隨機信號的分析

1、2.2 隨機信號分析隨機信號分析2.2.1 隨機變量和隨機過程的基本概念隨機變量和隨機過程的基本概念2.2.2 隨機過程的統(tǒng)計特征隨機過程的統(tǒng)計特征2.2.3 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程2.2.4 平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)隨機過程變換隨機過程變換2.2.5 窄帶隨機過程窄帶隨機過程第2章 信號分析基礎清華大學出版社 通信系統(tǒng)中載有信息的有用信號是不可預測的，或者說帶有某種隨機性。干擾信息信號的噪聲更是不可預測的。這些不可預測的信號和噪聲都是隨機過程。在通信系統(tǒng)中，隨機過程是重要的數(shù)學工具，它在信源的統(tǒng)計建模、信源輸出的數(shù)字化、信道特性的描述以及評估通信系統(tǒng)的性能等方面十分重要。

2、第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機事件總是通過一個“量”來描述：隨機事件的不確定性總是表現(xiàn)為在試驗中可能取這個值，也可能取另一個值。通常我們把在隨機試驗中可能取這個值也可能取另一個值的量稱為隨機變量。2.2.1隨機變量和隨機過程的基本概念隨機變量和隨機過程的基本概念1.隨機變量隨機變量第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機變量的例子很多，如電話局每天接到電話的次數(shù)；每次觀測到的接收機輸出噪聲，二進制系統(tǒng)中單位時間內接收到1碼或0碼的個數(shù)。就形式而言，隨機變量可以分為離散型和連續(xù)型兩種。離散型隨機變量只能取有限個數(shù)目的值。 隨機變量常用 ( )、 (Zeta)、 (eta)等希臘字母表示

3、。Ksi第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機變量是與試驗結果有關的隨機取值的量，例如某接收機輸出端的噪聲在某個給定的時刻就是一個隨機變量。若改變時間，測得的噪聲就是另外一個隨機變量。如果連續(xù)不斷的研究接收機的噪聲，則每一次測試都有一個與之對應的隨機變量。于是，測試的結果就不是一個隨機變量，而是一個在時間上不斷出現(xiàn)的隨機變量的集合，或者說是以時間t為參變量的一簇(無窮多個)2.隨機過程隨機過程第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機變量的集合，稱為隨機過程。從這個角度來看，隨機過程是隨機變量這一概念的延伸：隨機過程可看作是在時間進程中處于不同時刻的隨機變量的集合，它在任意時刻的值就是一個隨機

4、變量。 第2章 信號分析基礎清華大學出版社 可見，隨機過程是一類隨時間做隨機變化的過程，它不具有必然的變化規(guī)律，變化的過程不可能用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述。由此給出隨機過程的數(shù)學定義如下：設 是隨機試驗，每一次試驗都有一條時間波形，稱為樣本函數(shù)或實現(xiàn)，記作 ，所有可能出現(xiàn)的結果的總體 就構成一隨機過程，記作 。從這個角度來看，隨機過程就是無窮多個樣本函數(shù)的總體，如圖2.12所示。,.)2 , 1( kSk),(,),(),(21txtxtxn)(txi t第2章 信號分析基礎清華大學出版社圖 2.12 樣本函數(shù)的總體 x1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk第

5、2章 信號分析基礎清華大學出版社 由圖可見，隨機過程有兩個基本特性：其一，隨機過程具有隨機變量和時間函數(shù)的特點。就某一瞬間來看，它是一個隨機變量；就它的一個樣本來看，則是一個時間函數(shù)。其二，在某個時刻 的樣本函數(shù) 取值是隨機的，是一個不含t變化的隨機變量。因此，隨機變量和隨機過程這兩個概念既有聯(lián)系也有區(qū)別，隨機過程在某一個確定時間上的值是一個隨機變量，許許多多個時it)(it第2章 信號分析基礎清華大學出版社 研究隨機變量或隨機過程的關鍵是研究其統(tǒng)計特征，這不僅簡單明了，而且直接反映信號的變化規(guī)律。刻的隨機變量的集合則為隨機過程；隨機變量是一個實數(shù)值的集合，而隨機過程是時間函數(shù)的集合。統(tǒng)計特征

6、概率分布數(shù)字特征概率密度函數(shù)(pdf)分布函數(shù)數(shù)學期望(均值)方差相關函數(shù) 隨機過程的統(tǒng)計特性可以用概率分布函數(shù) 或概率密度函數(shù) 來描述。)(cdf2.2.2隨機過程的統(tǒng)計特征隨機過程的統(tǒng)計特征1.隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)隨機過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù) 設 表示一個隨機過程，它在任意時刻 的取值 就是一個一維隨機變量，其一維分布函數(shù)定義為pdf)(t1t)(1t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 式(2-43)數(shù)學含義為隨機變量 小于或等于某一數(shù)值 的概率。如果 對 的偏導數(shù)存在，即（2-43）（2-44）則稱 為隨機過程 的一維概率密度函數(shù)。 111111,F x tPtx)(1t

7、1x),(111txF1x1111111,F x tfx tx),(111txf)(1t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 注意，一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)在實際應用中由于t1是任取的，所以可以把t1直接寫為t，x1改寫為x。如果隨機過程是平穩(wěn)的，則其一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)還跟時間無關，此時分別簡記為 、 。一維概率密度分布 具有如下性質：)(xF)(xf)(xF第2章 信號分析基礎清華大學出版社21xx （1） 。（2）單調性：若 ，則 。（3）右連續(xù)： 。（4） 。1)(0; 1)(lim; 0)(limxFxFxFxx 21xFxF xFxF0 aFbFbaP第2章 信號分析

8、基礎清華大學出版社 通信工程上常常遇到的一維隨機變量及其概率密度函數(shù)有：一維概率密度函數(shù) 具有如下性質：（3）（1）（2）)(xf0)(xf1)(dxxfbabxaPdxxf)()( 均勻分布的一維概率密度函數(shù)為常數(shù)。若隨機變量在區(qū)間 內呈均勻分布，則其一維 函數(shù)為ba,（1）均勻分布（2-45）pdfabxf1)(第2章 信號分析基礎清華大學出版社 均值為a、方差為 的高斯分布(噪聲)簡記為 ，其一維 函數(shù)為（2）高斯分布(正態(tài)分布)若 ，則稱其為標準正態(tài)分布。（2-46）pdf2),(2aN222exp21)(axxf0a第2章 信號分析基礎清華大學出版社 瑞利分布的一維 函數(shù)為（3）瑞利

9、分布（2-47）求信號在此時刻的統(tǒng)計平均功率和直流電平?！纠?-3】一隨機信號在某個時刻的概率密度函數(shù)為pdf0002exp)(222xxxxxf2exp21)(2xxf第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性或概率分布，并未說明在不同時刻取值之間的內在聯(lián)系，為充分描述隨機過程，需進一步引入二維分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)。 解：（1）由 函數(shù)知，這是一個 、 的標準正態(tài)分布，故其直流電平為 。（2）由于方差 就是信號的交流功率，故信號的平均功率為1(W)。pdf0a120a2第2章 信號分析基礎清華大學出版社 任意給

10、定兩個固定時刻 、 ，則由 和 構成一個二維隨機變量 ，若（2-49）（2-48）存在，則稱之為隨機過程 的二維概率密度函數(shù)。成立，則稱之為隨機過程 的二維分布函數(shù)。 若 1t2t)(1t)(2t)(),(21tt 2121221122,; ,Fx x t tPtxtx)(t212122121212,; ,; ,Fx x t tfx x t txx)(t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 對N個隨機變量 ，若有（2-52）（2-51）（2-50） 同理，任意給定 , 則 的n維分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別定義為 Ntxtxtx,.,2112,.,nttt、)(t 12121122,.; ,.,.

11、,nnnnnnFx xx t ttPtxtxtx1212121212,.; , ,.,.; , ,.,nnnnnnnFx xx t ttfx xx t ttx xx ),(),(),(),;,(2221112121NNNNNNtxftxftxftttxxxf則稱這些隨機變量是統(tǒng)計獨立的或不相關的。 第2章 信號分析基礎清華大學出版社 一般來說，N 越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越充分，但問題的復雜性也隨之增加。在一般實際問題中，掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。（2-53）若對任意的， 的N 維概率密度滿足則稱 為N 階平穩(wěn)隨機過程。 tX t),;,(),;,(21212121NNNNNNtt

12、txxxftttxxxf第2章 信號分析基礎清華大學出版社 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性, 而實際通信過程中，有時不易或不需求出，而用數(shù)字特征(數(shù)學期望、方差、相關函數(shù)、協(xié)方差)來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀方便。 2. 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征第2章 信號分析基礎清華大學出版社 其中 為統(tǒng)計平均算子。隨機過程的數(shù)學期望一般也是時間t的函數(shù)。對平穩(wěn)過程來說，數(shù)學期望與時間t無關，有 （1）數(shù)學期望（2-54）（2-55） 數(shù)學期望又稱為統(tǒng)計平均值或均值，它是隨機變量所有可能的取值與其對應概率之積的和，即dxtxxftEta),()()(dxxx

13、ftEa)()(E第2章 信號分析基礎清華大學出版社 從數(shù)學定義看，數(shù)學期望就是隨機變量的取值依概率加權，這實際就是求平均值的思想。因此，數(shù)學期望表示了過程在各個時刻隨機變量取值分布的中心，或其n個樣本函數(shù)曲線的擺動中心，如圖2.13所示。對隨機信號(一般是平穩(wěn)過程)而言，數(shù)學期望就是其直流分量。（2-56）對離散型隨機變量，則有niiiPxtEta1)()( 圖2.13 數(shù)學期望的含義 第2章 信號分析基礎清華大學出版社隨機過程的數(shù)學期望具有如下性質： 常數(shù)的數(shù)學期望為該常數(shù)： 兩個隨機變量之和的數(shù)學期望： 兩個獨立隨機變量之積的數(shù)學期望：CEC 2121EEE 2121EEE ECCE C

14、ECE第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機過程的方差定義為隨機變量與其數(shù)學期望之差的平方的數(shù)學期望，即 （2）方差（2-57）（2-58） 對平穩(wěn)過程來說，方差也與時間t無關，有dxtxfaxaxEtDt),()()(1222dxxfax)()(22第2章 信號分析基礎清華大學出版社 可見，方差表示了隨機過程在時刻t對于均值對離散型隨機變量，則有（2-59） ta 的偏離程度。對隨機信號(一般是平穩(wěn)過程)而言，方差就是其交流功率。 niiiPaxtD122)(第2章 信號分析基礎清華大學出版社隨機過程的方差具有如下性質： 常數(shù)的方差為0： 常數(shù)加隨機變量的方差： 常數(shù)乘隨機變量的方差： 兩

15、個獨立隨機變量之和(或差)的方差： 0DC DCD DCCD2 2121DDD第2章 信號分析基礎清華大學出版社 式(2-60)中，方差 代表隨機信號的交流功率， 代表其直流功率，均方值 就是隨機信號的平均功率。 方差與數(shù)學期望的關系：（2-60）該式證明如下： 22EED )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD )(D)()(22taE)(2E第2章 信號分析基礎清華大學出版社 數(shù)學期望和方差都只取決于一維概率密度函數(shù)，因此稱為一維數(shù)字特征。為了描述隨機過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的關聯(lián)程度， 還需利用二維數(shù)字特征相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。第2章 信號分析基礎清

16、華大學出版社圖2.14 數(shù)學期望和方差相同的兩個隨機過程第2章 信號分析基礎清華大學出版社（3）相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù) 先來看一個例子。如圖2.14所示， 、 為數(shù)學期望和方差大致相同的兩個隨機過程，但信號結構卻有著明顯的差別： 的樣本隨時間變化較慢，不同瞬間(例如t1和t2)取值有較強的相關性； 的樣本變化較快，不同瞬間的取值之間相關性較弱。因此，數(shù)學期望和方差只描述了隨機過程在單獨一個瞬間的特征，它們并沒有反映隨機過程在不同瞬間的內在聯(lián)系。為了衡量隨機過 )(tX)(tY)(tX)(tY第2章 信號分析基礎清華大學出版社 任意給定兩個時刻 、 ，均值分別為 、 的隨機變量 、 就構成一個二維

17、隨機變量 ，其概率密度函數(shù)記為 。程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關聯(lián)或依賴程度，為此引入相關函數(shù)R(t1, t2)和協(xié)方差函數(shù)B(t1, t2)。1t2t)(1ta)(2ta)(1t)(2t)(),(21tt),;,(21212ttxxf)(1t)(2t 和 的相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)分別定義為第2章 信號分析基礎清華大學出版社（2-61）（2-62）（2-63） 經(jīng)推導，相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)二者之間滿足如下關系:2121212212121,;,)()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()( )( )()( )()(),(dxdxttxxf

18、taxtaxtattatEttB121212( ,)( ,)( ) ( )B t tR t ta t a t=-第2章 信號分析基礎清華大學出版社 若a(t1)=0或a(t2)=0，則B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若 t2t1，并令t2=t1+，則R(t1, t2)可表示為R(t1, t1+)。這說明，相關函數(shù)依賴于起始時刻t1及時間間隔，即相關函數(shù)是t1和的函數(shù)。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一過程的相關程度的， 因此，它們又常分別稱為自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)。第2章 信號分析基礎清華大學出版社 對于兩個或多個隨機過程，可引入互協(xié)方差及互相關函數(shù)。設 和 分

19、別表示兩個隨機過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為 （2-65）（2-64）而互相關函數(shù)定義為)(t)(t)()()()(),(221121tattatEttB)()(),(2121ttEttR第2章 信號分析基礎清華大學出版社 通常用統(tǒng)計獨立、不相關、正交等概念來描述二維隨機變量 的重要關系。所謂統(tǒng)計獨立，是指二維概率密度函數(shù) 和一維概率密度函數(shù) 、 之間滿足（2-66）（2-65）（2-67）且或顯然，正交比不相關更嚴格。與 正交是指相關函數(shù)與協(xié)方差滿足 與 不相關是指相關函數(shù)或協(xié)方差滿足),(),(f)(f)(f)()(),(fffaaR0B0B0aaR第2章 信號分析基礎清華大學出版社 【例2-

20、4】設隨機過程 ，其中 和 是相互獨立的兩個高斯隨機變量，且均值和方差相同，分別為0和 。求pdf（1）隨機過程的均值和方差。（2）自相關函數(shù)。（3）一維 函數(shù)。txtxty0201sincos)(1x2x2第2章 信號分析基礎清華大學出版社（2）（1）解：依題意有 ， 021xExE 22221xExE 0sincos0201txEtxEtyE 20202202220210221022202102212sincossin2sincossin2sincostttxEtxExEtxEtxtxxtxEtyEtyD 0212022010222010212121coscossinsincoscos),

21、(ttttxEttxEtytyEttRy第2章 信號分析基礎清華大學出版社 （3） 和 都是高斯分布， 是 和 的線性組合，也服從高斯分布，且均值為0、方差為 ，故 是一種標準正態(tài)分布，其一維 函數(shù)為pdf1x2x)(ty1x2x2)(ty222exp21)(yyf第2章 信號分析基礎清華大學出版社 所謂嚴平穩(wěn)，是指它的n維概率密度函數(shù)和n維分布函數(shù)不隨時間的推移而變化，其概率分布與時間的起點無關，而只與時間間隔有關。即對任意的整數(shù)n和常數(shù)有2.2.3平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程1.平穩(wěn)過程的基本概念 平穩(wěn)隨機過程有嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)兩種類型。嚴平穩(wěn)又稱狹義平穩(wěn)，寬平穩(wěn)又稱廣義平穩(wěn)。第2章 信號分析基

22、礎清華大學出版社 該定義說明，當取樣點在時間軸上作任意平移時，隨機過程的所有有限維分布函數(shù)是不變的。具體到它的一維分布, 則與時間 t 無關， 而二維分布只與時間間隔有關，即有（2-68）（2-69） 所謂寬平穩(wěn)，是指隨機過程 的均值為常數(shù)，自相關函數(shù)僅是的函數(shù)。 即具有以下簡明的數(shù)字特征：12121212,.; , ,.,.;,.,nnnnnnfx xx t ttfx xx ttt);,(),;,()()(),(2122121211111xxfttxxfxfxftxf)(t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。以后討論的隨機過程除特殊說

23、明外，均假定是平穩(wěn)的，且均指廣義平穩(wěn)隨機過程，簡稱平穩(wěn)過程。（2-70） 很容易推得，一個寬平穩(wěn)過程的方差也是常數(shù)。)()()(,)()(1121RttEttRadxxxftE第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機過程的數(shù)字特征是對隨機過程的所有樣本進行統(tǒng)計平均，在實際中難以實現(xiàn)。平穩(wěn)過程在滿足一定條件下有一個十分有趣而又非常有用的特性，稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”。所謂“各態(tài)歷經(jīng)性”，是指隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)，這樣，隨機過程的數(shù)字特征(均為統(tǒng)計平均)就完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的數(shù)字特征(均為時間平均)來替代。因此，對于具有 2.平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性第2章 信號分析基

24、礎清華大學出版社 采用時間平均計算具有各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)過程的數(shù)字特征時無需知道其概率分布。假設 是平穩(wěn)過程 的任意一個實現(xiàn)，它的時間均值和時間相關函數(shù)分別為各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過程，我們無需(實際中也不可能)獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使“統(tǒng)計平均”化為“時間平均”，使實際測量和計算的問題大為簡化。 tx)(t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 即可以將統(tǒng)計平均轉化為時間平均，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。 （2-71）（2-72）由此定義，如果平穩(wěn)過程依概率使下式成立 2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TT

25、TTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa第2章 信號分析基礎清華大學出版社 根據(jù)各態(tài)歷經(jīng)性，我們只需從一次試驗得到的一個樣本函數(shù) 來確定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征。應該注意，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。判斷一個平穩(wěn)過程是否具有各態(tài)歷經(jīng)性的步驟如下： tx第2章 信號分析基礎清華大學出版社（1）統(tǒng)計平均法求數(shù)字特征（即求數(shù)學期望和自相關函數(shù)，前提是需要知道概率分布）；（2）時間平均法求數(shù)字特征(前提是需要知道數(shù)學表達式）；（3）比較上述結果是否一致。第2章 信號分析基礎

26、清華大學出版社【例2-5】討論隨機過程 的平穩(wěn)性與各態(tài)歷經(jīng)性。式中振幅A和初相均為隨機變量，兩者統(tǒng)計獨立，在(0，2)之間均勻分布。解：因為 tAtXcos 0sinsincoscos2sinsincoscossinsincoscos)()cos()()cos()(2020dtdtAEtEtEAEttEAEtEAEtAEtXEcos2)(2122coscos2)(22coscos2)(22coscos2)()cos()cos()()(),(220222AEdtAEtEAEtEAEtAtAEtXtXEttR第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機過程 具有簡明的數(shù)字特征，其數(shù)學期望是常數(shù)，自相關

27、函數(shù)只與有關，所以是寬平穩(wěn)的。又因為按照時間平均有 tX 顯然，該過程滿足平穩(wěn)性條件，但并不具備各態(tài)歷經(jīng)性。220)(1limTTTdttxTacos2)()(1lim)(222TTTAdttxtxTR第2章 信號分析基礎清華大學出版社 對于平穩(wěn)隨機過程而言， 它的自相關函數(shù)是特別重要的一個數(shù)字特征。其一，平穩(wěn)隨機過程在兩個不同時刻取值的關聯(lián)或依賴程度可通過自相關函數(shù)來描述；其二，自相關函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的功率譜特性有著內在的密切聯(lián)系，它揭示了隨機過程的頻譜特性。3.平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)與功率譜密度第2章 信號分析基礎清華大學出版社 只與時間間隔 有關，且具有以下主要性質： ttER（2-73

28、） 在數(shù)值上等于 的平均功率。即（1）平穩(wěn)隨機過程自相關函數(shù)的性質)(t設 為實平穩(wěn)隨機過程， 則它的自相關函數(shù))0(R)(tStER)()0(2)(R)(t 在數(shù)值上等于的直流功率。即22)()(atER（2-74） 第2章 信號分析基礎清華大學出版社)(t)(t)(R)()( RR)0(R)(R)()0(RR)0(R)(R)(t此式利用時, 與 沒有依賴關系即統(tǒng)是關于 的偶函數(shù)。即是的上界。即 與之差在數(shù)值上等于(交流功率)。即 計獨立，即可得證。 （2-76）的方差（2-75）2)()0( RR（2-77）第2章 信號分析基礎清華大學出版社 隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。

29、我們知道，隨機過程中的任一實現(xiàn)是一個確定的功率型信號。而對于任意的確定功率信號 ，它的功率譜密度由(2-16)式確定。我們可以把 看成是平穩(wěn)過程 中的任一實現(xiàn)，因而每一實現(xiàn)的功率譜密度也可用式(2-16)來表示。由于 是無窮多個實現(xiàn)的集合，哪一個實現(xiàn)出 tf（2）平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度 t tf t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 現(xiàn)是不能預知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應看作是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即 TFPEPTTf2)(lim)()(（2-78） 第2章 信號分析基礎清華大學出版社 雖然上式給出了平穩(wěn)過程 的功率譜密度，但我們很難直接

30、用它來計算功率譜。那么，如何方便地求功率譜呢？我們知道，確知的非周期功率信號的自相關函數(shù)與其譜密度是一對傅氏變換關系。對于平穩(wěn)隨機過程，也有類似的關系，即 tdePRdeRPjj)(21)()()(（2-79） 第2章 信號分析基礎清華大學出版社 因為R(0)表示隨機過程的平均功率，它應等于功率譜密度曲線下的面積。因此， 必然是平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度函數(shù)。所以，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度 與其自相關函數(shù) 是一對傅里葉變換關系。式(2-79)簡記為 R于是有)()(21)0(2tEdPR （2-80） )(P)(P（2-81） )()(PR第2章 信號分析基礎清華大學出版社 以上關系式稱為維納-

31、辛欽關系，在平穩(wěn)隨機過程的理論和應用中是一個非常重要的工具。它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關系式。 實偶性。即 非負性。即 R 根據(jù)上述關系式及自相關函數(shù) 的性質，不難推演功率譜密度 具有如下性質：)(P0)(P)()(PP第2章 信號分析基礎清華大學出版社 【例2-6】某隨機相位余弦信號 ，其中A和 均為常數(shù)， 是在 內均勻分布的隨機變量。求 的自相關函數(shù)、功率譜密度和功率 )cos()(0tAt0)2 , 0()(t解：由例2-5不難推得)(t是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關函數(shù)為02cos2)(AR第2章 信號分析基礎清華大學出版社 平穩(wěn)過程的相關函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，由

32、式(2-79)并且考慮到故平均功率為得功率譜密度為)()(cos000t)()(2)(002AP2)(21)0(2AdPRS第2章 信號分析基礎清華大學出版社 通信過程主要是信號通過系統(tǒng)傳輸?shù)倪^程，顯然我們需要了解隨機信號通過線性系統(tǒng)的情況，包括平穩(wěn)性、統(tǒng)計關系和數(shù)字特征。我們知道，確知信號通過線性系統(tǒng)有時域和頻域兩個方面的特性。那么，平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)后，會產(chǎn)生怎樣的輸出？是否也是平穩(wěn)的？統(tǒng)計特征又是怎樣？下面我們就這些問題進行簡單的討論。2.2.4平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)隨機過程變換隨機過程變換第2章 信號分析基礎清華大學出版社 這里，我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變

33、系統(tǒng)的情況。隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，建立在確知信號通過線性系統(tǒng)原理的基礎之上。由式(2-37)知，線性系統(tǒng)的時域響應 等于輸入信號 與系統(tǒng)的單位沖激響應 的卷積，如果把 看作是輸入隨機過程 的一個樣本，則 可看作是輸出隨機過程 的一個樣本。顯然，輸入過程 的每個樣本與輸出過程 的相應樣本之間都滿足上述關系。這樣，就整個過程而言，便有 tf th tf)(ty)(ti)(ty)(0t)(ti)(0t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 假定輸入 是平穩(wěn)隨機過程， 現(xiàn)在來分析系統(tǒng)的輸出過程 的統(tǒng)計特性。先確定輸出過程的數(shù)學期望、 自相關函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。1. 的數(shù)

34、學期望dthti)()()(0（2-82） )(ti)(0t)(0t由式(2-82)，有dtEhdthEtEii)()()()()(0第2章 信號分析基礎清華大學出版社 式中 是線性系統(tǒng)在 時的頻譜，即系統(tǒng)的直流增益。上式表明，輸出過程的數(shù)學期望等于輸入過程的數(shù)學期望與系統(tǒng)直流增益H(0)的相乘，并且與 無關。考慮到 ，得（2-83）atEtEii)()()0()()(0aHdhatE)0(H0t第2章 信號分析基礎清華大學出版社考慮到 2輸出過程 的自相關函數(shù) )(0t),(0ttR)()()(0tthti)()()(0tthtidudvvhuhvtutEdvvtvhduutuhEttEtt

35、Riiii)()()()()()()()()()(),(000 第2章 信號分析基礎清華大學出版社得 式(2-84)表明，輸出過程的自相關函數(shù)僅是時間間隔 的函數(shù)，與時間 無關，因此，平穩(wěn)隨機過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后輸出仍為平穩(wěn)隨機過程。（2-84）因輸入過程 為平穩(wěn)隨機過程，故有)(ti)()()(vuRvtutEiii)()()()(),(00RdudvvhuhvuRttRi t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 因平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)和功率譜密度函數(shù)是一對傅里葉變換，且輸出過程也為平穩(wěn)過程，故其功率譜密度為 （2-85）令 ，則有3輸出過程 的功率譜密度 )(0t)(0PdvdudevuRvh

36、uhdedudvvhuhvuRdeRPjijij )()()()()()()()(00vu )()()()()()()()(20iijivjuiPHPHHdeRevhdueuhP第2章 信號分析基礎清華大學出版社 由此可見，平穩(wěn)過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后輸出的功率譜密度等于輸入平穩(wěn)過程的功率譜密度與系統(tǒng)幅頻特性的平方之乘積。這樣，當我們要求輸出過程的自相關函數(shù) 時，可以先應用式(2-85)求出功率譜 ，然后計算其傅里葉逆變換，這比直接計算 要簡便得多。)(0R)(0P)(0R第2章 信號分析基礎清華大學出版社 通信工程中分析噪聲傳播和變換時常常遇到的情況是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸

37、出過程也是高斯型的。或者說，高斯過程經(jīng)線性變換后仍是高斯過程。這是高斯過程的一個重要性質。4輸出過程的概率分布 根據(jù)式(2-82)，原理上，在給定輸入過程分布的情況下，總可以確定輸出過程的分布。第2章 信號分析基礎清華大學出版社 【例2-7】如圖2.15(a)所示，雙邊功率譜密度為 的白噪聲 先通過帶通濾波器，再通過積分器。已知帶通濾波器的頻率特性如圖2.15(b)所示，求輸出噪聲 的功率譜密度及平均功率。 值得注意的是，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程比較，輸出高斯過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。這一點從式(2-83)、(2-84)、(2-85)明顯可以看出。HzWn/102/80)(tn)(0

38、tn第2章 信號分析基礎清華大學出版社圖2.15 例2-6用圖 (a) (b) 第2章 信號分析基礎清華大學出版社解：圖2.16 例2-6求解用圖 (a) (b)第2章 信號分析基礎清華大學出版社 帶通濾波器輸出噪聲 是一種窄帶過程，其功率譜如圖2.16(a)所示。輸出噪聲 的功率譜為的平均功率為如圖2.16(b)所示。)(1tn)(0tn其它, 0200100,2)()()(220220ffnfPfHfPi)(0tn)(1022)(112001002001002022000WfndffndffPS第2章 信號分析基礎清華大學出版社 【例2-8】試求雙邊譜密度為 的高斯白噪聲通過理想低通濾波器

39、后的功率譜密度、自相關函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為解：有題意有 ， （ 時） 高斯白噪聲通過線性系統(tǒng)(LPF)后輸出功率譜密度為2/0n0,( )0,j tHK eH其他2)(0nPni0)(KHHHninnKPHP,2)()()(02020第2章 信號分析基礎清華大學出版社 帶限白噪聲的輸出自相關函數(shù) 在 處有最大值，帶限白噪聲的平均功率為 輸出自相關函數(shù)為HHHHHjjnnfnKdenKdePRsin221)(21)(020020002)0(2000HnKnRS)(0nR0第2章 信號分析基礎清華大學出版社 在第1章中，我們介紹了通信系統(tǒng)中的常見噪聲，包括白噪聲、高斯噪聲、高斯

40、白噪聲和窄帶高斯噪聲。對白噪聲，主要分析了它的功率譜密度和自相關函數(shù)；對高斯噪聲，主要分析了它的一維概率密度函數(shù)和一維概率分布函數(shù)。在通信中，常常把加性高斯白噪聲(AWGN)作為噪聲分析模型，它在整個頻率范圍內具有均勻的功率譜且取值服從高斯分布。在接收端，AWGN性質的 經(jīng)過一帶通濾波器，就變成了窄帶高斯噪聲 ，即窄帶過程。2.2.5窄帶隨機過程窄帶隨機過程)(tn)(tni第2章 信號分析基礎清華大學出版社 其頻譜特性及時域波形如圖1.26所示。該窄帶過程(此處記為 )的波形有兩種數(shù)學表示形式。1窄帶隨機過程的統(tǒng)計特性 根據(jù)式(1-33)，窄帶過程 的功率譜密度可表示為 tni其它, 022

41、,2)(0wcwcnIBffBfnfP)(t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 其中 稱為 的隨機包絡函數(shù)， 稱為 的隨機相位函數(shù)。 ttatccos（2-87）（2-86） 一種形式是采用隨機包絡和隨機相位來表示。即 另一種形式是采用同相分量和正交分量來表示。由式(2-86)有 0ta)(ta)(t)(t)(t)(sin)()(cos)(sin)(sin)(cos)(cos)()(tttttttatttatcscccc第2章 信號分析基礎清華大學出版社 在不特別聲明情況下，我們僅討論零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程，其 、 及 、 的統(tǒng)計特征存在以下兩個結論：（2-88）其中 稱為 的同相分量， 稱為

42、 的正交分量。顯然有)(tc)(t)(ts)(t)(sin)()()(cos)()(ttatttatsc)(tc)(ts)(ta)(t第2章 信號分析基礎清華大學出版社 結論一：一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯隨機過程，它的同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯隨機過程，而且均值都為零，方差也相同，且等于的方差。此外，在同一時刻上得到的、是不相關的或統(tǒng)計獨立的。即（2-90）的一維 函數(shù)均為（2-89）pdf 、 、)()()(0)()()(tDtDtDtEtEtEscsc)(t)(tc)(ts222exp21)(xxf第2章 信號分析基礎清華大學出版社 結論二：一個均值為零的平穩(wěn)高斯窄帶過程，其包絡的一

43、維分布是瑞利(Rayleigh)分布，相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，包絡與相位是統(tǒng)計獨立的。即（2-92）（2-91）式中 是隨機包絡 和隨機相位 的聯(lián)合概率密度。20,210,2exp222faaaaf 2222exp2,aafafaf,af)(ta)(t第2章 信號分析基礎清華大學出版社瑞利分布的概率密度函數(shù)如圖2.17所示。圖2.17 瑞利分布的概率密度函數(shù)第2章 信號分析基礎清華大學出版社圖2.18 萊斯分布的概率密度函數(shù)第2章 信號分析基礎清華大學出版社【例2-9】已知正弦波調制信號表達式如下，通過頻域分析求信號包絡。tttfccos)cos(1)(解： ttttfc

44、cc)(cos21)(cos21cos)()()(41)()(41)()(21)(cjcjcjcjcceeeejF第2章 信號分析基礎清華大學出版社 包絡信號應該是解除調制后的部分，上式中令0c，得包絡頻譜 對上式求傅里葉逆變換，即得包絡的時域表達式為)(41)(41)(212)(jjeejF)cos(1)(ttf第2章 信號分析基礎清華大學出版社 信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，所以有必要了解合成信號包絡和相位的統(tǒng)計

45、特性。2正弦波加窄帶高斯過程第2章 信號分析基礎清華大學出版社 式中 為窄帶高斯噪聲，其均值為零，方差為 ；正弦信號的幅度A和載頻 均為常數(shù)， 是在(0, 2)上均勻分布的隨機相位。設合成信號為（2-93） ttnttntncsccisincos 將 變形，整理成隨機包絡和隨機相位形式，有)(cos)(tntAtric2nc)(tr第2章 信號分析基礎清華大學出版社 可以證明，包絡 服從廣義瑞利分布，又稱萊斯(Rice)分布,其概率密度函數(shù)為（2-94）（2-95）則 的包絡和相位分別為 tz)(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccscccscc)(tr20,)()(arctan)(0, )()()(22tztztztztztzcssc第2章 信號分析基礎清華大學出版社 萊斯分布的概率密度函數(shù)如圖2.18所示。在低信噪比情況下，包絡近似為瑞利分布；在大信噪比情況下，包絡近似為高斯分布。即（2-96）（2-97）式中 為窄帶高斯噪聲方差， 為零階修正貝塞爾函數(shù)，即0,221exp)(202222zAzIAzzzfnnn)(2tnDin)(0 xI200cosexp21)(dxxI 相位分布 集中分布在 附近。在低信噪比情況下，近似為均勻分布；大信噪比時，