向量在幾何的應(yīng)用課件

1、 向量在平面幾何中解題向量在平面幾何中解題的應(yīng)用的應(yīng)用復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知:（1）向量共線的條件）向量共線的條件:ab 與 共線 0, bRba（2）向量垂直的條件：）向量垂直的條件：0, 00bababa（3）兩向量相等的條件：）兩向量相等的條件：, baba且方向相同。0/),(),(12212211yxyxbayxbyxa0),(),(21212211yyxxbayxbyxa21212211,),(),(yyxxbayxbyxa1.應(yīng)用向量知識(shí)證明平面幾何有關(guān)定理應(yīng)用向量知識(shí)證明平面幾何有關(guān)定理例例1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知如圖所示，已知

2、 O，AB為直徑，為直徑，C為為 O上任意一點(diǎn)。求證上任意一點(diǎn)。求證ACB=90分析分析：要證要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：設(shè)解：設(shè) 則則 ，由此可得：由此可得：,AO a OCb ,ACa b CB a b AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=900AC CB 思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？.練習(xí)練習(xí):證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：平行四邊形已知：平行四邊形ABCD求證：求證：222222BDACDACDBCAB分析：因?yàn)?/p>

3、平行四邊形對(duì)邊平行且相等，故分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè)設(shè) 其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示。表示。bADaAB ,ABDC222222ABBCCDDAACBD,AB a AD b 解：設(shè)解：設(shè) ，則，則 ,;BC b DA a AC a b DB a b 2222222()ABBCCDDAab2222ACBDabab222222222222aab baab ba bab 222222ABBCCDDAACBD例例2.2.如圖如圖 ABCDABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E,FE,F分別是分別是ADAD、DCDC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BEBE、BFBF分別與分別與ACAC交于交于R R

4、、T T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)ARAR、RTRT、TCTC之間之間的關(guān)系嗎？的關(guān)系嗎？A AB BC CD DE ER RT TF F提示：將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題提示：將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題2.應(yīng)用向量知識(shí)證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線應(yīng)用向量知識(shí)證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線例例2、已知：如圖、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)FABCDEABCDEH分析一：分析一：設(shè)設(shè)AD與與BE交于交于H，只要證只要證CHAB，即高即高CF與與CH重合，重合，即即CF過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)H只須證只須證CHAB由此可設(shè)由此可設(shè)aBCbCA pCH 如何證如何證 ？0

5、 ABp利用利用ADBC，BECA，對(duì)應(yīng)向量垂直。，對(duì)應(yīng)向量垂直。2.應(yīng)用向量知識(shí)證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線應(yīng)用向量知識(shí)證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線例例2、已知：如圖、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)FABCDEABCDEH()00HABCbpab ap a ()00BHCAa p bb a p b 又0() 0p a p bp a b 0CH BACH BA 設(shè)設(shè)aBCbCA pCH 例例2、已知：如圖、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)HFABCDE分析二：分析二：如圖建立坐標(biāo)系如圖

6、建立坐標(biāo)系，設(shè)設(shè)A(0,a) B(b,0) C(c,0)只要求出點(diǎn)只要求出點(diǎn)H、F的坐標(biāo)，就可求出的坐標(biāo)，就可求出 、 的坐標(biāo)進(jìn)而確定的坐標(biāo)進(jìn)而確定兩向量共線，即三點(diǎn)共線。兩向量共線，即三點(diǎn)共線。CHC F再設(shè)再設(shè)H(0,m) F(x,y),(mbBHCABH 0),)(,(ambcacmbCABHacbm),(),(baacacbcCH由由A、B、F共線；共線；CFAB對(duì)應(yīng)向量共線及垂直解得：對(duì)應(yīng)向量共線及垂直解得：AFAB/可得可得：0)(ayabx例、已知：如圖例、已知：如圖AD、BE、CF是是ABC三條高三條高求證：求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)HFABCDEAFAB/可得可得

7、：0)(ayabxABCF 可得：可得：( ,)(, ) 0()() 0b a x c yb x cy aabcaybbcax2222),(2)2,2(222baabbcaabcabbcaCFCHbcabcCF22即即 而而CF、CH有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)C，所以所以C、H、F共線，即共線，即 AD、BE、CF交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)CHCF/練習(xí)：練習(xí)：如圖已知如圖已知ABC兩邊兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為M、N，在，在BN延長(zhǎng)線上取點(diǎn)延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使使NP=BN，在，在CM延長(zhǎng)線上取點(diǎn)延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使使MQ=CM。求證：。求證：P、A、Q三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線ABCNMQP解：設(shè)解：設(shè)bACaA

8、B ,則則aAMbAN21,21由此可得由此可得abNPBN21baMQCM21練習(xí)：練習(xí)：如圖已知如圖已知ABC兩邊兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為的中點(diǎn)分別為M、N，在，在BN延長(zhǎng)線上取點(diǎn)延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使使NP=BN，在，在CM延長(zhǎng)線上取點(diǎn)延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使使MQ=CM。求證：。求證：P、A、Q三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線ABCNMQPbaabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即即 故有故有 ，且它們有，且它們有公共點(diǎn)公共點(diǎn)A，所以，所以P、A、Q三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線AQPA /因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篵ACaAB ,應(yīng)用向量知識(shí)證明等式、求值應(yīng)用向量知識(shí)證明等式、求值例、如圖例、如圖ABCD

9、是正方形是正方形M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，將正方形折起，使點(diǎn)將正方形折起，使點(diǎn)A與與M重合，設(shè)折痕為重合，設(shè)折痕為EF，若正方形面積為若正方形面積為16，求，求AEM的面積的面積ABCDMNEF分析：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)分析：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)E(e,0)M(4,2),N是是AM的中點(diǎn)故的中點(diǎn)故N(2,1) ) 2 , 4 (AMAEANEN=(2,1)-(e,0)=(2-e,1)0) 1 ,2 () 2 , 4 (eENAM解得：解得：e=2.5故故AEM的面積為的面積為5例、如圖例、如圖ABCD是正方形是正方形M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，將正方形折起，將正方形折起， 使點(diǎn)使點(diǎn)A與與M重合，設(shè)折

10、痕為重合，設(shè)折痕為EF，若正方形面積為若正方形面積為64， 求求AEM的面積的面積ABCDMNEF解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)解：如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)E(e,0)，由正方形面，由正方形面積為積為64，可得邊長(zhǎng)為，可得邊長(zhǎng)為8，由題意可得，由題意可得M(8,4)，N是是AM的的 中點(diǎn)，故中點(diǎn)，故N(4,2) ) 4 , 8 (AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)0) 2 ,4() 4 , 8 (eENAM解得：解得：e=5 即即AE=51021BMAESAEM練習(xí)、練習(xí)、PQ過(guò)過(guò)OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mn分析分析:由題意由題意OP=m

11、OA,OQ=nOB, 聯(lián)想線段的定比分點(diǎn)，利聯(lián)想線段的定比分點(diǎn)，利 用向量坐標(biāo)知識(shí)進(jìn)行求解用向量坐標(biāo)知識(shí)進(jìn)行求解。OABGPQ由由PO=mOA, QO=nOB可知：可知：OBnQOOAmPO, O分分 的比為的比為 ，O分分 的比為的比為PAQB-m -n? ?練習(xí)、練習(xí)、PQ過(guò)過(guò)OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mnOABGPQOBnQOOAmPO,由此可設(shè)由此可設(shè) 由向量定比由向量定比分點(diǎn)公式，可求分點(diǎn)公式，可求P、Q的坐標(biāo)，而的坐標(biāo)，而G為重心，為重心，其坐標(biāo)也可求出，進(jìn)而由向量其坐標(biāo)也可求出，進(jìn)而由向量 ，得到得到 m n 的關(guān)系。的關(guān)系。),()

12、0 ,(221yxQxPGQPG/練習(xí)、練習(xí)、PQ過(guò)過(guò)OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mnOABGPQ證：如圖建立坐標(biāo)系，證：如圖建立坐標(biāo)系， 設(shè)設(shè)),(),0 ,(),() 0 ,(221cbBaAyxQxP所以重心所以重心G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為)3,3(cba 由由PO=mOA, QO=nOB可知可知：,POmOAQOnOB 即即O分分 的比為的比為-m，O分分 的比為的比為-n PAQB練習(xí)、練習(xí)、PQ過(guò)過(guò)OAB的重心的重心G，且且OP=mOA,OQ=nOB 求證：求證：113mnOABGPQ即即O分分 的比為的比為-m，O分分 的的比為比為-n ，求得求得PAQB),()0 ,(ncnbQmaP由向量由