高等代數(shù)課件：5-1 二次型的矩陣表示

1、解析幾何中解析幾何中選擇適當(dāng)角度選擇適當(dāng)角度,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 (標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線 222faxbxycy cossincossinxxyyxy22fa xc y 代數(shù)觀點(diǎn)下代數(shù)觀點(diǎn)下作適當(dāng)?shù)淖鬟m當(dāng)?shù)姆峭嘶€非退化線性替換性替換 只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc ycycy (標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形)12(,)nf x xx：設(shè)設(shè)P為數(shù)域，為數(shù)域，稱為數(shù)域稱為數(shù)域P上的一個(gè)上的一個(gè)n元二次

2、型元二次型212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x xn個(gè)文字個(gè)文字 的二次齊次多項(xiàng)式的二次齊次多項(xiàng)式12,nx xx, ,1,2, ,ijaP i jn2222222nna xax x2333332nna xax x 2nnnax 注意注意2) 式式 也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 1) 為了計(jì)算和討論的方便為了計(jì)算和討論的方便,式式中中 的系數(shù)的系數(shù)()ijxij 寫(xiě)成寫(xiě)成 2.ija1） 約定約定中中aij= =aji，ij ，由，由 xixjxjxi，有有212111121211(,)nnnf

3、 x xxa xa x xa x x2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xax xax11nnijijija xx 111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa 令令()n nAp 則矩陣則矩陣A稱為稱為二次型二次型 的矩陣的矩陣.12(,)nf x xx12,nxxXx 2 2令令) )由由1112112122221212.(,.,).nnnnnnnnaaaxaaaxX AXx xxxaaa 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 于是有于是有12(,.,).nf xxxX AX 112211

4、1nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x11()nniijjijxa x 11nnijijija xx 注意注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因?yàn)槿绱?，討論二次型時(shí)正因?yàn)槿绱?，討論二次型時(shí)矩陣是一個(gè)有力的工具矩陣是一個(gè)有力的工具. .AB 若若 且且 ，則，則X AXX BX ,AABB1）二次型的矩陣總是對(duì)稱矩陣二次型的矩陣總是對(duì)稱矩陣,即即.AA （這表明在選定文字下，二次型（這表明在選定文字下，二次型 完全由對(duì)稱矩陣完全由對(duì)稱矩陣A決定決定.)12(,.,)nf x xxX AX 12,.,nx xx例例11）實(shí)數(shù)域）實(shí)數(shù)域R上的上

5、的2元二次型元二次型 3）復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域C上的上的4元二次型元二次型它們的矩陣分別是：它們的矩陣分別是：2） 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的3元二次型元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x ,a bb c32322 232 5,3732232232320050.000000iiii ：是兩組文字是兩組文字,，關(guān)系式，關(guān)系式1212,;,nnx xxyyy11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc y

6、cyxcycycy , ,1,2,.ijcP i jn稱為由稱為由的一個(gè)的一個(gè)線性替換線性替換; ;1212,nnx xxyyy到到若系數(shù)行列式若系數(shù)行列式|c|cij| |0,0,則稱則稱為為非退化線性替換非退化線性替換. . .0 xy它是非退化的它是非退化的.系數(shù)行列式系數(shù)行列式 cossin1.sincos 例例2 解析幾何中的坐標(biāo)軸按逆時(shí)針?lè)较蚪馕鰩缀沃械淖鴺?biāo)軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)解角度旋轉(zhuǎn)解角度 cossinsincosxxyyxy 即變換即變換x y 則則可表示為可表示為X=CY若若|C| 00，則則為非退化線性替換為非退化線性替換. .注注1）或或?yàn)榉峭嘶臑榉峭嘶?為可逆矩陣為

7、可逆矩陣 . ij= cn nC 1112111222122212.,.nnnnnnnncccxyxycccXYCxyccc 令令2）若）若XCY為非退化線性替換為非退化線性替換，則有非退化則有非退化線性替換線性替換. .1YCX 即，即，B為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣. B CAC令 | 0C XCY事實(shí)上，事實(shí)上， 12(,.,)nf x xxX AX ()BC ACC A CC ACB 又又()Y C AC Y ()()CYA CY 12(,.,)nY BYg yyy 12(,.,)nY BYg yyy 是一個(gè)是一個(gè) 二次型二次型. 12,nyyy1）合同具有合同具有對(duì)稱性：對(duì)稱性：傳遞性傳遞性

8、: :即即C1C2可逆可逆.反身性反身性:注注:：設(shè)設(shè) ，若存在可逆矩陣，若存在可逆矩陣,n nA BP 使使 ，則稱，則稱A與與B合同合同.,n nCP BC AC AE AE ,| 0BC AC C 11()()ACB C 112212,| 0,| 0BC AC DC BCCC2112()DCC AC C1212()()C CA C C 1212| | 0,C CCC3）與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣. . 2）合同矩陣具有合同矩陣具有相同的秩相同的秩. .A與與B合同合同. .二次型二次型X AX可經(jīng)非退化線性替換化為二次型可經(jīng)非退化線性替換化為二次型Y B

9、Y進(jìn)而，有進(jìn)而，有: C可逆可逆( )( )BA秩秩秩秩,BC AC ,AA BC ACC可可逆逆()BC ACC A CC ACB ,若若AABB例例2證明：矩陣證明：矩陣A與與B合同，其中合同，其中1122,iininAB , ,12, ,ni ii是是1, 2, , n的1, 2, , n的一個(gè)排列一個(gè)排列.證：作二次型證：作二次型222121122(,)nnnf x xxX AXxxx 故矩陣故矩陣A與與B合同合同. .1212niiniyxyxyx 對(duì)作非退化線性替換對(duì)作非退化線性替換12(,)nf x xx121212(,)nniiinf x xxX AXyyy 則二次型化為（注意

10、則二次型化為（注意 的系數(shù)為的系數(shù)為 ）jixji Y BY 寫(xiě)出下列二次型的矩陣寫(xiě)出下列二次型的矩陣1213231.422x xx xx x1123231 3 52. (,) 2 4 67 8 5xx xxxx2113.niijiij nxx x 其中其中214.() ,niixx 11.niixxn 02 11.201110 111111111111.4.nnnnnnnnnnnnnnn 5252162.4 767 51112221112221112221.1.3. 1 - - 4. 解：解：222111()2nnniiiiiixxxxxnx22221111()()nnniiinniiixxx22111()nniiniixx221111(2)nniiijniiij nxxx x 21211nniijnniij nxx x ，或，或X=CY， |C| 0.基本概念基本概念,.n nBCACCP可逆1211(,)nnnijijijf x xxa x xX AX (),ijn nAaAA 11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 基本