式，設(shè)，由，得，解得.故，其正確性也不難證明. 在這個問題的解決中，類比和歸納是交織在一起的.2、 應(yīng)用題教學(xué)中通過類比、歸納建模解應(yīng)用問題，一般都要經(jīng)歷以下步驟：實 際 問 題 數(shù) 學(xué) 問 題 實際問題的解數(shù)學(xué)問題的解對大多數(shù)學(xué)生來說，最大的困難在于把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題這一步，因此，我們在相關(guān)問題的解決中，把類比歸納的方法作為將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、突破難點的一個重要手段.下面是教學(xué)中的一個案例.635121286467ba例13（2001年全國高考題

32、）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量現(xiàn)從結(jié)點a向結(jié)點b傳遞信息，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（ ）a26 b24 c20 d19分析：把網(wǎng)線與自來水管道類比，兩個結(jié)點之間的一段網(wǎng)線傳遞的信息量相當(dāng)于一段水管中通過的水流量經(jīng)過這樣的類比，問題變得相當(dāng)直觀，可以借助生活經(jīng)驗輕易得到解答例14（第四屆北京高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽初賽題）燕隼（sun）和紅隼是同屬于隼形目隼科的鳥類.它們的體形大小如鴿，形略似燕，身體的形態(tài)特征比較相似.紅隼的體形比燕隼略大.通過抽樣測量已知燕隼的平均體長約為厘米，平均翅長約為厘米；紅隼的平

33、均體長約為35厘米，平均翅長約為25厘米.近日在某地發(fā)現(xiàn)了兩只形似燕隼或紅隼的鳥.經(jīng)測量，知道這兩只鳥的體長和翅長分別為厘米，25.2厘米），33.4厘米，26.9厘米），你能否設(shè)計出一種近似的方法，利用這些數(shù)據(jù)判斷這兩只鳥是燕隼還是紅隼？對此題，我們是這樣組織教學(xué)的：（見表7）表7：教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖要求學(xué)生閱讀題目，審清題意，分清已知和未知.讀題、審題.審清題意，為建模奠定基礎(chǔ).提問：同一種類的鳥應(yīng)有什么共同點？七嘴八舌：大小基本相同；“模樣”基本一樣等.從數(shù)學(xué)角度，抽象出同一種鳥的本質(zhì)特征.追問：誰能把這些意見概括起來呢？某生：相似追問：在數(shù)學(xué)中，我們知道的關(guān)于相似的概念有哪些？多

34、數(shù)學(xué)生回答：相似形.啟發(fā)聯(lián)想.追問：相似形有哪些性質(zhì)？七嘴八舌：對應(yīng)邊成比例；周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方等.追問：如果我們把燕隼和紅隼中同一種類的鳥看作“相似形”，其對應(yīng)邊應(yīng)是什么？多數(shù)學(xué)生回答：體長和翅長.類比建模.到此，建模的難點已經(jīng)突破，得到以下解法.解法一：用體長與翅長的比（體翅比）來進(jìn)行判別.設(shè)燕隼、紅隼、鳥、鳥的體翅比分別為，不難算出，.由于，故鳥為紅隼.由于，故鳥為燕隼.另外，還可啟發(fā)學(xué)生把問題中的鳥看作以身長與翅長為坐標(biāo)的“點”，則由同一種類的兩只鳥之間的“距離”應(yīng)小于不同種類的兩只鳥之間的“距離”，得解法二：把（31，27），（35，25），（32.65，2

35、5.2），（31.4，26.9）看作平面直角坐標(biāo)系中的點，可以通過比較這兩只鳥表示的點與燕隼及紅隼表示的點之間的距離的大小來判斷它們屬于哪一類.設(shè)燕隼的平均體長為，平均翅長為，紅隼的平均體長為，平均翅長為，待判鳥的體長為，翅長為，則它與燕隼和紅隼的距離分別為，.由此可得判別規(guī)則：若，則判此鳥為紅隼，則判此鳥為燕隼，則表明僅用這些數(shù)據(jù)無法給出明確的判斷.在問題中，代入以上的模型，算得.由于，可知鳥為紅隼，可知鳥為燕隼.例15現(xiàn)有流量為/的兩條河流a、b匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為/和/，假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個觀測點兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股

36、水流在1秒內(nèi)交換的水量，即從a股流入b股水，經(jīng)混合后，又從b股流入a股水并混合問從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于/？分析：將此題與“（配制農(nóng)藥的）濃度問題”相類比，就不難找到思路：（見表8）表8：兩條河流a、b流量含沙量混合效果從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于/？兩個容器a、b容積濃度農(nóng)藥配制比例至少需要操作多少次可以使兩瓶農(nóng)藥的濃度差早于/？3、 研究性學(xué)習(xí)中通過類比歸納讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”高中數(shù)學(xué)新教材中，新增了“研究性學(xué)習(xí)”板塊，并將其作為綜合實踐活動的重要內(nèi)容.研究性學(xué)習(xí)旨在讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)和親身實踐，獲取多種直接經(jīng)驗，提高綜合運用所學(xué)知識、分析問題、

37、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和綜合實踐能力.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中還給出了“多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”等4個參考課題.類比法與歸納法為數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)研究性學(xué)習(xí)提供了一個視角.例16多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)（4）史久一、朱梧槚，化歸與歸納類比聯(lián)想，江蘇教育出版社4）.波利亞為我們“復(fù)原”了歐拉關(guān)于多面體的面、頂點和棱的個數(shù)之間的關(guān)系的全過程，他估計歐拉是這么猜出來的：先提出一個明確的問題：假定把多面體的面、頂點和棱的個數(shù)分別記為、，面的個數(shù)是否隨同頂點個數(shù)的增大而增大？然后把各式各樣的多面體畫得足夠清楚，以便數(shù)出它們的面、頂點和棱的個數(shù)，并用表格列出：（見表9）表9：多面體面頂點棱立方體6812三棱柱5

38、69五棱柱71015四棱錐558三棱錐446五棱錐6610八面體8612“塔頂”體9916截角立方體71015從表中的和可以看出，答案是“否”.然后，再來探討另外的問題：是否隨或增大？為了系統(tǒng)地回答此問題，我們按增大的次序重新編排上表如下：（見表10）表10：多 面 體面頂點棱三 棱 錐446四 棱 錐558三 棱 柱569五 棱 錐6610立 方 體6812八 面 體8612五 棱 柱71015截角立方體71015“塔頂”體9916觀察重新排列的數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)：不存在所猜想的這類規(guī)律.但是，我們看出，和是“聯(lián)合”增大的，即隨的增大而增大.繼而，我們發(fā)現(xiàn)一個更準(zhǔn)確的規(guī)律：不過，并不能到此為止，

39、還應(yīng)該考慮有個側(cè)面的棱柱和有個側(cè)面的棱錐，從而使猜想的可靠性增加：（見表11）表11：多面體面頂點棱有個側(cè)面的棱柱有個側(cè)面的棱錐這樣就完了嗎？不！還應(yīng)該考慮一些不同于前面已研究過的多面體，比如，鑲嵌畫的框架狀的多面體.這時，我們終于明白：前面所考慮的都是凸多面體.于是我們可以做出更精確的猜想：任何凸多面體的面、頂點和棱的個數(shù)之間滿足關(guān)系式.這種“復(fù)原”方法為我們設(shè)計研究性學(xué)習(xí)課題提供了一個很好的視角.以上例題的處理中我們多次用到列表的方法，列表是類比、歸納中一個常用的手段.五、對學(xué)生進(jìn)行類比歸納訓(xùn)練的步驟1、介紹類比歸納的涵義和基本模式，為類比歸納奠定基礎(chǔ)在類比歸納的開始階段，可利用多種形式多

40、種場合向?qū)W生介紹類比歸納的涵義、類比歸納的基本模式（見下圖）對象甲具有屬性對象乙具有屬性 對象乙也具有屬性 類比的基本類型 對象甲具有屬性對象乙具有屬性（與相似）對象乙也具有與屬性相類似的屬性 類比的基本類型觀察猜想歸納驗證歸納的類型在學(xué)生對類比歸納的思想方法有一定的感性認(rèn)識之后，教師應(yīng)從學(xué)生主體地位出發(fā)，充分挖掘教材及其它學(xué)習(xí)材料中類比歸納的素材，精心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性和創(chuàng)造性，通過親身參與和內(nèi)心的體驗，從類比中學(xué)習(xí)類比，從歸納中學(xué)習(xí)歸納.2、介紹類比歸納的功能，激發(fā)學(xué)生的興趣愛因斯坦說：“興趣是最好的老師”，學(xué)生類比歸納能力的提高，很大程度上依賴于自主參與類比歸納過

41、程、感受類比歸納的作用和意義的程度，因此，我們這方面下了不少功夫.在我們的“故事庫”中收集了不少類比歸納的案例：（見表12）表12：魯班發(fā)明鋸子的故事；地圖四色定理的發(fā)現(xiàn)；門捷列夫的元素周期表；費爾馬定理的發(fā)現(xiàn)；楊輝三角；多面體的面、頂、棱定理（歐拉公式）；前個自然數(shù)的立方和公式；空間勾股定理、射影定理、余弦定理的發(fā)現(xiàn)；哥德巴赫猜想；大陸漂移學(xué)說的提出；貝努利提出的自然數(shù)倒數(shù)的平方和公式；達(dá)爾文的“雜交優(yōu)勢”學(xué)說.這樣的故事很多很多，我們在必修課、選修課、科技講座中選擇其中的一些案例介紹給學(xué)生，許多同學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，有的開始嘗試用類比歸納思想解決問題，有的還利用類比歸納思想撰寫了數(shù)學(xué)論文.

42、3、挖掘類比、歸納素材，創(chuàng)設(shè)類比歸納情境，分層次、分階段進(jìn)行訓(xùn)練在學(xué)習(xí)類比歸納的開始階段，為了降低起點，我們一般直接給出類比的對象或歸納的素材，提供給學(xué)生.對有些數(shù)學(xué)問題，我們進(jìn)行了“再設(shè)計”，例如以題組形式引導(dǎo)學(xué)生類比歸納，題組中的各小題一般從易到難排列，前一小題為后續(xù)問題提供歸納的基礎(chǔ)或類比的對象.例17原問題：（n元集的子集個數(shù)問題）若集合，求的子集個數(shù).讓未受過任何類比歸納方法訓(xùn)練的高一學(xué)生直接去解決這個問題，是有困難的，為此，我們把問題改變?yōu)椋涸O(shè)集合，填寫下表，然后：（1）推測的子集個數(shù)的表示式；（2）證明你的猜想.表13：的值的元素的子集的子集個數(shù)123觀察猜想歸納驗證這里讓學(xué)生填

43、表，意在收集歸納的素材，認(rèn)真觀察這些素材，就不難作出猜想.經(jīng)過這樣的處理，可使學(xué)生逐步體會到，解決有些數(shù)學(xué)問題時，可以“先考慮類似的一些簡單問題，再從這些個別事例推測一般性結(jié)論”，經(jīng)過若干次這種訓(xùn)練，教師就可明確提出以下的歸納發(fā)現(xiàn)模式：例18在學(xué)生作了以下兩個證明題：（1）；（2）后，教師再把學(xué)生熟知的與這兩個等式放在一起，學(xué)生立刻從等式的結(jié)構(gòu)中感覺到這里一定有一種規(guī)律性的東西，并產(chǎn)生一種探索的欲望，這時教師適時提出以下問題讓學(xué)生探討：對這組三角恒等式（1）能否從項數(shù)方面進(jìn)行推廣？（2）能否從指數(shù)方面進(jìn)行推廣？通過探索，多數(shù)同學(xué)能歸納出以下恒等式：一些學(xué)有余力的同學(xué)甚至還作了指數(shù)推廣：推廣1：對，有推廣2：若，對，則在經(jīng)過一定的訓(xùn)練后，學(xué)生有了類比歸納的一定基礎(chǔ)后，我們讓學(xué)生開始探討一些“開放性”的問題，讓學(xué)生有所發(fā)現(xiàn).例18三角形是我們比較熟悉的圖形，常見的邊角關(guān)系有（1）中，任意兩邊之和大于第三邊，即 （2）余弦定理：中， 在空間，三角形既可與四面體類比