隨機(jī)信號(hào)的分析

1、2.2 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析2.2.1 隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程的基本概念2.2.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征2.2.3 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2.2.4 平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程變換隨機(jī)過(guò)程變換2.2.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 通信系統(tǒng)中載有信息的有用信號(hào)是不可預(yù)測(cè)的，或者說(shuō)帶有某種隨機(jī)性。干擾信息信號(hào)的噪聲更是不可預(yù)測(cè)的。這些不可預(yù)測(cè)的信號(hào)和噪聲都是隨機(jī)過(guò)程。在通信系統(tǒng)中，隨機(jī)過(guò)程是重要的數(shù)學(xué)工具，它在信源的統(tǒng)計(jì)建模、信源輸出的數(shù)字化、信道特性的描述以及評(píng)估通信系統(tǒng)的性能等方面十分重要。

2、第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)事件總是通過(guò)一個(gè)“量”來(lái)描述：隨機(jī)事件的不確定性總是表現(xiàn)為在試驗(yàn)中可能取這個(gè)值，也可能取另一個(gè)值。通常我們把在隨機(jī)試驗(yàn)中可能取這個(gè)值也可能取另一個(gè)值的量稱為隨機(jī)變量。2.2.1隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程的基本概念隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程的基本概念1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)變量的例子很多，如電話局每天接到電話的次數(shù)；每次觀測(cè)到的接收機(jī)輸出噪聲，二進(jìn)制系統(tǒng)中單位時(shí)間內(nèi)接收到1碼或0碼的個(gè)數(shù)。就形式而言，隨機(jī)變量可以分為離散型和連續(xù)型兩種。離散型隨機(jī)變量只能取有限個(gè)數(shù)目的值。 隨機(jī)變量常用 ( )、 (Zeta)、 (eta)等希臘字母表示

3、。Ksi第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)變量是與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的隨機(jī)取值的量，例如某接收機(jī)輸出端的噪聲在某個(gè)給定的時(shí)刻就是一個(gè)隨機(jī)變量。若改變時(shí)間，測(cè)得的噪聲就是另外一個(gè)隨機(jī)變量。如果連續(xù)不斷的研究接收機(jī)的噪聲，則每一次測(cè)試都有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量。于是，測(cè)試的結(jié)果就不是一個(gè)隨機(jī)變量，而是一個(gè)在時(shí)間上不斷出現(xiàn)的隨機(jī)變量的集合，或者說(shuō)是以時(shí)間t為參變量的一簇(無(wú)窮多個(gè))2.隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)變量的集合，稱為隨機(jī)過(guò)程。從這個(gè)角度來(lái)看，隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)變量這一概念的延伸：隨機(jī)過(guò)程可看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合，它在任意時(shí)刻的值就是一個(gè)隨機(jī)

4、變量。 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 可見(jiàn)，隨機(jī)過(guò)程是一類隨時(shí)間做隨機(jī)變化的過(guò)程，它不具有必然的變化規(guī)律，變化的過(guò)程不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間t的確定函數(shù)來(lái)描述。由此給出隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)定義如下：設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)，每一次試驗(yàn)都有一條時(shí)間波形，稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，記作 ，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體 就構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程，記作 。從這個(gè)角度來(lái)看，隨機(jī)過(guò)程就是無(wú)窮多個(gè)樣本函數(shù)的總體，如圖2.12所示。,.)2 , 1( kSk),(,),(),(21txtxtxn)(txi t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社圖 2.12 樣本函數(shù)的總體 x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk第

5、2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 由圖可見(jiàn)，隨機(jī)過(guò)程有兩個(gè)基本特性：其一，隨機(jī)過(guò)程具有隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)的特點(diǎn)。就某一瞬間來(lái)看，它是一個(gè)隨機(jī)變量；就它的一個(gè)樣本來(lái)看，則是一個(gè)時(shí)間函數(shù)。其二，在某個(gè)時(shí)刻 的樣本函數(shù) 取值是隨機(jī)的，是一個(gè)不含t變化的隨機(jī)變量。因此，隨機(jī)變量和隨機(jī)過(guò)程這兩個(gè)概念既有聯(lián)系也有區(qū)別，隨機(jī)過(guò)程在某一個(gè)確定時(shí)間上的值是一個(gè)隨機(jī)變量，許許多多個(gè)時(shí)it)(it第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 研究隨機(jī)變量或隨機(jī)過(guò)程的關(guān)鍵是研究其統(tǒng)計(jì)特征，這不僅簡(jiǎn)單明了，而且直接反映信號(hào)的變化規(guī)律。刻的隨機(jī)變量的集合則為隨機(jī)過(guò)程；隨機(jī)變量是一個(gè)實(shí)數(shù)值的集合，而隨機(jī)過(guò)程是時(shí)間函數(shù)的集合。統(tǒng)計(jì)特征

6、概率分布數(shù)字特征概率密度函數(shù)(pdf)分布函數(shù)數(shù)學(xué)期望(均值)方差相關(guān)函數(shù) 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性可以用概率分布函數(shù) 或概率密度函數(shù) 來(lái)描述。)(cdf2.2.2隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征1.隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 設(shè) 表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它在任意時(shí)刻 的取值 就是一個(gè)一維隨機(jī)變量，其一維分布函數(shù)定義為pdf)(t1t)(1t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 式(2-43)數(shù)學(xué)含義為隨機(jī)變量 小于或等于某一數(shù)值 的概率。如果 對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，即（2-43）（2-44）則稱 為隨機(jī)過(guò)程 的一維概率密度函數(shù)。 111111,F x tPtx)(1t

7、1x),(111txF1x1111111,F x tfx tx),(111txf)(1t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 注意，一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中由于t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t，x1改寫為x。如果隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，則其一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)還跟時(shí)間無(wú)關(guān)，此時(shí)分別簡(jiǎn)記為 、 。一維概率密度分布 具有如下性質(zhì)：)(xF)(xf)(xF第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社21xx （1） 。（2）單調(diào)性：若 ，則 。（3）右連續(xù)： 。（4） 。1)(0; 1)(lim; 0)(limxFxFxFxx 21xFxF xFxF0 aFbFbaP第2章 信號(hào)分析

8、基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 通信工程上常常遇到的一維隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)有：一維概率密度函數(shù) 具有如下性質(zhì)：（3）（1）（2）)(xf0)(xf1)(dxxfbabxaPdxxf)()( 均勻分布的一維概率密度函數(shù)為常數(shù)。若隨機(jī)變量在區(qū)間 內(nèi)呈均勻分布，則其一維 函數(shù)為ba,（1）均勻分布（2-45）pdfabxf1)(第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 均值為a、方差為 的高斯分布(噪聲)簡(jiǎn)記為 ，其一維 函數(shù)為（2）高斯分布(正態(tài)分布)若 ，則稱其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。（2-46）pdf2),(2aN222exp21)(axxf0a第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 瑞利分布的一維 函數(shù)為（3）瑞利

9、分布（2-47）求信號(hào)在此時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)平均功率和直流電平。【例2-3】一隨機(jī)信號(hào)在某個(gè)時(shí)刻的概率密度函數(shù)為pdf0002exp)(222xxxxxf2exp21)(2xxf第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)過(guò)程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)孤立時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性或概率分布，并未說(shuō)明在不同時(shí)刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為充分描述隨機(jī)過(guò)程，需進(jìn)一步引入二維分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)。 解：（1）由 函數(shù)知，這是一個(gè) 、 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故其直流電平為 。（2）由于方差 就是信號(hào)的交流功率，故信號(hào)的平均功率為1(W)。pdf0a120a2第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 任意給

10、定兩個(gè)固定時(shí)刻 、 ，則由 和 構(gòu)成一個(gè)二維隨機(jī)變量 ，若（2-49）（2-48）存在，則稱之為隨機(jī)過(guò)程 的二維概率密度函數(shù)。成立，則稱之為隨機(jī)過(guò)程 的二維分布函數(shù)。 若 1t2t)(1t)(2t)(),(21tt 2121221122,; ,Fx x t tPtxtx)(t212122121212,; ,; ,Fx x t tfx x t txx)(t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 對(duì)N個(gè)隨機(jī)變量 ，若有（2-52）（2-51）（2-50） 同理，任意給定 , 則 的n維分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別定義為 Ntxtxtx,.,2112,.,nttt、)(t 12121122,.; ,.,.

11、,nnnnnnFx xx t ttPtxtxtx1212121212,.; , ,.,.; , ,.,nnnnnnnFx xx t ttfx xx t ttx xx ),(),(),(),;,(2221112121NNNNNNtxftxftxftttxxxf則稱這些隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的或不相關(guān)的。 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 一般來(lái)說(shuō)，N 越大，對(duì)隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性的描述就越充分，但問(wèn)題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實(shí)際問(wèn)題中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。（2-53）若對(duì)任意的， 的N 維概率密度滿足則稱 為N 階平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。 tX t),;,(),;,(21212121NNNNNNtt

12、txxxftttxxxf第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性, 而實(shí)際通信過(guò)程中，有時(shí)不易或不需求出，而用數(shù)字特征(數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差)來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡(jiǎn)單直觀方便。 2. 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 其中 為統(tǒng)計(jì)平均算子。隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望一般也是時(shí)間t的函數(shù)。對(duì)平穩(wěn)過(guò)程來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)期望與時(shí)間t無(wú)關(guān)，有 （1）數(shù)學(xué)期望（2-54）（2-55） 數(shù)學(xué)期望又稱為統(tǒng)計(jì)平均值或均值，它是隨機(jī)變量所有可能的取值與其對(duì)應(yīng)概率之積的和，即dxtxxftEta),()()(dxxx

13、ftEa)()(E第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 從數(shù)學(xué)定義看，數(shù)學(xué)期望就是隨機(jī)變量的取值依概率加權(quán)，這實(shí)際就是求平均值的思想。因此，數(shù)學(xué)期望表示了過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻隨機(jī)變量取值分布的中心，或其n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心，如圖2.13所示。對(duì)隨機(jī)信號(hào)(一般是平穩(wěn)過(guò)程)而言，數(shù)學(xué)期望就是其直流分量。（2-56）對(duì)離散型隨機(jī)變量，則有niiiPxtEta1)()( 圖2.13 數(shù)學(xué)期望的含義 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望具有如下性質(zhì)： 常數(shù)的數(shù)學(xué)期望為該常數(shù)： 兩個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望： 兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之積的數(shù)學(xué)期望：CEC 2121EEE 2121EEE ECCE C

14、ECE第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)過(guò)程的方差定義為隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望，即 （2）方差（2-57）（2-58） 對(duì)平穩(wěn)過(guò)程來(lái)說(shuō)，方差也與時(shí)間t無(wú)關(guān)，有dxtxfaxaxEtDt),()()(1222dxxfax)()(22第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 可見(jiàn)，方差表示了隨機(jī)過(guò)程在時(shí)刻t對(duì)于均值對(duì)離散型隨機(jī)變量，則有（2-59） ta 的偏離程度。對(duì)隨機(jī)信號(hào)(一般是平穩(wěn)過(guò)程)而言，方差就是其交流功率。 niiiPaxtD122)(第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社隨機(jī)過(guò)程的方差具有如下性質(zhì)： 常數(shù)的方差為0： 常數(shù)加隨機(jī)變量的方差： 常數(shù)乘隨機(jī)變量的方差： 兩

15、個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和(或差)的方差： 0DC DCD DCCD2 2121DDD第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 式(2-60)中，方差 代表隨機(jī)信號(hào)的交流功率， 代表其直流功率，均方值 就是隨機(jī)信號(hào)的平均功率。 方差與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系：（2-60）該式證明如下： 22EED )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD )(D)()(22taE)(2E第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 數(shù)學(xué)期望和方差都只取決于一維概率密度函數(shù)，因此稱為一維數(shù)字特征。為了描述隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度， 還需利用二維數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清

16、華大學(xué)出版社圖2.14 數(shù)學(xué)期望和方差相同的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社（3）相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù) 先來(lái)看一個(gè)例子。如圖2.14所示， 、 為數(shù)學(xué)期望和方差大致相同的兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，但信號(hào)結(jié)構(gòu)卻有著明顯的差別： 的樣本隨時(shí)間變化較慢，不同瞬間(例如t1和t2)取值有較強(qiáng)的相關(guān)性； 的樣本變化較快，不同瞬間的取值之間相關(guān)性較弱。因此，數(shù)學(xué)期望和方差只描述了隨機(jī)過(guò)程在單獨(dú)一個(gè)瞬間的特征，它們并沒(méi)有反映隨機(jī)過(guò)程在不同瞬間的內(nèi)在聯(lián)系。為了衡量隨機(jī)過(guò) )(tX)(tY)(tX)(tY第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 任意給定兩個(gè)時(shí)刻 、 ，均值分別為 、 的隨機(jī)變量 、 就構(gòu)成一個(gè)二維

17、隨機(jī)變量 ，其概率密度函數(shù)記為 。程在任意兩個(gè)時(shí)刻獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)或依賴程度，為此引入相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)和協(xié)方差函數(shù)B(t1, t2)。1t2t)(1ta)(2ta)(1t)(2t)(),(21tt),;,(21212ttxxf)(1t)(2t 和 的相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)分別定義為第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社（2-61）（2-62）（2-63） 經(jīng)推導(dǎo)，相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)二者之間滿足如下關(guān)系:2121212212121,;,)()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()( )( )()( )()(),(dxdxttxxf

18、taxtaxtattatEttB121212( ,)( ,)( ) ( )B t tR t ta t a t=-第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 若a(t1)=0或a(t2)=0，則B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若 t2t1，并令t2=t1+，則R(t1, t2)可表示為R(t1, t1+)。這說(shuō)明，相關(guān)函數(shù)依賴于起始時(shí)刻t1及時(shí)間間隔，即相關(guān)函數(shù)是t1和的函數(shù)。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一過(guò)程的相關(guān)程度的， 因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 對(duì)于兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)過(guò)程，可引入互協(xié)方差及互相關(guān)函數(shù)。設(shè) 和 分

19、別表示兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為 （2-65）（2-64）而互相關(guān)函數(shù)定義為)(t)(t)()()()(),(221121tattatEttB)()(),(2121ttEttR第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 通常用統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交等概念來(lái)描述二維隨機(jī)變量 的重要關(guān)系。所謂統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，是指二維概率密度函數(shù) 和一維概率密度函數(shù) 、 之間滿足（2-66）（2-65）（2-67）且或顯然，正交比不相關(guān)更嚴(yán)格。與 正交是指相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差滿足 與 不相關(guān)是指相關(guān)函數(shù)或協(xié)方差滿足),(),(f)(f)(f)()(),(fffaaR0B0B0aaR第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 【例2-

20、4】設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ，其中 和 是相互獨(dú)立的兩個(gè)高斯隨機(jī)變量，且均值和方差相同，分別為0和 。求pdf（1）隨機(jī)過(guò)程的均值和方差。（2）自相關(guān)函數(shù)。（3）一維 函數(shù)。txtxty0201sincos)(1x2x2第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社（2）（1）解：依題意有 ， 021xExE 22221xExE 0sincos0201txEtxEtyE 20202202220210221022202102212sincossin2sincossin2sincostttxEtxExEtxEtxtxxtxEtyEtyD 0212022010222010212121coscossinsincoscos),

21、(ttttxEttxEtytyEttRy第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 （3） 和 都是高斯分布， 是 和 的線性組合，也服從高斯分布，且均值為0、方差為 ，故 是一種標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其一維 函數(shù)為pdf1x2x)(ty1x2x2)(ty222exp21)(yyf第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 所謂嚴(yán)平穩(wěn)，是指它的n維概率密度函數(shù)和n維分布函數(shù)不隨時(shí)間的推移而變化，其概率分布與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，而只與時(shí)間間隔有關(guān)。即對(duì)任意的整數(shù)n和常數(shù)有2.2.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程1.平穩(wěn)過(guò)程的基本概念 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程有嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)兩種類型。嚴(yán)平穩(wěn)又稱狹義平穩(wěn)，寬平穩(wěn)又稱廣義平穩(wěn)。第2章 信號(hào)分析基

22、礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 該定義說(shuō)明，當(dāng)取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上作任意平移時(shí)，隨機(jī)過(guò)程的所有有限維分布函數(shù)是不變的。具體到它的一維分布, 則與時(shí)間 t 無(wú)關(guān)， 而二維分布只與時(shí)間間隔有關(guān)，即有（2-68）（2-69） 所謂寬平穩(wěn)，是指隨機(jī)過(guò)程 的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)。 即具有以下簡(jiǎn)明的數(shù)字特征：12121212,.; , ,.,.;,.,nnnnnnfx xx t ttfx xx ttt);,(),;,()()(),(2122121211111xxfttxxfxfxftxf)(t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 通信系統(tǒng)中所遇到的信號(hào)及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。以后討論的隨機(jī)過(guò)程除特殊說(shuō)

23、明外，均假定是平穩(wěn)的，且均指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。（2-70） 很容易推得，一個(gè)寬平穩(wěn)過(guò)程的方差也是常數(shù)。)()()(,)()(1121RttEttRadxxxftE第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)。平穩(wěn)過(guò)程在滿足一定條件下有一個(gè)十分有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。所謂“各態(tài)歷經(jīng)性”，是指隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程的所有可能狀態(tài)，這樣，隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征(均為統(tǒng)計(jì)平均)就完全可由隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征(均為時(shí)間平均)來(lái)替代。因此，對(duì)于具有 2.平穩(wěn)過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性第2章 信號(hào)分析基

24、礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 采用時(shí)間平均計(jì)算具有各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征時(shí)無(wú)需知道其概率分布。假設(shè) 是平穩(wěn)過(guò)程 的任意一個(gè)實(shí)現(xiàn)，它的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別為各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過(guò)程，我們無(wú)需(實(shí)際中也不可能)獲得大量用來(lái)計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個(gè)樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計(jì)平均”化為“時(shí)間平均”，使實(shí)際測(cè)量和計(jì)算的問(wèn)題大為簡(jiǎn)化。 tx)(t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 即可以將統(tǒng)計(jì)平均轉(zhuǎn)化為時(shí)間平均，則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。 （2-71）（2-72）由此定義，如果平穩(wěn)過(guò)程依概率使下式成立 2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TT

25、TTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 根據(jù)各態(tài)歷經(jīng)性，我們只需從一次試驗(yàn)得到的一個(gè)樣本函數(shù) 來(lái)確定平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征。應(yīng)該注意，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程必定是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號(hào)和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。判斷一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程是否具有各態(tài)歷經(jīng)性的步驟如下： tx第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社（1）統(tǒng)計(jì)平均法求數(shù)字特征（即求數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)，前提是需要知道概率分布）；（2）時(shí)間平均法求數(shù)字特征(前提是需要知道數(shù)學(xué)表達(dá)式）；（3）比較上述結(jié)果是否一致。第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)

26、清華大學(xué)出版社【例2-5】討論隨機(jī)過(guò)程 的平穩(wěn)性與各態(tài)歷經(jīng)性。式中振幅A和初相均為隨機(jī)變量，兩者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，在(0，2)之間均勻分布。解：因?yàn)?tAtXcos 0sinsincoscos2sinsincoscossinsincoscos)()cos()()cos()(2020dtdtAEtEtEAEttEAEtEAEtAEtXEcos2)(2122coscos2)(22coscos2)(22coscos2)()cos()cos()()(),(220222AEdtAEtEAEtEAEtAtAEtXtXEttR第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)過(guò)程 具有簡(jiǎn)明的數(shù)字特征，其數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，自相關(guān)

27、函數(shù)只與有關(guān)，所以是寬平穩(wěn)的。又因?yàn)榘凑諘r(shí)間平均有 tX 顯然，該過(guò)程滿足平穩(wěn)性條件，但并不具備各態(tài)歷經(jīng)性。220)(1limTTTdttxTacos2)()(1lim)(222TTTAdttxtxTR第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而言， 它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個(gè)數(shù)字特征。其一，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在兩個(gè)不同時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)或依賴程度可通過(guò)自相關(guān)函數(shù)來(lái)描述；其二，自相關(guān)函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜特性有著內(nèi)在的密切聯(lián)系，它揭示了隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性。3.平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 只與時(shí)間間隔 有關(guān)，且具有以下主要性質(zhì)： ttER（2-73

28、） 在數(shù)值上等于 的平均功率。即（1）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì))(t設(shè) 為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， 則它的自相關(guān)函數(shù))0(R)(tStER)()0(2)(R)(t 在數(shù)值上等于的直流功率。即22)()(atER（2-74） 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社)(t)(t)(R)()( RR)0(R)(R)()0(RR)0(R)(R)(t此式利用時(shí), 與 沒(méi)有依賴關(guān)系即統(tǒng)是關(guān)于 的偶函數(shù)。即是的上界。即 與之差在數(shù)值上等于(交流功率)。即 計(jì)獨(dú)立，即可得證。 （2-76）的方差（2-75）2)()0( RR（2-77）第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 隨機(jī)過(guò)程的頻譜特性是用它的功率譜密度來(lái)表述的。

29、我們知道，隨機(jī)過(guò)程中的任一實(shí)現(xiàn)是一個(gè)確定的功率型信號(hào)。而對(duì)于任意的確定功率信號(hào) ，它的功率譜密度由(2-16)式確定。我們可以把 看成是平穩(wěn)過(guò)程 中的任一實(shí)現(xiàn)，因而每一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度也可用式(2-16)來(lái)表示。由于 是無(wú)窮多個(gè)實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)出 tf（2）平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度 t tf t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過(guò)程的功率譜密度。過(guò)程的功率譜密度應(yīng)看作是任一實(shí)現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，即 TFPEPTTf2)(lim)()(（2-78） 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 雖然上式給出了平穩(wěn)過(guò)程 的功率譜密度，但我們很難直接

30、用它來(lái)計(jì)算功率譜。那么，如何方便地求功率譜呢？我們知道，確知的非周期功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對(duì)傅氏變換關(guān)系。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，也有類似的關(guān)系，即 tdePRdeRPjj)(21)()()(（2-79） 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 因?yàn)镽(0)表示隨機(jī)過(guò)程的平均功率，它應(yīng)等于功率譜密度曲線下的面積。因此， 必然是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度 與其自相關(guān)函數(shù) 是一對(duì)傅里葉變換關(guān)系。式(2-79)簡(jiǎn)記為 R于是有)()(21)0(2tEdPR （2-80） )(P)(P（2-81） )()(PR第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 以上關(guān)系式稱為維納-

31、辛欽關(guān)系，在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。 實(shí)偶性。即 非負(fù)性。即 R 根據(jù)上述關(guān)系式及自相關(guān)函數(shù) 的性質(zhì)，不難推演功率譜密度 具有如下性質(zhì)：)(P0)(P)()(PP第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 【例2-6】某隨機(jī)相位余弦信號(hào) ，其中A和 均為常數(shù)， 是在 內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。求 的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和功率 )cos()(0tAt0)2 , 0()(t解：由例2-5不難推得)(t是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為02cos2)(AR第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換，由

32、式(2-79)并且考慮到故平均功率為得功率譜密度為)()(cos000t)()(2)(002AP2)(21)0(2AdPRS第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 通信過(guò)程主要是信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)傳輸?shù)倪^(guò)程，顯然我們需要了解隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的情況，包括平穩(wěn)性、統(tǒng)計(jì)關(guān)系和數(shù)字特征。我們知道，確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)有時(shí)域和頻域兩個(gè)方面的特性。那么，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后，會(huì)產(chǎn)生怎樣的輸出？是否也是平穩(wěn)的？統(tǒng)計(jì)特征又是怎樣？下面我們就這些問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。2.2.4平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)隨機(jī)過(guò)程變換隨機(jī)過(guò)程變換第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 這里，我們只考慮平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變

33、系統(tǒng)的情況。隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)的分析，建立在確知信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)原理的基礎(chǔ)之上。由式(2-37)知，線性系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 等于輸入信號(hào) 與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 的卷積，如果把 看作是輸入隨機(jī)過(guò)程 的一個(gè)樣本，則 可看作是輸出隨機(jī)過(guò)程 的一個(gè)樣本。顯然，輸入過(guò)程 的每個(gè)樣本與輸出過(guò)程 的相應(yīng)樣本之間都滿足上述關(guān)系。這樣，就整個(gè)過(guò)程而言，便有 tf th tf)(ty)(ti)(ty)(0t)(ti)(0t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 假定輸入 是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， 現(xiàn)在來(lái)分析系統(tǒng)的輸出過(guò)程 的統(tǒng)計(jì)特性。先確定輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望、 自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過(guò)程的概率分布問(wèn)題。1. 的數(shù)

34、學(xué)期望dthti)()()(0（2-82） )(ti)(0t)(0t由式(2-82)，有dtEhdthEtEii)()()()()(0第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 式中 是線性系統(tǒng)在 時(shí)的頻譜，即系統(tǒng)的直流增益。上式表明，輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過(guò)程的數(shù)學(xué)期望與系統(tǒng)直流增益H(0)的相乘，并且與 無(wú)關(guān)?？紤]到 ，得（2-83）atEtEii)()()0()()(0aHdhatE)0(H0t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社考慮到 2輸出過(guò)程 的自相關(guān)函數(shù) )(0t),(0ttR)()()(0tthti)()()(0tthtidudvvhuhvtutEdvvtvhduutuhEttEtt

35、Riiii)()()()()()()()()()(),(000 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社得 式(2-84)表明，輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)，與時(shí)間 無(wú)關(guān)，因此，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后輸出仍為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。（2-84）因輸入過(guò)程 為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，故有)(ti)()()(vuRvtutEiii)()()()(),(00RdudvvhuhvuRttRi t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 因平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換，且輸出過(guò)程也為平穩(wěn)過(guò)程，故其功率譜密度為 （2-85）令 ，則有3輸出過(guò)程 的功率譜密度 )(0t)(0PdvdudevuRvh

36、uhdedudvvhuhvuRdeRPjijij )()()()()()()()(00vu )()()()()()()()(20iijivjuiPHPHHdeRevhdueuhP第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 由此可見(jiàn)，平穩(wěn)過(guò)程經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)后輸出的功率譜密度等于輸入平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度與系統(tǒng)幅頻特性的平方之乘積。這樣，當(dāng)我們要求輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) 時(shí)，可以先應(yīng)用式(2-85)求出功率譜 ，然后計(jì)算其傅里葉逆變換，這比直接計(jì)算 要簡(jiǎn)便得多。)(0R)(0P)(0R第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 通信工程中分析噪聲傳播和變換時(shí)常常遇到的情況是：如果線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸

37、出過(guò)程也是高斯型的?；蛘哒f(shuō)，高斯過(guò)程經(jīng)線性變換后仍是高斯過(guò)程。這是高斯過(guò)程的一個(gè)重要性質(zhì)。4輸出過(guò)程的概率分布 根據(jù)式(2-82)，原理上，在給定輸入過(guò)程分布的情況下，總可以確定輸出過(guò)程的分布。第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 【例2-7】如圖2.15(a)所示，雙邊功率譜密度為 的白噪聲 先通過(guò)帶通濾波器，再通過(guò)積分器。已知帶通濾波器的頻率特性如圖2.15(b)所示，求輸出噪聲 的功率譜密度及平均功率。 值得注意的是，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過(guò)程比較，輸出高斯過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。這一點(diǎn)從式(2-83)、(2-84)、(2-85)明顯可以看出。HzWn/102/80)(tn)(0

38、tn第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社圖2.15 例2-6用圖 (a) (b) 第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社解：圖2.16 例2-6求解用圖 (a) (b)第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 帶通濾波器輸出噪聲 是一種窄帶過(guò)程，其功率譜如圖2.16(a)所示。輸出噪聲 的功率譜為的平均功率為如圖2.16(b)所示。)(1tn)(0tn其它, 0200100,2)()()(220220ffnfPfHfPi)(0tn)(1022)(112001002001002022000WfndffndffPS第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 【例2-8】試求雙邊譜密度為 的高斯白噪聲通過(guò)理想低通濾波器

39、后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為解：有題意有 ， （ 時(shí)） 高斯白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)(LPF)后輸出功率譜密度為2/0n0,( )0,j tHK eH其他2)(0nPni0)(KHHHninnKPHP,2)()()(02020第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 帶限白噪聲的輸出自相關(guān)函數(shù) 在 處有最大值，帶限白噪聲的平均功率為 輸出自相關(guān)函數(shù)為HHHHHjjnnfnKdenKdePRsin221)(21)(020020002)0(2000HnKnRS)(0nR0第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 在第1章中，我們介紹了通信系統(tǒng)中的常見(jiàn)噪聲，包括白噪聲、高斯噪聲、高斯

40、白噪聲和窄帶高斯噪聲。對(duì)白噪聲，主要分析了它的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)；對(duì)高斯噪聲，主要分析了它的一維概率密度函數(shù)和一維概率分布函數(shù)。在通信中，常常把加性高斯白噪聲(AWGN)作為噪聲分析模型，它在整個(gè)頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜且取值服從高斯分布。在接收端，AWGN性質(zhì)的 經(jīng)過(guò)一帶通濾波器，就變成了窄帶高斯噪聲 ，即窄帶過(guò)程。2.2.5窄帶隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程)(tn)(tni第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 其頻譜特性及時(shí)域波形如圖1.26所示。該窄帶過(guò)程(此處記為 )的波形有兩種數(shù)學(xué)表示形式。1窄帶隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性 根據(jù)式(1-33)，窄帶過(guò)程 的功率譜密度可表示為 tni其它, 022

41、,2)(0wcwcnIBffBfnfP)(t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 其中 稱為 的隨機(jī)包絡(luò)函數(shù)， 稱為 的隨機(jī)相位函數(shù)。 ttatccos（2-87）（2-86） 一種形式是采用隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位來(lái)表示。即 另一種形式是采用同相分量和正交分量來(lái)表示。由式(2-86)有 0ta)(ta)(t)(t)(t)(sin)()(cos)(sin)(sin)(cos)(cos)()(tttttttatttatcscccc第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 在不特別聲明情況下，我們僅討論零均值平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程，其 、 及 、 的統(tǒng)計(jì)特征存在以下兩個(gè)結(jié)論：（2-88）其中 稱為 的同相分量， 稱為

42、 的正交分量。顯然有)(tc)(t)(ts)(t)(sin)()()(cos)()(ttatttatsc)(tc)(ts)(ta)(t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 結(jié)論一：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，它的同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過(guò)程，而且均值都為零，方差也相同，且等于的方差。此外，在同一時(shí)刻上得到的、是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。即（2-90）的一維 函數(shù)均為（2-89）pdf 、 、)()()(0)()()(tDtDtDtEtEtEscsc)(t)(tc)(ts222exp21)(xxf第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 結(jié)論二：一個(gè)均值為零的平穩(wěn)高斯窄帶過(guò)程，其包絡(luò)的一

43、維分布是瑞利(Rayleigh)分布，相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，包絡(luò)與相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。即（2-92）（2-91）式中 是隨機(jī)包絡(luò) 和隨機(jī)相位 的聯(lián)合概率密度。20,210,2exp222faaaaf 2222exp2,aafafaf,af)(ta)(t第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社瑞利分布的概率密度函數(shù)如圖2.17所示。圖2.17 瑞利分布的概率密度函數(shù)第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社圖2.18 萊斯分布的概率密度函數(shù)第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社【例2-9】已知正弦波調(diào)制信號(hào)表達(dá)式如下，通過(guò)頻域分析求信號(hào)包絡(luò)。tttfccos)cos(1)(解： ttttfc

44、cc)(cos21)(cos21cos)()()(41)()(41)()(21)(cjcjcjcjcceeeejF第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 包絡(luò)信號(hào)應(yīng)該是解除調(diào)制后的部分，上式中令0c，得包絡(luò)頻譜 對(duì)上式求傅里葉逆變換，即得包絡(luò)的時(shí)域表達(dá)式為)(41)(41)(212)(jjeejF)cos(1)(ttf第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 信號(hào)經(jīng)過(guò)信道傳輸后總會(huì)受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號(hào)與窄帶噪聲的混合波形。最常見(jiàn)的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，所以有必要了解合成信號(hào)包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)

45、特性。2正弦波加窄帶高斯過(guò)程第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 式中 為窄帶高斯噪聲，其均值為零，方差為 ；正弦信號(hào)的幅度A和載頻 均為常數(shù)， 是在(0, 2)上均勻分布的隨機(jī)相位。設(shè)合成信號(hào)為（2-93） ttnttntncsccisincos 將 變形，整理成隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位形式，有)(cos)(tntAtric2nc)(tr第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 可以證明，包絡(luò) 服從廣義瑞利分布，又稱萊斯(Rice)分布,其概率密度函數(shù)為（2-94）（2-95）則 的包絡(luò)和相位分別為 tz)(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccscccscc)(tr20,)()(arctan)(0, )()()(22tztztztztztzcssc第2章 信號(hào)分析基礎(chǔ)清華大學(xué)出版社 萊斯分布的概率密度函數(shù)如圖2.18所示。在低信噪比情況下，包絡(luò)近似為瑞利分布；在大信噪比情況下，包絡(luò)近似為高斯分布。即（2-96）（2-97）式中 為窄帶高斯噪聲方差， 為零階修正貝塞爾函數(shù)，即0,221exp)(202222zAzIAzzzfnnn)(2tnDin)(0 xI200cosexp21)(dxxI 相位分布 集中分布在 附近。在低信噪比情況下，近似為均勻分布；大信噪比時(shí)，