導(dǎo)與練重點班2017屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二篇函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性課時訓(xùn)練理

1、第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性 【選題明細(xì)表】知識點、方法題號函數(shù)奇偶性的判定1,12函數(shù)周期性的應(yīng)用5,6利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值2,4,7,9利用函數(shù)的奇偶性比較函數(shù)值的大小、解函數(shù)不等式10,11,13函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用3,8,14,15,16基礎(chǔ)對點練(時間:30分鐘)1.下列函數(shù)中,為奇函數(shù)的是(D)(A)y=2x+ (B)y=x,x0,1(C)y=xsin x(D)y=1,x0解析:因為y=2x+2,所以它的圖象不關(guān)于原點對稱,故A不是奇函數(shù);選項B定義域不關(guān)于原點對稱,故B不是奇函數(shù);設(shè)f(x)=xsin x,因為f(-x)=(-x)sin (-x)=xsin x=f(x),所以

2、y=xsin x是偶函數(shù).故選D.2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=2x2-x,則f(1)等于(A)(A)-3(B)-1(C)1(D)3解析:因為f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=2x2-x,所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2-(-1)=-3.3.若y=f(x)既是周期函數(shù),又是奇函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)y=f(x)(B)(A)既是周期函數(shù),又是奇函數(shù)(B)既是周期函數(shù),又是偶函數(shù)(C)不是周期函數(shù),但是奇函數(shù)(D)不是周期函數(shù),但是偶函數(shù)解析:法一因為y=f(x)是周期函數(shù),設(shè)其周期為T,則有f(x+T)=f(x),兩邊同時求導(dǎo),得f(x+T)(x+T)=f(x),

3、即f(x+T)=f(x),所以導(dǎo)函數(shù)為周期函數(shù).因為y=f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),兩邊同時求導(dǎo),得f(-x)(-x)=-f(x),即-f(-x)=-f(x),所以f(-x)=f(x),即導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù),故選B.法二由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)具有相同的周期,且導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的奇偶性相反.4.已知函數(shù)f(x)=x2+x+1x2+1,若f(a)=,則f(-a)等于(C)(A)(B)-(C)(D)-解析:根據(jù)題意,f(x)=x2+x+1x2+1=1+xx2+1,而h(x)=xx2+1是奇函數(shù),故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-1+h(a)=2-f(a)=2-=.

4、5.已知f(x)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0x1時,f(x)=lg x,設(shè)a=f(),b=f(),c=f(),則(A)(A)cab(B)abc(C)bac(D)cbac.6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=-1f(x),且f(0)=1,則f(2 016)等于(A)(A)1(B)-1(C)2(D)-2解析:f(x+4)=-1f(x),所以f(x+8)=-1f(x+4)=f(x),所以f(2 016)=f(2528)=f(0)=1.故選A.7.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a0,且a1).若g(2)=a,則f(2)等于(B)(A)2(

5、B)154(C)174(D)a2解析:因為f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),所以f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a,因為f(2)+g(2)=a2-a-2+2,所以f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2,由聯(lián)立得g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=154.8.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),且x0時,f(x)=x+1,則當(dāng)x0時,f(x)=x+1,所以當(dāng)x0,f(x)=-f(-x)=-(-x+1),即xg(0)g(-1).答案:f(1)g(0)g(-1)11.(2015峨眉山模擬)設(shè)f(x)的定義域為(-,0)(0,+),且f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(

6、x)=x1-3x.(1)求當(dāng)x0時,f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)-.解:(1)因為f(x)是奇函數(shù),所以當(dāng)x0,又因為當(dāng)x0時,f(x)=x1-3x,所以當(dāng)x0時,f(x)=-f(-x)=-x1-3-x=x1-3-x.(2)f(x)0時,即x1-3x-,所以11-3x,所以3x-18,解得x2,所以x(0,2),當(dāng)x0時,即x1-3-x-,所以3-x32,所以x-2,所以解集是(-,-2)(0,2).能力提升練(時間:15分鐘)12.函數(shù)y=f(x)(xR)的圖象如圖所示,下列說法正確的是(C)函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x);函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(-x)

7、;函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x);函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(x).(A)(B)(C)(D)解析:根據(jù)圖象知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,故為奇函數(shù),所以正確;又其圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以正確.13.(2016濟南一模)已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù),當(dāng)x1,x2(0,+)時,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)f(b)f(c)(B)f(b)f(a)f(c)(C)f(c)f(a)f(b)(D)f(c)f(b)f(a)解析:根據(jù)已知條件便知f(x)在(0,+)上是減函數(shù),且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|),而|a|=ln 1

8、,|b|=(ln )2|a|,0|c|=ln 2f(a)f(b).故選C.14.(2015菏澤模擬)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x)現(xiàn)有以下三種敘述:8是函數(shù)f(x)的一個周期;f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;f(x)是偶函數(shù).其中正確的序號是.解析:由f(x)+f(x+2)=0,得f(x+2)=-f(x),則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4是f(x)的一個周期,8也是f(x)的一個周期,由f(4-x)=f(x),得f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;由f(4-x)=f(x)與f(x+4)=f(x),得f(4-x)=f(-x),

9、f(-x)=f(x),即函數(shù)f(x)為偶函數(shù).答案:15.定義在R上的函數(shù)f(x)對任意a,bR都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k為常數(shù)).(1)判斷k為何值時,f(x)為奇函數(shù),并證明;(2)設(shè)k=-1,f(x)是R上的增函數(shù),且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)3對任意xR恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)若f(x)在R上為奇函數(shù),則f(0)=0,令a=b=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0.證明:由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有0=f(x)+f(-x),即f(-

10、x)=-f(x)對任意xR成立,所以f(x)是奇函數(shù).(2)因為f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3.所以f(mx2-2mx+3)3=f(2)對任意xR恒成立.又f(x)是R上的增函數(shù),所以mx2-2mx+32對任意xR恒成立,即mx2-2mx+10對任意xR恒成立,當(dāng)m=0時,顯然成立;當(dāng)m0時,由m0,=4m2-4m0,得0m1.所以實數(shù)m的取值范圍是0,1).16.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x),當(dāng)x0,2時,f(x)=2x-x2,(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng)x2,4時,求f(x)的解析式;(3)計算f(0)+f

11、(1)+f(2)+f(2 016).(1)證明:因為f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)解:由f(x+2)=-f(x),且x0,2時,f(x)=2x-x2,所以當(dāng)x2,4時,f(x)=-f(x-2)=-2(x-2)-(x-2)2=x2-6x+8.即f(x)=x2-6x+8,x2,4.(3)解:因為f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2 016)=f(2 016)=f(0)=0.精彩5分鐘1.(20

12、16岳陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別為R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),則下列結(jié)論恒成立的是(D)(A)f(x)-|g(x)|為奇函數(shù)(B)-|f(x)|-g(x)為奇函數(shù)(C)-f(x)+|g(x)|為偶函數(shù)(D)|f(x)|-g(x)為偶函數(shù)解題關(guān)鍵:利用奇、偶函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷.解析:因為函數(shù)g(x)和f(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),所以|f(x)|也為偶函數(shù),所以f(x)-|g(x)|是非奇非偶函數(shù),故A不滿足條件;-g(x)-|f(x)|是偶函數(shù),故B不滿足條件;-f(x)+|g(x)|也為非奇非偶函數(shù),|f(x)|-g(x)為偶函數(shù).2.(2015洛陽二模)若函數(shù)y=f(2x+1)是

13、偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象的對稱軸方程是(A)(A)x=1(B)x=-1(C)x=2(D)x=-2解題關(guān)鍵:利用函數(shù)圖象的平移、伸縮、對稱等變換求解.解析:因為y=f(2x+1)=f(2(x+),所以函數(shù)y=f(x)的圖象縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來的,得出y=f(2x),再向左平移個單位得出y=f(2x+1)=f(2(x+)的圖象.因為函數(shù)y=f(2x+1)是偶函數(shù),所以函數(shù)y=f(2x+1)的對稱軸為x=0,所以函數(shù)y=f(2x)的對稱軸為x=,y=f(x)的對稱軸為x=1.3.(2015東莞質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對任意實數(shù)x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),則ff(2 0172)的值是(C)(A)2 0172 (B)1 (C)0 (D)2 017解題關(guān)鍵:由恒等式變形后得到f(x+1)x+1=f(x)x,從而得到f(x+1)x+1是周期函數(shù).解析:原等式等價于f(