平面向量的坐標表示使用

1、7.37.3平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示v在平面直角坐標系中，平面內(nèi)的每一點都可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示，這對實數(shù)就是點在平面內(nèi)的坐標；反之，每一對有序?qū)崝?shù)都能確定一個點。在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量是否也能用一對有序?qū)崝?shù)來表示呢？思考v導彈在升空的某一時刻，速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度。如果分別在水平方向和豎直方向取兩個單位向量 e1、e2，導彈的飛行速度用向量 表示，若以點o為起點，作向量 ，過點p(x,y)分別向水平方向、豎直方向作垂線，垂足分別為m和n。（1）分別用單位向量e1、e2表示向量 ，（2）用向量 ， 表示向量 ；（3）用單位向量e1、e2表示向量

2、 。a探究aop omonomonopopv在平面上，建立一個直角坐標系xoy，若設(shè)x軸正方向上的單位向量為 ， y軸正方向上的單位向量為 ，則x軸上的向量總可以表示成 的形式，y軸上的向量總可以表示成 的形式，其中x，y分別是它們的終點在數(shù)軸上的坐標。 iji xjy在平面直角坐標系內(nèi)，起點不在坐標在平面直角坐標系內(nèi)，起點不在坐標原點原點o的向量又如何處理呢的向量又如何處理呢?探索探索:oyx可通過向量的平移，可通過向量的平移，將向量的起點移到坐將向量的起點移到坐標的原點標的原點o處處. oyx解決方案解決方案: :我們將這樣的起點在坐標原點處的向量稱我們將這樣的起點在坐標原點處的向量稱為為

3、位置向量位置向量，平面上任意向量都有與它相，平面上任意向量都有與它相等的位置向量，所以研究向量的性質(zhì)可以等的位置向量，所以研究向量的性質(zhì)可以通過研究其相應(yīng)的位置向量來實現(xiàn)。通過研究其相應(yīng)的位置向量來實現(xiàn)。v對于直角坐標系平面內(nèi)任意向量 ，將它的起點移至原點o，其的終點坐標為p(x,y)。以op為對角線，作矩形ompn，則 ， 分別表示成 與 。由向量加法的平行四邊形法則可知， 即： 事實上， 平面直角坐標系中任一向量都可以唯一地表示成 的形式。 aomoni xjyonom opjyi x opjyi x av我們把 叫做向量 的坐標形式，把 叫做向量 在x軸上的分向量，把 叫做向量 在y軸上

4、的分向量。把有序數(shù)對(x,y)叫做向量 在直角坐標系中的坐標，記作 ，其中x叫做向量 的橫坐標， y叫做向量 的縱坐標， 叫做向量 的坐標表示。aajyi x ai xjya),(ayxaa),(ayxaa4321-1-2-3-2246ij），（ 23poop=3 +2ij注意觀察，發(fā)現(xiàn)一個位置注意觀察，發(fā)現(xiàn)一個位置向量向量,只要它的終點確定了只要它的終點確定了,那這個位置向量也就確定那這個位置向量也就確定了了.位置向量的關(guān)鍵點位置向量的關(guān)鍵點4321-1-2-3-2246ijp向量的坐標表示向量的坐標表示o 點點p（x,y） 一一對應(yīng)一一對應(yīng) op=x +y =(x,y)ij向量向量op (

5、x,y)xy一一對應(yīng)一一對應(yīng) 點的坐標可以表示一個點在坐標平面的位置，向點的坐標可以表示一個點在坐標平面的位置，向量的坐標能否也表示向量在坐標平面的位置呢？量的坐標能否也表示向量在坐標平面的位置呢？( , )ax y理解：向量的坐標意義是向量正交分解時對應(yīng)的有序理解：向量的坐標意義是向量正交分解時對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對，表面是坐標形式，它只是一種記法，實際上實數(shù)對，表面是坐標形式，它只是一種記法，實際上是分解出來的基底的系數(shù)。是分解出來的基底的系數(shù)。 向量的坐標不表示向量的位置，同一向量可以任向量的坐標不表示向量的位置，同一向量可以任意平移，而它的坐標只有一個。意平移，而它的坐標只有一個。2121y

6、yxxba且、向量的坐標表示是一種向量與坐標的對向量的坐標表示是一種向量與坐標的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)意義. .將向量的將向量的起點平移到坐標原點，則平移后向量的終點起點平移到坐標原點，則平移后向量的終點坐標就是向量的坐標坐標就是向量的坐標. .v例題：寫出下列向量的坐標表示：（1）（2）（3） )3, 5(35aji)0 , 5(5bi), 0(cjv怎樣通過坐標確定兩個向量相等呢？思考交流思考交流:2121yyxxba且平面向量的直角坐標運算平面向量可以用坐標表示，向量平面向量可以用坐標表示，向量的運算可以用坐標來運算嗎？的運算可以用坐標來運算嗎？探究：

7、探究： （1）已知）已知a =(x1 , y1), b= (m , n) ， 求求a + b , a b .（2）已知）已知a =(x1 , y1)和實數(shù)和實數(shù) ， 求求 a的坐標的坐標 .如何計算？如何計算？ v設(shè) ， ，則 那么),(11yxa 平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算借助向量的坐標表示，可以把向量的加法、借助向量的坐標表示，可以把向量的加法、減法和數(shù)乘運算轉(zhuǎn)化為坐標之間的代數(shù)運算減法和數(shù)乘運算轉(zhuǎn)化為坐標之間的代數(shù)運算。),(22yxb ),(2121yyxxba),(2121yyxxba兩個向量和與差的坐標分別等于這兩向量相應(yīng)坐標的和與差兩個向量和與差的坐標分別等于這兩向量相

8、應(yīng)坐標的和與差例：已知例：已知 求求),(),(2211yxbyxa，ab),(11yxa),(22yxbxyo解：解：oaobab ),(),(1122yxyx),(1212yyxx 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標 v設(shè) ， 為一實數(shù)，則 那么),(yxc 平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算jyixjyi xc)()()(),(yxc 實數(shù)與向量乘積的坐標等于用這個實數(shù)乘以原來向?qū)崝?shù)與向量乘積的坐標等于用這個實數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)的坐標量的相應(yīng)的坐標v例題：已知 ， ，求 ， ， 。解：)4

9、, 3(a)3, 5( bbababa32 ) 1 , 8()3, 5()4 , 3(ba)7 , 2()3, 5()4 , 3(ba)3, 5(3)4 , 3(232 ba)17, 9()9,15()8 , 6(v設(shè)兩個非零向量 ， ，當 時，x1,y1,x2,y2之間滿足什么關(guān)系？反之，當這個關(guān)系成立時，能否得出 ？),(11yxa 思考交流：思考交流：),(22yxb ba/ba/2121xxyy1221xyxyv向量 ， ，當x是何值時，（1） ；（2） 與 方向相同？解：（1） （2）當x=2時， 與 方向相同。 ) 1 ,(xa ), 4(xb ba/ab; 2014/xxxbaab2211()x iy jx iy j2121()()xx iyyj),(11yxm),(22yxnmnmnomonmn),(1212yyxxmn),(22yxn212212)()(yyxxnm問題解決：問題解決：),(1