測(cè)量與地圖學(xué)3

1、第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 3.地圖投影的定義 球面上任一點(diǎn)的位置用地理坐標(biāo)（、）表示，而平面上點(diǎn)的位置用直角坐標(biāo)（x, y）或極坐標(biāo)（r，）表示，所以要將地球球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)移到平面上，必須采用一定的數(shù)學(xué)方法來(lái)確定地理坐標(biāo)與平面坐標(biāo)之間的關(guān)系。 這種在球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱(chēng)為地圖投影。二、地圖投影的基本方法二、地圖投影的基本方法 1.幾何投影（透視投影）：假想地球是一個(gè)透明體，光源位于球心，然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。地圖投影面除平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除位于球心之外，還可以在球面、球外，或無(wú)窮遠(yuǎn)處等

2、。 利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫幾何投影或幾何透視法。這是人們最早用來(lái)解決地球球面和地圖平面矛盾的方法。2.數(shù)學(xué)解析法：隨著科學(xué)的發(fā)展，幾何透視法遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足編制各類(lèi)地圖的需要，出現(xiàn)了解析法。解析法是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學(xué)分析法確定球面與平面點(diǎn)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。 X=f1(、) Y=f2(、) 函數(shù)f1、f2的具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)交點(diǎn)表示到平面上了。 球面上任意一點(diǎn)的位置決定于它的經(jīng)緯度，實(shí)際投影時(shí)是先將一些經(jīng)緯線的交點(diǎn)展繪在平面上，再將相同經(jīng)度的點(diǎn)連成經(jīng)線，相同緯度

3、的點(diǎn)連成緯線，構(gòu)成經(jīng)緯線網(wǎng)。地圖投影的實(shí)質(zhì)是將地球橢球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。經(jīng)緯線網(wǎng)是繪制地圖的“基礎(chǔ)”，是地圖的主要數(shù)學(xué)要素。三、地圖投影的變形三、地圖投影的變形 1.地圖投影變形的概念 由于球面是一個(gè)不可直接展成平面的曲面，無(wú)論采用什么投影，投影后經(jīng)緯網(wǎng)形狀與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀不完全相似。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形，而根據(jù)地理坐標(biāo)展繪在地圖上的各種地面事物也必然發(fā)生了變形。為正確使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生的變形，所以變形問(wèn)題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。 地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積的特點(diǎn)： 1、在同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)

4、差相同的球面網(wǎng)格面積相等 2、在同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯度愈高，網(wǎng)格面積愈小 地球儀上的經(jīng)緯線角度的特點(diǎn)： 在下圖中，只有中央經(jīng)線和各緯線相交成直角，其余的經(jīng)線和緯線均不呈直角相交，而在地球儀上經(jīng)線和緯線處處都呈直角相交，這表明地圖上有角度變形 2.投影變形的相關(guān)概念 （1）變形橢圓 在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點(diǎn)位置外，一般情況下為橢圓， 下面我們用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下。 設(shè)o為球面上一點(diǎn)，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長(zhǎng)度（為1），M(x,y)是微小圓周上一點(diǎn)，圓心曲線方程為： x2+y2=1 A位于以經(jīng)緯線為直角坐標(biāo)軸X、Y的坐標(biāo)系上 ，X、Y為投影后坐標(biāo)軸，A(x，y)是A(x

5、，y)的投影，令經(jīng)線長(zhǎng)度比為m，緯線長(zhǎng)度比為n，則: x/x=m，y/y=n x=x/m，y=y/n (x,y)為圓上一點(diǎn)，將其代入圓的方程，得：x2/ m 2+y2/ n 2=1這是一個(gè)橢圓方程，這就證明了橢球體面上的微小圓，投影后為橢圓。故叫做變形橢圓。 研究投影時(shí)，可借助變形橢圓與微小圓比較，說(shuō)明變形性質(zhì)和數(shù)量。 橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說(shuō)明長(zhǎng)度變形。很明顯的看出長(zhǎng)度變形是隨方向的變化而變化，在長(zhǎng)短半徑方向上有極大和極小長(zhǎng)度比a和b，而長(zhǎng)短半徑方向之間，長(zhǎng)度比，為b 1 經(jīng)線長(zhǎng)度比 1 庫(kù)德（Goode）投影 美地理學(xué)家古德（J.Paul Goode）于1923年提出在整個(gè)制圖區(qū)域主

6、要部分中央都設(shè)置一條中央經(jīng)線，分別進(jìn)行投影，則全圖就分成幾瓣，各瓣沿赤道連接在一起。投影特點(diǎn)： 分瓣、組合投影， 變形減小且均勻 大陸完整，大洋割裂 大洋完整，大陸割裂 常用于編制世界地圖五、高斯五、高斯-克呂格投影克呂格投影 高斯-克呂格投影是一種橫軸等角切橢圓柱投影。它是假設(shè)一個(gè)橢圓柱面與地球橢球體面橫切于某一條經(jīng)線上，按照等角條件將中央經(jīng)線東、西各3或1.5經(jīng)線范圍內(nèi)的經(jīng)緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開(kāi)成平面即成。 投影的特點(diǎn)： 高斯-克呂格投影的中央經(jīng)線和赤道為垂直相交的直線，經(jīng)線為凹向?qū)ΨQ(chēng)于中央經(jīng)線的曲線，緯線為凸向?qū)ΨQ(chēng)于赤道的曲線，經(jīng)緯線成直角相交。 無(wú)角度變形；中央經(jīng)線長(zhǎng)

7、度比等于1，沒(méi)有長(zhǎng)度變形；其余經(jīng)線長(zhǎng)度比均大于1，長(zhǎng)度變形為正；距中央經(jīng)線越遠(yuǎn)，變形越大；最大變形在邊緣經(jīng)線與赤道的交點(diǎn)上，但最大長(zhǎng)度、面積變形分別僅為+0.14和+0.27（6帶），變形極小。 為控制投影變形，高斯-克呂格投影采用6帶、3帶分帶投影的方法 ，我國(guó)1：2.5萬(wàn)-1：50萬(wàn)地形圖均采用6帶投影，1：1萬(wàn)及更大比例尺地形圖采用3帶投影。 6分帶法規(guī)定：從格林威治零度經(jīng)線開(kāi)始，由西向東每隔6為一個(gè)投影帶，全球共分60個(gè)投影帶，分別用阿拉伯?dāng)?shù)字1-60予以標(biāo)記。我國(guó)位于東經(jīng)72-136之間，共包括11個(gè)投影帶（13-23帶）。 3分帶法規(guī)定：從東經(jīng)130起算，每3為一帶，全球共分120

8、帶，（下圖）表示了6分帶與3分帶的中央經(jīng)線與帶號(hào)的關(guān)系 該投影的平面直角坐標(biāo)規(guī)定為：每個(gè)投影帶以中央經(jīng)線為坐標(biāo)縱軸即軸，以赤道為坐標(biāo)橫軸即軸組成平面直角坐標(biāo)系。為避免值出現(xiàn)負(fù)值，將軸西移500km組成新的直角坐標(biāo)系，即在原坐標(biāo)橫值上均加上500km，因我國(guó)位處北半球，值均為正值。60個(gè)投影帶構(gòu)成了60個(gè)相同的平面直角坐標(biāo)系，為區(qū)分之，在地形圖南北的內(nèi)外圖廓間的橫坐標(biāo)注記前，均加注投影帶帶號(hào)。為應(yīng)用方便，在圖上每隔1km、2km或10km繪出中央經(jīng)線和赤道的平行線，即坐標(biāo)縱線或坐標(biāo)橫線，構(gòu)成了地形圖方里網(wǎng)（公里網(wǎng)）。 中國(guó)國(guó)家基本比例尺地形圖中的大中比例尺地形圖采用高斯-克呂格投影： 11萬(wàn)（3

9、分帶） 12.5萬(wàn)、15萬(wàn)、110萬(wàn)、125萬(wàn)、150萬(wàn)。（ 6分帶）百萬(wàn)分一地形圖投影 新編國(guó)際百萬(wàn)分一地圖采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4分帶，北緯84以北和南緯80以南采用等角方位投影。中國(guó)1100萬(wàn)地形圖編繪規(guī)范規(guī)定采用邊緯線與中緯線長(zhǎng)度變形絕對(duì)值相等的雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角割圓錐投影,按緯差4分帶。長(zhǎng)度變形最大值: 0.03% 面積變形最大值: 0.06%雙標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐投影假想圓錐軸和地球橢球體旋轉(zhuǎn)軸重合并套在橢球體上圓錐面與地球橢球體面相割，將經(jīng)緯網(wǎng)投影于圓錐面上展開(kāi)而成。 我國(guó)現(xiàn)編的1:100萬(wàn)地圖系采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線正軸等角圓錐投影雙標(biāo)準(zhǔn)緯線圓錐投影 變形分析：無(wú)角度變形 等變

10、形線和緯線一致,同 一條緯線上的變形處處相等 兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上無(wú)變形 在同一條經(jīng)線上，兩標(biāo)準(zhǔn) 緯線外側(cè)為正變形，之間為 負(fù)變形 同一條緯線上等經(jīng) 差的線段長(zhǎng)度相等，兩條緯 線間的經(jīng)線線段長(zhǎng)度處處相等六、地圖投影判別與選擇六、地圖投影判別與選擇 1、地圖投影的判別 (1)確定投影系統(tǒng) (2)確定投影變形性質(zhì) (3)確定投影形式 2、地圖投影的選擇 地圖投影將直接影響地圖的精度和使用價(jià)值。通常地圖投影對(duì)中小比例尺地圖影響很大，對(duì)于大比例尺地圖，則影響很小。一般國(guó)家基本比例尺地形圖的地圖投影選擇是由國(guó)家測(cè)繪部門(mén)制訂，不允許隨便更改。 地圖投影的選擇主要考慮以下因素：制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置；地圖的用途、出版方式及地圖圖面配置等。 地圖投影選擇的主要依據(jù)是目標(biāo)區(qū)域的地理位置、輪廓形狀、地圖用途。世界地圖常采用正圓柱、偽圓柱和多圓錐三種類(lèi)型。大洲圖和大的國(guó)家