高等代數(shù)課件：5-1 二次型的矩陣表示

1、解析幾何中解析幾何中選擇適當(dāng)角度選擇適當(dāng)角度,逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 (標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線 222faxbxycy cossincossinxxyyxy22fa xc y 代數(shù)觀點(diǎn)下代數(shù)觀點(diǎn)下作適當(dāng)?shù)淖鬟m當(dāng)?shù)姆峭嘶€非退化線性替換性替換 只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc ycycy (標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形)12(,)nf x xx：設(shè)設(shè)P為數(shù)域，為數(shù)域，稱為數(shù)域稱為數(shù)域P上的一個上的一個n元二次

2、型元二次型212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x xn個文字個文字 的二次齊次多項(xiàng)式的二次齊次多項(xiàng)式12,nx xx, ,1,2, ,ijaP i jn2222222nna xax x2333332nna xax x 2nnnax 注意注意2) 式式 也可寫成也可寫成21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 1) 為了計(jì)算和討論的方便為了計(jì)算和討論的方便,式式中中 的系數(shù)的系數(shù)()ijxij 寫成寫成 2.ija1） 約定約定中中aij= =aji，ij ，由，由 xixjxjxi，有有212111121211(,)nnnf

3、 x xxa xa x xa x x2212122222nna x xa xax x 21122nnnnnnna x xax xax11nnijijija xx 111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa 令令()n nAp 則矩陣則矩陣A稱為稱為二次型二次型 的矩陣的矩陣.12(,)nf x xx12,nxxXx 2 2令令) )由由1112112122221212.(,.,).nnnnnnnnaaaxaaaxX AXx xxxaaa 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 于是有于是有12(,.,).nf xxxX AX 112211

4、1nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x11()nniijjijxa x 11nnijijija xx 注意注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因?yàn)槿绱?，討論二次型時正因?yàn)槿绱耍懻摱涡蜁r矩陣是一個有力的工具矩陣是一個有力的工具. .AB 若若 且且 ，則，則X AXX BX ,AABB1）二次型的矩陣總是對稱矩陣二次型的矩陣總是對稱矩陣,即即.AA （這表明在選定文字下，二次型（這表明在選定文字下，二次型 完全由對稱矩陣完全由對稱矩陣A決定決定.)12(,.,)nf x xxX AX 12,.,nx xx例例11）實(shí)數(shù)域）實(shí)數(shù)域R上的上

5、的2元二次型元二次型 3）復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域C上的上的4元二次型元二次型它們的矩陣分別是：它們的矩陣分別是：2） 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R上的上的3元二次型元二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x ,a bb c32322 232 5,3732232232320050.000000iiii ：是兩組文字是兩組文字,，關(guān)系式，關(guān)系式1212,;,nnx xxyyy11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc y

6、cyxcycycy , ,1,2,.ijcP i jn稱為由稱為由的一個的一個線性替換線性替換; ;1212,nnx xxyyy到到若系數(shù)行列式若系數(shù)行列式|c|cij| |0,0,則稱則稱為為非退化線性替換非退化線性替換. . .0 xy它是非退化的它是非退化的.系數(shù)行列式系數(shù)行列式 cossin1.sincos 例例2 解析幾何中的坐標(biāo)軸按逆時針方向解析幾何中的坐標(biāo)軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)解角度旋轉(zhuǎn)解角度 cossinsincosxxyyxy 即變換即變換x y 則則可表示為可表示為X=CY若若|C| 00，則則為非退化線性替換為非退化線性替換. .注注1）或或?yàn)榉峭嘶臑榉峭嘶?為可逆矩陣為

7、可逆矩陣 . ij= cn nC 1112111222122212.,.nnnnnnnncccxyxycccXYCxyccc 令令2）若）若XCY為非退化線性替換為非退化線性替換，則有非退化則有非退化線性替換線性替換. .1YCX 即，即，B為對稱矩陣為對稱矩陣. B CAC令 | 0C XCY事實(shí)上，事實(shí)上， 12(,.,)nf x xxX AX ()BC ACC A CC ACB 又又()Y C AC Y ()()CYA CY 12(,.,)nY BYg yyy 12(,.,)nY BYg yyy 是一個是一個 二次型二次型. 12,nyyy1）合同具有合同具有對稱性：對稱性：傳遞性傳遞性

8、: :即即C1C2可逆可逆.反身性反身性:注注:：設(shè)設(shè) ，若存在可逆矩陣，若存在可逆矩陣,n nA BP 使使 ，則稱，則稱A與與B合同合同.,n nCP BC AC AE AE ,| 0BC AC C 11()()ACB C 112212,| 0,| 0BC AC DC BCCC2112()DCC AC C1212()()C CA C C 1212| | 0,C CCC3）與對稱矩陣合同的矩陣是與對稱矩陣合同的矩陣是對稱矩陣對稱矩陣. . 2）合同矩陣具有合同矩陣具有相同的秩相同的秩. .A與與B合同合同. .二次型二次型X AX可經(jīng)非退化線性替換化為二次型可經(jīng)非退化線性替換化為二次型Y B

9、Y進(jìn)而，有進(jìn)而，有: C可逆可逆( )( )BA秩秩秩秩,BC AC ,AA BC ACC可可逆逆()BC ACC A CC ACB ,若若AABB例例2證明：矩陣證明：矩陣A與與B合同，其中合同，其中1122,iininAB , ,12, ,ni ii是是1, 2, , n的1, 2, , n的一個排列一個排列.證：作二次型證：作二次型222121122(,)nnnf x xxX AXxxx 故矩陣故矩陣A與與B合同合同. .1212niiniyxyxyx 對作非退化線性替換對作非退化線性替換12(,)nf x xx121212(,)nniiinf x xxX AXyyy 則二次型化為（注意

10、則二次型化為（注意 的系數(shù)為的系數(shù)為 ）jixji Y BY 寫出下列二次型的矩陣寫出下列二次型的矩陣1213231.422x xx xx x1123231 3 52. (,) 2 4 67 8 5xx xxxx2113.niijiij nxx x 其中其中214.() ,niixx 11.niixxn 02 11.201110 111111111111.4.nnnnnnnnnnnnnnn 5252162.4 767 51112221112221112221.1.3. 1 - - 4. 解：解：222111()2nnniiiiiixxxxxnx22221111()()nnniiinniiixxx22111()nniiniixx221111(2)nniiijniiij nxxx x 21211nniijnniij nxx x ，或，或X=CY， |C| 0.基本概念基本概念,.n nBCACCP可逆1211(,)nnnijijijf x xxa x xX AX (),ijn nAaAA 11111221211112211122nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 基本