關(guān)于多元奇偶函數(shù)積分算法的研究

1、關(guān)于多元奇偶函數(shù)積分算法的研究摘 要積分算法，是大學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的內(nèi)容，在人們的學(xué)習(xí)中也占有很大的比重，對積分算法的深入了解與研究是一件尤為重要的事。而奇偶函數(shù)是初高中學(xué)生比較關(guān)心的問題，他們往往將這兩種函數(shù)比較著來記憶，使它們各自的特點(diǎn)更加突出，多元奇偶函數(shù)無疑有上升了一個(gè)難度，對學(xué)生的計(jì)算與理解又增加了一個(gè)新的挑戰(zhàn)。對多元奇偶函數(shù)的積分算法，無疑是把這兩者聯(lián)系起來，這就要求我們能夠?qū)@兩種算法做到足夠的熟悉，能夠靈活的應(yīng)用。本文主要針對我們對于這兩種算法的充分應(yīng)用，使它們能夠很好地結(jié)合起來，使多元奇偶函數(shù)積分算法能夠得到更好的解決辦法。本文主要通過闡述幾個(gè)重要的結(jié)論并且用例題說明它們的應(yīng)

2、用，從而使多元奇偶函數(shù)積分算法變得簡單。關(guān)鍵詞：多元函數(shù)積分；函數(shù)奇偶性；積分算法AbstractThe integral algorithm is an important part of university mathematics, and it occupies a great proportion in peoples learning. It is very important for the integral algorithmto understand and study. And odd function is more concerned about the problem

3、 by high school students, and they always tend to compare these two functions and memory,andmaking their respective characteristics more prominent.The multivariate parity function has undoubtedly increased a difficulty, and it will increased a new challenge for calculation and understanding of stude

4、nts.The integral algorithm for the multivariate parity function is undoubtedly link between this two side, which requires us to be able to make these two algorithms fully familiar and flexible application.This paper focuses on the full application of these two algorithms, making them can be well com

5、bined, and the multi-parity function integration algorithm can get a better solution.This paper mainly through the elaboration of several important conclusions and using examples to illustrate their application, after that making the multi-parity function integration algorithm becomes simple.Key wor

6、ds：Multivariate function；Parity；Integral algorithm目 錄TOC o 1-3 h z u 摘 要 2Abstract 31 前言 52關(guān)于區(qū)域積分對稱性、奇偶性的討論 62.1積分區(qū)域?qū)ΨQ性 62.2 函數(shù)奇偶性 62.2.1 一元函數(shù)奇偶性 62.2.2 多元函數(shù)奇偶性 72.3 積分函數(shù)區(qū)域?qū)ΨQ性與函數(shù)奇偶性 82.3.1 定積分 82.3.2 二重積分 92.3.3 三重積分 113 多元奇偶函數(shù)積分 143.1 多元奇偶函數(shù)定義 143.2 多元奇（偶）函數(shù)積分基本性質(zhì) 153.3多元奇（偶）函數(shù)積分 17參考文獻(xiàn) 21謝 辭 221 前

7、言積分學(xué)，從古至今，一直是許多數(shù)學(xué)家研究的重要課題，由于其體系之龐大，導(dǎo)致其研究分支也越來越多。在數(shù)分這門學(xué)科中，積分學(xué)是一個(gè)重要的研究課題，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的主流方向，其中包括定積分和不定積分兩個(gè)方面，而多元函數(shù)的積分算法則是其中重難點(diǎn)。 它不僅涉及了概念諸多的概念，而且方法、公式也紛然雜陳，從而導(dǎo)致學(xué)生很難找到做題思路，計(jì)算時(shí)也無處落筆，而且極易算錯(cuò)。 盡管如此，它還是有規(guī)律可循，多元積分和定積分的思想原則一脈相通，兩者都表達(dá)出了“分割、求和、取極限”的積分思想1。 因此，在我們研究積分算法的過程中，只要掌握了積分的根本思想原則，并且能夠夠熟練應(yīng)用，就起到事半功倍的效果。以下我就從幾個(gè)方面

8、談一些初步體會(huì)和想法。2關(guān)于區(qū)域積分對稱性、函數(shù)奇偶性的討論積分區(qū)域性，函數(shù)奇偶性是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的重要課題，利用其結(jié)論往往能使題目運(yùn)算證明變得簡單。如果將它們統(tǒng)一稱為空間區(qū)域，則可以建立一般性定義。2.1積分區(qū)域?qū)ΨQ性定義1 設(shè)是任意空間區(qū)域，1） 若點(diǎn)，有,則稱關(guān)于面對稱；2） 若點(diǎn)，有,則稱關(guān)于面對稱；3） 若點(diǎn)，有,則稱關(guān)于面對稱；4） 若點(diǎn)，有,則稱關(guān)于軸對稱；5） 若點(diǎn)，有,則稱關(guān)于軸對稱；6） 若點(diǎn)，有,則稱關(guān)于軸對稱；7） 若點(diǎn)，有,則稱關(guān)于原點(diǎn)對稱3。2.2 函數(shù)奇偶性奇偶性為函數(shù)的重要性質(zhì)之一，通過對其研究，我們可以找到函數(shù)圖像的對稱性關(guān)系，使得一些做題步驟更加快捷。2.2.

9、1 一元函數(shù)奇偶性定義2 數(shù)集關(guān)于原點(diǎn)對稱，是區(qū)間上的函數(shù)，對于，都有（或）成立），則稱為上的奇（偶）函數(shù)。類似的，可以推斷出多元函數(shù)奇偶性性質(zhì)，下面我們進(jìn)行給出。2.2.2 多元函數(shù)奇偶性我們可以根據(jù)上述對一元函數(shù)的研究，得出多元奇偶函數(shù)的定義。定義3 定義域關(guān)于軸對稱的函數(shù)，對，有(或)則稱是上關(guān)于的一元偏奇（偶）函數(shù)。定義4 定義域關(guān)于面對稱的函數(shù)，對，有(或)則稱是上關(guān)于的一元偏奇（偶）函數(shù)。同樣的，我們也可以得出二（三）元函數(shù)關(guān)于其他對稱軸（面）的結(jié)論。定義5 若定義域函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的，對，有（或）則稱是上關(guān)于的二元全奇（偶）函數(shù)。定義 6 若定義域關(guān)于軸對稱的函數(shù)，對，有（或）則

10、稱是 上關(guān)于的二元偏奇（偶）函數(shù)。定義 7 若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)，對，有（或）則稱是 上關(guān)于的三元全奇（偶）函數(shù)2。2.3 積分函數(shù)2.3.1 定積分當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時(shí)，可以考慮如下方法求解。定理1 設(shè)在上可積，則證明 令,（1）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，則所以，即.(2) 當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，有所以 .例1 計(jì)算解 積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱且被積函數(shù)為關(guān)于的奇函數(shù)，所以：例2 計(jì)算積分解 令 ,則有：其中為偶函數(shù)故：令，則：2.3.2 二重積分當(dāng)被積函數(shù)積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對稱時(shí)，可以考慮如下方法求解。定理2 存在函數(shù)，其積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，有若在區(qū)域上可積，則(1) 為的奇函數(shù)時(shí)，有(2) 為的偶函數(shù)時(shí)

11、，有證明：（1）設(shè)，則,表示積分區(qū)域在軸上方與下方區(qū)域，根據(jù)積分的區(qū)域可加性有：令，可得：，其中，于是：，從而有：，因?yàn)闉榈钠婧瘮?shù)，即所以有：（2）當(dāng)為的偶函數(shù)，即，由（1）有：同理可證明定理3、定理4，現(xiàn)給出結(jié)論，不加以證明.定理3 設(shè)區(qū)域關(guān)于軸對稱，,在區(qū)域上可積，則有：(1)為的奇函數(shù)時(shí)，有(2)為的偶函數(shù)時(shí)，有推理1 設(shè)在區(qū)域上可積，且關(guān)于軸和軸都對稱.則當(dāng)同時(shí)滿足關(guān)于和的偶函數(shù)特性時(shí)，有其中當(dāng)滿足或的奇函數(shù)特性時(shí)，有：當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，可以考慮如下方法求解。定理4 設(shè)區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對稱，在上可積，則有：（1） 為，的二元全奇函數(shù)時(shí)，有：（2） 為，的二元全偶函數(shù)時(shí)，有：例3

12、計(jì)算二重積分，其中為矩陣 .解 函數(shù)對于對稱區(qū)域時(shí)關(guān)于的偶函數(shù)，設(shè)，故有：由于函數(shù)對于對稱區(qū)域又是關(guān)于的偶函數(shù)，設(shè)：所以有：2.3.3 三重積分（1）當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于平面對稱，有： 當(dāng)為的一元偏奇函數(shù)時(shí)，則：. 當(dāng)為的一元偏偶函數(shù)時(shí)，則：（2）當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，有： 當(dāng)為，的二元偏奇函數(shù)時(shí)，則： 當(dāng)為，的一元偏偶函數(shù)時(shí)，則：同理可以得出當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于其他兩個(gè)坐標(biāo)軸對稱時(shí)的情況，請讀者自行寫出。（3）當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱有： 當(dāng)為的三元全奇函數(shù)時(shí)，則： 當(dāng)為的三元全偶函數(shù)時(shí)，則：（4）當(dāng)關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面全都是對稱的，有：其中，是的一元偏偶函數(shù)時(shí).例4 計(jì)算三重積分，其中是平面與面、面、面

13、所圍成的四面體。解 積分區(qū)域關(guān)于面對稱，令因?yàn)樗允堑钠婧瘮?shù)，即例5 求其中是橢球體.解 由于是中心對稱圖形，函數(shù)是的一元偏偶函數(shù)，故：其中表示又，這里表示橢圓面或它的面積為于是有：所以：3 多元奇偶函數(shù)積分3.1 多元奇偶函數(shù)定義定義1設(shè)為一區(qū)域，若對,都有成立，則稱關(guān)于變量是對稱的2.利用定義1，我們可以定義元函數(shù)的奇偶性.定義2 設(shè)函數(shù)的定義區(qū)間為，對，都有：.則稱是關(guān)于的奇函數(shù)，若，則簡稱為奇函數(shù).定義3 設(shè)函數(shù)的定義區(qū)間為，對，都有：則稱是關(guān)于的偶函數(shù)。若，則簡稱為偶函數(shù).3.2 多元奇（偶）函數(shù)積分根據(jù)上述內(nèi)容，我們可以推導(dǎo)出多元奇（偶）函數(shù)重積分的基本性質(zhì)。定理1 設(shè)是中關(guān)于的對

14、稱區(qū)域，且有存在，對任意維超平面2，設(shè)則當(dāng)是關(guān)于的奇函數(shù)時(shí)，有：證明：作變換：此時(shí)行列式11：.所以有：由推導(dǎo)過程有所以得.定理2 設(shè)是中關(guān)于的對稱區(qū)域，且有存在，對任意維超平面 ，設(shè)則當(dāng)是關(guān)于的偶函數(shù)時(shí)，有：證明 照定理1作同等變換，設(shè)則和都是區(qū)域。此時(shí)變換將區(qū)域變成區(qū)域，而且有：利用重積分的性質(zhì)有：利用重積分的性質(zhì)有：故得證.3.3多元奇（偶）函數(shù)積分多元函數(shù)積分計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn)，但是只要掌握其要點(diǎn)，就能使計(jì)算過程得以簡單化。下面，通過幾個(gè)例題進(jìn)一步進(jìn)行說明。例6 計(jì)算四重積分，其中：.解：作四維球面坐標(biāo)變換：其中，且 .故原積分例7 求維球體:的體積 .解 方法一：.作變換 ，這時(shí)，因此有

15、：其中它是維單位球體的體積，其中中右邊的重積分表示以為半徑的維球體的體積.因而其值為，其中表示維球體的體積13.由于：又，有：方法二：利用維球坐標(biāo)變換求得維球坐標(biāo)變換為：因此有：.因此積分區(qū)域?yàn)椋?所以有：例8求維單位球面的面積.解 設(shè)，其中為維空間中的曲面，則其面積為：因維單位球體的上半部分可由方程：確定，又由于所以上半球面面積為：由于對變量的積分等于，從而有：其中為維空間中單位球體體積。由例7得維球面面積為 .則： 當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)， .參考文獻(xiàn)1 關(guān)紅陽、李偉、李新.高等數(shù)學(xué)不定積分學(xué)的兩個(gè)常見問題J. 科技視界, 2015(4):223-223.2馬巧云、胡麗平.區(qū)域?qū)ΨQ性和函數(shù)奇偶性

16、在積分計(jì)算中的應(yīng)用J. 河南科學(xué), 2008(12):21-25.3趙云梅. 對稱性在積分中的妙用J. 紅河學(xué)院學(xué)報(bào), 2005(3):70-73.4林燕. 邏輯非命題在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用J. 科技信息.2009.5陳靜. 由一個(gè)二重積分計(jì)算題引出的思考J. 楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2014(3):17-22.6王憲杰. 對稱區(qū)域上二重積分和三重積分的計(jì)算J. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2007(4):68-69.7周辛榮、李文斌. 直線與坐標(biāo)軸圍成面積的最小值的探索和推廣J. 大理學(xué)院學(xué)報(bào), 2010(10):100-103.8 王華東、劉芳. 實(shí)數(shù)向量型陰性選擇算法的改進(jìn)J. 科學(xué)技術(shù)與工程.20109關(guān)紅陽、李偉、李新. 高等數(shù)學(xué)不定積分學(xué)的兩個(gè)常見問題J. 科技視界, 2015(4):223-223.10戴常英、尹建