向量在幾何的應(yīng)用課件

1、 向量在平面幾何中解題向量在平面幾何中解題的應(yīng)用的應(yīng)用復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知:（1）向量共線的條件）向量共線的條件:ab 與 共線 0, bRba（2）向量垂直的條件：）向量垂直的條件：0, 00bababa（3）兩向量相等的條件：）兩向量相等的條件：, baba且方向相同。0/),(),(12212211yxyxbayxbyxa0),(),(21212211yyxxbayxbyxa21212211,),(),(yyxxbayxbyxa1.應(yīng)用向量知識證明平面幾何有關(guān)定理應(yīng)用向量知識證明平面幾何有關(guān)定理例例1、證明直徑所對的圓周角是直角、證明直徑所對的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知如圖所示，已知

2、 O，AB為直徑，為直徑，C為為 O上任意一點(diǎn)。求證上任意一點(diǎn)。求證ACB=90分析分析：要證要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：設(shè)解：設(shè) 則則 ，由此可得：由此可得：,AO a OCb ,ACa b CB a b AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=900AC CB 思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？.練習(xí)練習(xí):證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和ABDC已知：平行四邊形已知：平行四邊形ABCD求證：求證：222222BDACDACDBCAB分析：因?yàn)?/p>

3、平行四邊形對邊平行且相等，故分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌吰叫星蚁嗟?，故設(shè)設(shè) 其它線段對應(yīng)向量用它們其它線段對應(yīng)向量用它們表示。表示。bADaAB ,ABDC222222ABBCCDDAACBD,AB a AD b 解：設(shè)解：設(shè) ，則，則 ,;BC b DA a AC a b DB a b 2222222()ABBCCDDAab2222ACBDabab222222222222aab baab ba bab 222222ABBCCDDAACBD例例2.2.如圖如圖 ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E,FE,F分別是分別是ADAD、DCDC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BEBE、BFBF分別與分別與ACAC交于交于R R

4、、T T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)ARAR、RTRT、TCTC之間之間的關(guān)系嗎？的關(guān)系嗎？A AB BC CD DE ER RT TF F提示：將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題提示：將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題2.應(yīng)用向量知識證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線應(yīng)用向量知識證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線例例2、已知：如圖、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)FABCDEABCDEH分析一：分析一：設(shè)設(shè)AD與與BE交于交于H，只要證只要證CHAB，即高即高CF與與CH重合，重合，即即CF過點(diǎn)過點(diǎn)H只須證只須證CHAB由此可設(shè)由此可設(shè)aBCbCA pCH 如何證如何證 ？0

5、 ABp利用利用ADBC，BECA，對應(yīng)向量垂直。，對應(yīng)向量垂直。2.應(yīng)用向量知識證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線應(yīng)用向量知識證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線例例2、已知：如圖、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)FABCDEABCDEH()00HABCbpab ap a ()00BHCAa p bb a p b 又0() 0p a p bp a b 0CH BACH BA 設(shè)設(shè)aBCbCA pCH 例例2、已知：如圖、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)HFABCDE分析二：分析二：如圖建立坐標(biāo)系如圖

6、建立坐標(biāo)系，設(shè)設(shè)A(0,a) B(b,0) C(c,0)只要求出點(diǎn)只要求出點(diǎn)H、F的坐標(biāo)，就可求出的坐標(biāo)，就可求出 、 的坐標(biāo)進(jìn)而確定的坐標(biāo)進(jìn)而確定兩向量共線，即三點(diǎn)共線。兩向量共線，即三點(diǎn)共線。CHC F再設(shè)再設(shè)H(0,m) F(x,y),(mbBHCABH 0),)(,(ambcacmbCABHacbm),(),(baacacbcCH由由A、B、F共線；共線；CFAB對應(yīng)向量共線及垂直解得：對應(yīng)向量共線及垂直解得：AFAB/可得可得：0)(ayabx例、已知：如圖例、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)HFABCDEAFAB/可得可得

7、：0)(ayabxABCF 可得：可得：( ,)(, ) 0()() 0b a x c yb x cy aabcaybbcax2222),(2)2,2(222baabbcaabcabbcaCFCHbcabcCF22即即 而而CF、CH有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)C，所以所以C、H、F共線，即共線，即 AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)CHCF/練習(xí)：練習(xí)：如圖已知如圖已知ABC兩邊兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為M、N，在，在BN延長線上取點(diǎn)延長線上取點(diǎn)P，使使NP=BN，在，在CM延長線上取點(diǎn)延長線上取點(diǎn)Q，使使MQ=CM。求證：。求證：P、A、Q三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線ABCNMQP解：設(shè)解：設(shè)bACaA

8、B ,則則aAMbAN21,21由此可得由此可得abNPBN21baMQCM21練習(xí)：練習(xí)：如圖已知如圖已知ABC兩邊兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為M、N，在，在BN延長線上取點(diǎn)延長線上取點(diǎn)P，使使NP=BN，在，在CM延長線上取點(diǎn)延長線上取點(diǎn)Q，使使MQ=CM。求證：。求證：P、A、Q三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線ABCNMQPbaabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即即 故有故有 ，且它們有，且它們有公共點(diǎn)公共點(diǎn)A，所以，所以P、A、Q三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線AQPA /因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篵ACaAB ,應(yīng)用向量知識證明等式、求值應(yīng)用向量知識證明等式、求值例、如圖例、如圖ABCD

9、是正方形是正方形M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，將正方形折起，使點(diǎn)將正方形折起，使點(diǎn)A與與M重合，設(shè)折痕為重合，設(shè)折痕為EF，若正方形面積為若正方形面積為16，求，求AEM的面積的面積ABCDMNEF分析：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)分析：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)E(e,0)M(4,2),N是是AM的中點(diǎn)故的中點(diǎn)故N(2,1) ) 2 , 4 (AMAEANEN=(2,1)-(e,0)=(2-e,1)0) 1 ,2 () 2 , 4 (eENAM解得：解得：e=2.5故故AEM的面積為的面積為5例、如圖例、如圖ABCD是正方形是正方形M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，將正方形折起，將正方形折起， 使點(diǎn)使點(diǎn)A與與M重合，設(shè)折

10、痕為重合，設(shè)折痕為EF，若正方形面積為若正方形面積為64， 求求AEM的面積的面積ABCDMNEF解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)E(e,0)，由正方形面，由正方形面積為積為64，可得邊長為，可得邊長為8，由題意可得，由題意可得M(8,4)，N是是AM的的 中點(diǎn)，故中點(diǎn)，故N(4,2) ) 4 , 8 (AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)0) 2 ,4() 4 , 8 (eENAM解得：解得：e=5 即即AE=51021BMAESAEM練習(xí)、練習(xí)、PQ過過OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mn分析分析:由題意由題意OP=m

11、OA,OQ=nOB, 聯(lián)想線段的定比分點(diǎn)，利聯(lián)想線段的定比分點(diǎn)，利 用向量坐標(biāo)知識進(jìn)行求解用向量坐標(biāo)知識進(jìn)行求解。OABGPQ由由PO=mOA, QO=nOB可知：可知：OBnQOOAmPO, O分分 的比為的比為 ，O分分 的比為的比為PAQB-m -n? ?練習(xí)、練習(xí)、PQ過過OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mnOABGPQOBnQOOAmPO,由此可設(shè)由此可設(shè) 由向量定比由向量定比分點(diǎn)公式，可求分點(diǎn)公式，可求P、Q的坐標(biāo)，而的坐標(biāo)，而G為重心，為重心，其坐標(biāo)也可求出，進(jìn)而由向量其坐標(biāo)也可求出，進(jìn)而由向量 ，得到得到 m n 的關(guān)系。的關(guān)系。),()

12、0 ,(221yxQxPGQPG/練習(xí)、練習(xí)、PQ過過OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mnOABGPQ證：如圖建立坐標(biāo)系，證：如圖建立坐標(biāo)系， 設(shè)設(shè)),(),0 ,(),() 0 ,(221cbBaAyxQxP所以重心所以重心G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為)3,3(cba 由由PO=mOA, QO=nOB可知可知：,POmOAQOnOB 即即O分分 的比為的比為-m，O分分 的比為的比為-n PAQB練習(xí)、練習(xí)、PQ過過OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mnOABGPQ即即O分分 的比為的比為-m，O分分 的的比為比為-n ，求得求得PAQB),()0 ,(ncnbQmaP由向量由