東南大學(xué)_高數(shù)(上)_03至10年_期末試卷(附答案)

1、 0310級高等數(shù)學(xué)（A）（上冊）期末試卷2003級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一、單項選擇題（每小題4分，共16分）1設(shè)函數(shù)由方程確定，則（ ）2曲線的漸近線的條數(shù)為（ ）3設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖形為（ ）4微分方程的特解形式為（ ）二、填空題（每小題3分，共18分）12若，其中可導(dǎo)，則3設(shè)若導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)，則的取值范圍是。4若，則的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為.5曲線的拐點是6微分方程的通解為三、計算下列各題（每小題6分，共36分）1 計算積分 2計算積分3. 計算積分 4. 計算積分5. 設(shè)連續(xù)，在處可導(dǎo)，且，求6. 求微分方程的通解4. （8分）求微分方程滿足條

2、件的特解5. （8分）設(shè)平面圖形D由與所確定，試求D繞直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。6. （7分）設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面薄板由曲線C:與軸所圍成，試求其質(zhì)量7. （7分）設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得2004級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一. 填空題（每小題4分，共20分）1函數(shù)的間斷點 是第 類間斷點.2. 已知是的一個原函數(shù),且,則 .3. .4. 設(shè),則 .5. 設(shè)函數(shù),則當(dāng) 時,取得最大值.二. 單項選擇題(每小題4分,共16分)1. 設(shè)當(dāng)時,都是無窮小,則當(dāng)時,下列表達(dá)式中不一定為無窮小的是 (A) (B) (C) (D)2. 曲線的漸近線共有 (A) 1

3、條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條3. 微分方程的一個特解形式為 (A) (B) (C) (D) 4. 下列結(jié)論正確的是 (A) 若,則必有.(B) 若在區(qū)間上可積,則在區(qū)間上可積.(C) 若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對任意常數(shù)都有.(D) 若在區(qū)間上可積,則在內(nèi)必有原函數(shù).三. (每小題7分,共35分)1. 2. 設(shè)函數(shù)是由方程所確定的隱函數(shù),求曲線在點處的切線方程.3. 4. 5. 求初值問題 的解.四.(8分) 在區(qū)間上求一點,使得圖中所示陰影部分繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小. 5. (7分) 設(shè) ,求證 .六.(7分) 設(shè)當(dāng)時,可微函數(shù)滿足條件且,試證: 當(dāng)時,有 成立.七.(7

4、分) 設(shè)在區(qū)間上連續(xù),且,證明在區(qū)間內(nèi)至少存在互異的兩點,使.2005級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ；2曲線的斜漸近線方程是 ；3設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ；4設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，且，則 ；5設(shè)，則 ；6 ； 7曲線相應(yīng)于的一段弧長可用積分 表示； 8已知與分別是微分方程的兩個特解，則常數(shù) ，常數(shù) ；9是曲線以點為拐點的 條件。二計算下列各題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1設(shè)，求2 3 43 （本題滿分9分）設(shè)有拋物線，試確定常數(shù)、的值，使得（1）與直線相切；（2）與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。四（本題共2小題，滿分14

5、分） 1（本題滿分6分）求微分方程的通解。2 （本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件的特解。五（本題滿分7分） 試證：（1）設(shè)，方程在時存在唯一的實根；（2） 當(dāng)時，是無窮小量，且是與等價的無窮小量。六（本題滿分6分）證明不等式：，其中是大于的正整數(shù)。2006級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ； 2曲線在對應(yīng)的點處的切線方程為 ；3函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減；4設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則 ； 5 ；6設(shè)連續(xù)，且，已知,則 ；7已知在任意點處的增量，當(dāng)時，是的高階無窮小，已知，則；8曲線的斜漸近線方程是 ；9若二階線性常系數(shù)齊次微分方程有兩個特

6、解，則該方程為 .二.計算題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分）1計算不定積分 2計算定積分 3計算反常積分 4設(shè) ，求 3 （本題滿分7分）求曲線自到一段弧的長度。 （第3頁）四（本題共2小題，第1小題7分，第2小題9分，滿分16分）1求微分方程的通解。2 求微分方程的特解，使得該特解在原點處與直線相切。5 （本題滿分7分）設(shè)，求積分的最大值。 6 （本題滿分6分）設(shè)函數(shù)在上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得 。2007級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1 ；2設(shè)，則 ；3已知，則 ；4對數(shù)螺線在對應(yīng)的點處的切線方程是 ；5設(shè)是由

7、方程確定的隱函數(shù)，則的單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間是 ；6曲線的拐點坐標(biāo)是，漸進(jìn)線方程是 ；7；8 ； 9二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式為.二.計算下列積分（本題共3小題，每小題7分，滿分21分）10. 11 12。三（13）（本題滿分8分）設(shè)，.（1） 問是否為在內(nèi)的一個原函數(shù)？為什么？（2）求.四（14）（本題滿分7分）設(shè)，求.五（15）（本題滿分6分）求微分方程的通解.六（16）（本題滿分8分）設(shè)、滿足，且，求.七（17）（本題滿分8分） 設(shè)直線與拋物線所圍成的圖形面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為.（1）試確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值.（2）求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞

8、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.八（18）（本題滿分6分）設(shè)，求證：當(dāng)時，.2008級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分36分）1函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 ；2已知，則 ；3曲線的拐點是 ；4曲線的斜漸近線的方程是 ；5二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的特解形式是 ；6設(shè)是常數(shù)，若對，有，則 ；7 ；8設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則 ； 9設(shè)，則 .二.按要求計算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿分30分）10 11. 12 已知的一個原函數(shù)為，求 13設(shè)，求常數(shù)、，使得。14。三（15）（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件，的特解.四（16）（本題滿分7分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上

9、連續(xù)，且恒取正值，若對，在上的積分（平）均值等于與的幾何平均值，試求的表達(dá)式.五（17）（本題滿分7分） 在平面上將連接原點和點的線段（即區(qū)間）作等分，分點記作，過作拋物線的切線，切點為，（1）設(shè)三角形的面積為，求；（2）求極限.六（18）（本題滿分6分）試比較與的大小，并給出證明.（注：若通過比較這兩個數(shù)的近似值確定大小關(guān)系，則不得分）七（19）（本題滿分6分）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，求證： .2009級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷1函數(shù)的定義域是 ，值域是 ；2設(shè)，當(dāng) 時，在處連續(xù)；3曲線的斜漸進(jìn)線的方程是 ；4 ；5函數(shù)的極大值點是 ；6 ； 7設(shè)是由所確定的函數(shù)，則 ；8曲線族（,為任意常

10、數(shù)）所滿足的微分方程是 ； 9 .二.按要求計算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿分30分）10 11. 12 1314。設(shè)，計算.三（15）（本題滿分8分）求微分方程滿足初始條件，的特解.四（16）（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，在內(nèi)恒取正值，且滿足，又由曲線與直線所圍成的圖形的面積為，求函數(shù)的表達(dá)式，并計算圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.五（17）（本題滿分6分） 已知方程在區(qū)間內(nèi)存在兩個互異的實根，試確定常數(shù)的取值范圍.六（18）（本題滿分6分）設(shè)在區(qū)間上非負(fù)、連續(xù)，且滿足,證明：對，有.七（19）（本題滿分6分）設(shè)，在處可導(dǎo)，且，（1）求證：，使得（2）求極限.2010級高等

11、數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷一填空題（本題共9小題，每小題4分，滿分3 6分）1 ；2曲線在點處的切線方程是 ；3曲線的漸近線方程是 ；4若曲線有拐點，則 ；5函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù) ；6設(shè)可導(dǎo)函數(shù)由方程確定，則 ； 7 ；8 ；9微分方程滿足條件的特解是 .二.(本題共4小題，每小題7分,滿分28分)10求極限 . 11求反常積分. 12 求定積分. 13求不定積分 .三(14)（本題滿分7分）設(shè)，分別求與時積分的表達(dá)式.四（15）（本題滿分8分）求由所圍圖形的面積及此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.五（16）（本題滿分7分）求微分方程滿足初值條件，的特解.六（17）（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定

12、，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，已知，求函數(shù).七（18）（本題滿分6分）設(shè)，分別是在上的最大值和最小值，證明：至少存在一點，使得：.答案：特別說明：以下內(nèi)容僅供參考，其實解答題和證明題中，解法很多，并且有些解法比下面提供的參考答案更簡潔。在一些參考答案后，我寫了些說明，有些沒寫。還是希望同學(xué)們自己多動腦筋，多思考，多多地動手、動筆去推導(dǎo)去計算。在復(fù)習(xí)階段，相互間多討論，多交流交流。別的同學(xué)有疑問向你求解釋時，請耐心的解答（大學(xué)時光很寶貴，大學(xué)同學(xué)間的友情也彌足珍貴。每一個人都有困難的時候，說不定什么時候，就換作你自己要尋求別人的幫助。這是我作為過來人的體會）。當(dāng)然，問題確實很繁瑣時，可以建議他直接找我

13、討論。謝謝大家。祝大家復(fù)習(xí)愉快，考試取得各自理想的成績，回家開開心心過大年。2003級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一、單項選擇題（每小題4分，共16分）1 C 3 D 4C二、（每小題3分，共18分） 1； 2 ； 3 ； 4 ，； 5 ； 6三、（每小題6分，共36分）1 ； 2. ； 3. ； 4 ； 5； 6解為。四、所求特解. 五、. 六、.七、 由(在0與之間)知；又因，所以在上存在最大值和最小值，于是,所以，由推廣的積分中值定理知，使得，即Note：還有別的解法。如“變動的觀點”，構(gòu)造函數(shù)，原問題等價于證：，使.2004級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. （每小題4分，共2

14、0分） 10,一；2 ； 3 ； 4 1； 5 。二. 單項選擇題(每小題4分,共16分) 1 A; 3 D; 4C.三. (每小題7分,共35分) 1. 2.(略) 3. 4. 5.四.(8分) 是旋轉(zhuǎn)體的體積最小的點.五.(7分) 提示：設(shè),原不等式等價于, 即等價于。（用函數(shù)單調(diào)性證明）Note：還有別的構(gòu)造函數(shù)的方法，也有其它解法六.(7分) 提示：把所給方程轉(zhuǎn)化為微分方程，求解得；再用函數(shù)的單調(diào)性和定積分的性質(zhì)即可。七.(7分) 提示：記，再用Rolle定理。 Note：也有其它解法2005級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一1；2；3；4；5；6；7；8；9非充分非必要。二 1 2

15、 3 4三 ，。 四1； 2五（1）提示：設(shè)，用零點定理及函數(shù)的單調(diào)性；（2）提示：用夾逼定理。六設(shè)為正整數(shù)，三邊積分得，左邊關(guān)于相加得：，右邊關(guān)于相加得：，所以Note：也可以用數(shù)學(xué)歸納法+中值定理去證2006級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1；2；3；4；5；6；7；8；9。二. 1. 2. 3. 4. 三 四1. 2. 五六證：，由于在上連續(xù)，在上存在最大值和最小值，故，從而,即，由介值定理知至少存在一點，使得Note：還有別的解法。參見03年的第七題。2007級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1； 2； 3 ； 4 ；5 ， ； 6 ， ； 7； 8 ； 9. 二. 10

16、. ； 11； 12。三 (1) 不是在內(nèi)的一個原函數(shù)，因為，在內(nèi)不連續(xù). (2) 四 五六由已知條件知，解出，從而可求出.Note：求積分時，可采取保持一個不動（比如不動），然后讓另一個等價變形（朝著保持不動的那一項方向等價變形）。當(dāng)然還有別的方法，如湊微分等。七(1) 是最小值. (2) 八提示：令，則2008級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1 ； 2； 3； 4； 5；6； 7. ； 8 ； 9. 二. 10.； 11. 12. 13. , , 14. 三 四由題意得，記，則兩端對求導(dǎo)知，解得。五.(1) 設(shè)，則由題意得(2) 六. 設(shè) （或）， 由函數(shù)單調(diào)性可得 Note：也有

17、別的解法，而且解法很多七法1：法2: 對，再用積分的單調(diào)性及絕對值不等式的性質(zhì)放縮。對，再用積分的單調(diào)性及絕對值不等式的性質(zhì)放縮。法3:（函數(shù)的觀點，將是某個函數(shù)在一些定點處的取值,比如令，將分別在和處一階Taylor展開（帶Lagrange余項，即,介于和間），然后在所得兩式中都取，再做相應(yīng)的運算。Note：構(gòu)造函數(shù)的方法也不是唯一的。2009級高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案一. 1，； 2 3 4 ； 5 ；6 ； 7 ； 8 ； 9 .二. 10； 11. ； 12. ； 13. ； 14. 三四，五設(shè), 則，故常數(shù)的取值范圍是：。六令,則,不等式兩邊對積分,得,即七(1) 記，用中值定理(2) 由(1)得，