梁的位移與撓曲線近似微分方程

1、9.5 梁的位移與撓曲線近似微分方程梁的位移與撓曲線近似微分方程1.1.基本概念基本概念: :撓曲線方程：撓曲線方程：)(xyy 1、彎曲變形的表示方法：、彎曲變形的表示方法：（1）撓度撓度y y：截面形心在：截面形心在y y方向的位移方向的位移; ;（2）轉(zhuǎn)角）轉(zhuǎn)角: :某橫截面繞某橫截面繞自己的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。自己的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：)(xy由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x方向的方向的位移忽略不計(jì)撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：位移忽略不計(jì)撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：dxdy tanx撓曲線撓曲線yxy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角表明：撓曲線上某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)橫截面的轉(zhuǎn)角。表明：撓曲線上

2、某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)橫截面的轉(zhuǎn)角。2.2.撓曲線的近似微分方程：撓曲線的近似微分方程：推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力時(shí)，得到：z zeieim m1 1忽略剪力對(duì)變形的影響忽略剪力對(duì)變形的影響zeixmx)()(1 由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高階小量，得略去高階小量，得221dxyd 所以所以zeixmdxyd)(22 由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。和撓度。 由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，當(dāng)由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，當(dāng)y y坐標(biāo)向下時(shí)，彎坐標(biāo)向下時(shí)，彎矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，所以撓

3、曲線的矩的符號(hào)與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，所以撓曲線的近似微分方程為：近似微分方程為：zeixmdxyd)(22eiz抗彎剛度撓曲線的近似微分方程為：撓曲線的近似微分方程為：zeixmdxyd)(22積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：cdxxmeidxdyeizz)()(22xmdxydeiz再積分一次得撓度方程為：再積分一次得撓度方程為：dxcdxdxxmyeiz)(9.6 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形積分常數(shù)利用梁的邊界條件及連續(xù)光滑條件來(lái)求得。邊界條件邊界條件：梁橫截面的已知位移條件或約束條件。連續(xù)光滑條件連續(xù)光滑條件：在相鄰梁段的交接處即分段處， 相連兩截面應(yīng)具有相同的轉(zhuǎn)角與

4、撓度。確定積分常數(shù)舉例：邊界條件：連續(xù)條件：0: 00: 0aaxyx0, 00, 012abyxyx右左ccbx, ax21右左cyyc右左右左時(shí)ccccyylx:2/:0lxx:0lxx0ay0by0ayeaqlayb2確定積分常數(shù)舉例：邊界條件：連續(xù)條件：例例1 1 求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的eiei已知。已知。解解: :1 1）由梁的整體平衡分析可得：）由梁的整體平衡分析可得：,0ax),( fya)(flma2 2）寫(xiě)出）寫(xiě)出x x截面的彎矩方程截面的彎矩方程)()()(lxfxlfxm 3 3）列撓曲

5、線近似微分方程并積分）列撓曲線近似微分方程并積分)()(22xlfxmdxydeicxlfeidxdyei2)(21dcxxlfeiy3)(61積分一次積分一次再積分一次再積分一次ba ab bxyxlf fby4 4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)）由位移邊界條件確定積分常數(shù)0, 0 ayx0, 0 ax 3261,21fldflc代入求解代入求解5 5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6 6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度2221)(21flxlfei3236121)(61flxflxlfeiyeiflyyeifllxbb3,2,3max2max 討討 論論積分法

6、求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？積分法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？9.7 9.7 疊加法求梁的變形疊加法求梁的變形 梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等梁在若干個(gè)載荷共同作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。于在各個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計(jì)算彎曲變形的這就是計(jì)算彎曲變形的疊加法疊加法。即疊加法是：即疊加法是：分別求出各載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形，然后把各載荷在同一處引起的變形變形進(jìn)行疊加(代數(shù)疊加)。eiqleiqlyeipleiplybqbqbpbp68233423eiqleiplyyybqbpb8343eiqleiplbqbpb6232由疊加法得：由疊加法得：直接

7、查表：直接查表：例例 已知：懸臂梁受力如已知：懸臂梁受力如圖示，圖示，q q、l、eiei均為已知。均為已知。求求c c截面的撓度截面的撓度y yc c和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角 c c1 1）首先，將梁上的載荷變成）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形有表可查的情形 為了利用梁全長(zhǎng)承受均為了利用梁全長(zhǎng)承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效了不改變?cè)瓉?lái)載荷作用的效果，在果，在ab ab 段還需再加上集段還需再加上集度相同、方向相反的均布載度相同、方向相反的均布載荷。荷。 cycy2cy1cy2by,841eiqlyc,2

8、48128234222leiqleiqllyybbceiqlc631eiqlc4832eiqlyyicic384414213 3）將結(jié)果疊加）將結(jié)果疊加 eiqlicic4873212 2）再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單）再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各自載荷作用的情形，計(jì)算各自c c截截面的撓度和轉(zhuǎn)角。面的撓度和轉(zhuǎn)角。 討討 論論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點(diǎn)？9.8 9.8 梁的剛度條件及提高梁剛度的措施梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1.1.剛度條件剛度條件,maxmax yy解：1）外力分析：2）內(nèi)力分析：(m方程)3）撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程：),(lmr0a)

9、(lmr0bxlmm(x)0lx 0 xlmdxdei022zycx2lmei20z，試校核剛度。例、 已知eiz，m0，l，求a，b，及中點(diǎn)的撓度； 若 zeimly42dcxxl6mei30zy4）確定積分常數(shù)： 000,xayy0d 得： 0ll,xbyy6lmc0所以6lmxl2mei020zx6lmxl6mei030zy zaeilm600 zbeilml305）求a，b。（）（ ） 6）剛度校核：)處0即(0y062020lmxlm3lx 3920maxyeilmyz剛度滿足要求。剛度滿足要求。l)21(6lml)21(6m)2l(ei030zy)(ei16lm)2l(z20y中點(diǎn)

10、的撓度：中點(diǎn)的撓度：2.2.提高梁剛度的措施：提高梁剛度的措施：1 1）選擇合理的截面形狀增大截面慣性矩）選擇合理的截面形狀增大截面慣性矩2 2）改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩?cái)?shù)值）改善結(jié)構(gòu)形式，減小彎矩?cái)?shù)值3 3）采用超靜定結(jié)構(gòu)）采用超靜定結(jié)構(gòu)小小 結(jié)結(jié)基本要求：基本要求：掌握彎曲的概念和實(shí)例，梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖，掌握純彎曲的正應(yīng)力掌握彎曲的概念和實(shí)例，梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖，掌握純彎曲的正應(yīng)力公式，彎矩與撓曲線曲率間的關(guān)系，抗彎剛度，抗彎截面模量，公式，彎矩與撓曲線曲率間的關(guān)系，抗彎剛度，抗彎截面模量，純彎曲理論的推廣，熟練掌握梁按正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算。純彎曲理論的推廣，熟練掌握梁按正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算。掌握矩形截面梁的剪應(yīng)力，工字形截面梁的剪應(yīng)力，梁按剪應(yīng)掌握矩形截面梁的剪應(yīng)力，工字形截面梁的剪應(yīng)力，梁按剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核，提高彎曲強(qiáng)度的措施。力的強(qiáng)度校核，提高彎曲強(qiáng)度的措施。掌握梁的變形和位移，撓度和轉(zhuǎn)角，梁的撓曲線及其近似微分掌握梁的變形和位移，撓度和轉(zhuǎn)角，梁的撓曲線及