概率統(tǒng)計(1-2)ppt課件

1、第一章 隨機(jī)事件的概率 第一節(jié) 隨機(jī)事件第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率第三節(jié) 條件概率第四節(jié) 獨(dú)立性 主觀概率 第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率一、頻率與概率二、概率的性質(zhì)三、等可能概型（古典概型）四、幾何概型一、頻率與概率概率定義1的概率.量度稱為事件發(fā)生的可能性大小的在一次試驗(yàn)中事件AAAnn( )AnnfAnAnnAnA即發(fā)生的頻率，記為為事件次，則稱比值次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)了在這次試驗(yàn)，如果事件了在相同的條件下，進(jìn)行( ) ,nfA拋硬幣實(shí)驗(yàn)HA出現(xiàn)正面4040n5069. 0)(Afn24000n5005. 0)(AfnnnnHfAn)(試驗(yàn)者德摩根蒲豐K皮爾遜K皮爾遜羅曼諾夫斯基204840401200

2、0240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923Hn試驗(yàn)次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)出現(xiàn)正面的頻率當(dāng)當(dāng)常常會不一樣常常會不一樣不同時，得到的不同時，得到的)( Afnn這表明頻率具有一定的隨機(jī)波動性的穩(wěn)定性。，這表明頻率具有所謂且逐漸穩(wěn)定于上下波動，總是圍繞在的增大，隨著試驗(yàn)次數(shù)5 . 05 . 0)(Afnn對于可重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) 逐漸增大時，事件 的頻率 都逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù) ，呈現(xiàn)出 “穩(wěn)定性”A)(Afnpn因此，可以用頻率來描述概率，定義概率為頻率的穩(wěn)定值我們稱這一定義為概率的統(tǒng)計定義這種“穩(wěn)定性”也就是通

3、常所說的統(tǒng)計規(guī)律性頻率具有如下性質(zhì) 0)(Afn()1nf1非負(fù)性2規(guī)范性3有限可加性11()()kkniniiifAfA12,nA AA若是一組兩兩互不相容的事件則0)(APA有對任一個事件,()1P必然事件有)()(,1121iiiiAPAPAA則是兩兩互不相容的事件若設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對E的每一個事件A，將其對應(yīng)于一個實(shí)數(shù)，記為P(A )，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P()滿足下列條件：概率的公理化定義1非負(fù)性2規(guī)范性3可列可加性二、概率的性質(zhì)()0P )()()()(2121nnAPAPAPAAAP，則有滿足若事件BABA,)()()(APBPABP)()(APBP1)

4、(APA，對任一事件兩兩互不相容，則若事件nAAA,21性質(zhì)1性質(zhì)2（有限可加性）性質(zhì)3 性質(zhì)4 性質(zhì)5)(1)(APAPA有對任一事件性質(zhì)6（加法公式） )()()()(ABPBPAPBAP有、對任意兩個事件BA 性質(zhì)5)(1)(APAPA有對任一事件AAAA 且)()()()(1APAPAAPP)(1)(APAP證：證明 性質(zhì)5可得由性質(zhì)2證明 性質(zhì)6性質(zhì)6（加法公式）)()()()(ABPBPAPBAP有、對任意兩個事件BA)()()()()()(ABPBPAPABBPAPBAP證明：)(ABBABA因?yàn)?),A BABABB 且故由性質(zhì)2和性質(zhì)3得：性質(zhì)6可以推廣到多個事件的情形為任意

5、三個事件，則有設(shè)321,AAA1231231 22 31 31 2 3()( )( )( )()()()()P AAAP AP AP AP AAP AAP AAP AAA例如可由歸納法證得一般地，對任意n個事件12,nA AA)()()()()(ABPAPABAPBAPBAP3 . 0)(BP6 . 0)(BAP)( BAPAB例1 設(shè) ， 為兩事件，且設(shè) ， 求解)()()()(ABPBPAPBAP而)()()()(ABPAPBPBAP所以3 . 03 . 06 . 0)(BAP于是)()(21211)()()(1)(1)()(ABPABPABPBPAPBAPBAPBAP)()(BAPABP

6、21)()(BPAP例2 設(shè)證明證三、等可能概型（古典概型）1試驗(yàn)的樣本空間只含有有限個元素，即 12,n2試驗(yàn)中每個基本事件發(fā)生的可能性相同，即 )()()(21nPPP具有以上兩個特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型。由于它是概率論發(fā)展初期的主要研究對象，所以也稱之為古典概型 111()()nniiiiiPPPnPE設(shè)試驗(yàn) 是古典概型，由于基本事件兩兩互不相容因此nPi1), 2, 1(ni從而個基本事件含有若事件kA21kiiiA即1( )()jkijkAP APn包含的基本事件數(shù)中基本事件總數(shù)中某k個不同的數(shù)，是這里12,niii1, 2, n則有THTHHHTT例3 將一枚硬幣拋二次)(,1

7、11APA求面”為“恰好有一次出現(xiàn)正）設(shè)事件（)(,222APA求面”為“至少有一次出現(xiàn)正）設(shè)事件（:,EHH HT TH TT設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) 為 將一枚硬幣拋兩次 觀察正反則樣本空間為4n中包含個元素，每個基本事件發(fā)生的可能性相同, 故此試驗(yàn)為等可能概型.（2）2TTA 因?yàn)?3411)(1)(22APAP于是解（1）1,2AHT THk又中包含的基本事件數(shù)1()2/41/2P A故先給出一個記號，它是組合數(shù)的推廣，規(guī)定 nrnrrrnnnrrn0, 2 , 1!1101rnCrnnrn 時，顯然，當(dāng)為自然數(shù)。其中例4 設(shè)袋中有只4白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球（即第一次取一球不

8、放回袋中，第二次再從剩余的球中再取一球，此種抽取方式稱為無放回抽樣）.試求 （1）取到的兩只球都是白球的概率； （2）取到的兩只球顏色相同的概率； （3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率 取到的兩只球都是白球A取到的兩只球都是黑球B一只是白球取到的兩只球中至少有CD 取到的兩只球顏色相同解 記BADBC,顯然(1)(AP用兩種方法求525634)(2624AAAP52!2!22624)(2624AAAP1515612)(BPAB 由于，故由概率的有限可加性，所求概率是：15715152)()()()(BPAPBAPDPBC 所以有15141511)(1)()(BPBPCP因?yàn)椋?）類似于（

9、1），可求得（2）例5 將 個球隨機(jī)地放入 個盒子中去，盒子的容量不限，試求（1）每個盒子至多有一只球的概率；（2） 個盒子中各有一球的概率 nN)(nN n解 將 個球放入 個盒子中去，每種放法是一個基本事件。顯然這是古典概型問題。因每一個球都可以放入 個盒子中的任一個盒子，故共有種不同的方法 nNNnNNNN 個盒子可以有 種不同的選法。對選定的 個 盒子，每個盒子各有一個球的放法有 種。由乘 法原理，共有 種放法，因此所求概率為 nnNn!nnNn!() !nnNnnNpNNNn)1() 1(nNNN(1)(1)nNnnANNNnpNN(1)每個盒子中至多只有一只球,共有 種不同的方法，

10、因此所求的概率為又如設(shè)每個人的生日在一年365天中的任一天是等可能的, 即都等于1/365. 那么, 隨機(jī)選取n(n365)個人, 他們的生日各不相同的概率為365 364(3651)365nn因而, n個人中至少有兩人生日相同的概率為365 364(3651)1365nnp 如果n=50, 可算出p=0.970, 如果n=100, 則p=0.9999997.例6 （女士品茶）一位常飲奶茶的女士稱：她能從一杯沖好的奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶沖制而成.做了10次測試，結(jié)果是她都正確地辨別出來了.問該女士的說法是否可信？ 10次試驗(yàn)一共有 個等可能的結(jié)果102 10序出放奶和放茶的先后

11、次次試驗(yàn)中都能正確分辨A0009766. 021)(10AP解假設(shè)該女士的說法不可信，即純粹是靠運(yùn)氣猜對的。在此假設(shè)下，每次試驗(yàn)的兩個可能結(jié)果為：奶茶 或 茶奶且它們是等可能的，因此是一個古典概型問題。若記則 只包含了 個樣本點(diǎn)中一個樣本點(diǎn)，故A102由實(shí)際推斷原理實(shí)際推斷原理，該女士的說法可信實(shí)際推斷原理 概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎不會發(fā)生四、幾何概型古典概型是關(guān)于試驗(yàn)的結(jié)果為有限個,且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同的概率模型.一個直接的推廣是：保留等可能性，而允許試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為直線上的一線段、平面上的一區(qū)域或空間中的一立體等具有無限多個結(jié)果的情形，稱具有這種性質(zhì)的試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃?/p>

12、型若在一個面積為 的區(qū)域 中等可能地任意投點(diǎn)，這 里“等可能”的含義是：點(diǎn)落入 中任何區(qū)域 的可能性的大小與區(qū)域 的面積 成正比，而與其位置和形狀無關(guān)()SAA)(AS由()()1PtS知 1()tS從而()()()SAPAS幾何概率 AA點(diǎn)落入?yún)^(qū)域記事件為比例常數(shù)，其中tAtSAP)()(則有需要指出的是需要指出的是, 若是在直線上的某線段或空間立體上投點(diǎn)若是在直線上的某線段或空間立體上投點(diǎn), 則幾何概率計算公則幾何概率計算公式中的面積分別改為長度或體積式中的面積分別改為長度或體積.例例8(會面問題會面問題) 甲甲,乙兩人相約在早上乙兩人相約在早上8點(diǎn)到點(diǎn)到9點(diǎn)之間在某地會面點(diǎn)之間在某地會面

13、, 先到者等候另一人先到者等候另一人20分鐘分鐘, 過時就離開過時就離開. 如果每個人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá)如果每個人可在指定的一小時內(nèi)任意時刻到達(dá), 試計算兩人能會面試計算兩人能會面的概率的概率.解解 記8點(diǎn)為計算時刻的0時, 以分鐘(min)為單位, 以x,y分別表示甲,乙兩人到達(dá)會面地點(diǎn)的時刻, 則樣本空間為:W=(x,y)|0 x60,0y60.以A表示事件兩人能會面, 由于兩人能會面的充要條件是: |x-y|20, (x,y)W,所以A=(x,y)|(x,y)W, |x-y|20.=(x,y)|0 x60,0y60A=(x,y)|(x,y), |xy|20.2060 xy20

14、20O會面區(qū)A于是,222( )60405( )()609S AP AS例例9 (Buffon投針問題投針問題) 平面上畫有等距離的平行線平面上畫有等距離的平行線, 平行線的距離為平行線的距離為a(a0), 向平面向平面投擲一枚長為投擲一枚長為l(la)的針的針, 試求針與平行線相交的概率試求針與平行線相交的概率.jxl( , )|0,0.2axxjj解解 以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離, 又以j表示針與直線間的夾角, 易知有解解 以x表示針的中點(diǎn)與最近一條平行線的距離, 又以j表示針與直線間的夾角, 易知有jxl( , )|0,0.2axxjj令A(yù)=針與平行線相交, 則有( , )|

15、0sin 2lAxxjj 表示的區(qū)域是下圖中的矩形表示的區(qū)域是下圖中的矩形, A表示的區(qū)域是下圖中的陰影部分表示的區(qū)域是下圖中的陰影部分.sin2lxj2aOjx( , )|0,0.2axxjj( , )|0sin 2lAxxjj由等可能性知由等可能性知sin2lxj2aOjx0sind( )22( )(3)()2lS AlP AaSaj j2( )(3)lP Aa2(4)lNan歷史上做過的一些試驗(yàn)如下表歷史上做過的一些試驗(yàn)如下表(把把a(bǔ)折算成單位折算成單位1):試驗(yàn)者年份投擲次數(shù)相交次數(shù)得到的近似值針長Wolf1850500025323.15960.8Smith185532041218.53.15540.6De.Morgan.C1860600382.53.1371.0Fox188410304893.15950.75Lazzerini1901340818083.14159290.83由此可知, 若某個未知數(shù)與