n隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)PPT課件

1、10),( yxF)(xfy 1. 隱函數(shù)的定義隱函數(shù)的定義一、隱函數(shù)的導數(shù)稱為稱為 隱函數(shù)(implicit function).y = f (x)的形式稱為的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù);13xy 例例),10(sin yxy開普勒方程開普勒方程開普勒開普勒( (J.Kepler) )1571-1630德國數(shù)學家德國數(shù)學家,天文學家天文學家. .的隱函數(shù)客觀存在的隱函數(shù)客觀存在,但無法將但無法將y表達成表達成x的的顯式顯式表表達式.顯化.由二元方程由二元方程 F (x, y) = 0 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù)y = f (x) y關于關于x第1頁/共31頁2

2、. 隱函數(shù)求導法隱函數(shù)求導法隱函數(shù)不易顯化或不能顯化 如何求導3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 相關變化率用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導或微分.第2頁/共31頁例1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的導導數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 第3頁/共31頁y 求隱函數(shù)的導數(shù)時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導,就得到一個含有導數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復合函數(shù),的

3、方程.y是x的函數(shù),第4頁/共31頁5設函數(shù)設函數(shù)y=f (x)由方程由方程所確定所確定,則曲線則曲線y=f (x)在點在點(1,1)處的切線方程是處的切線方程是( ).考研考研(數(shù)學二數(shù)學二) 填空填空, 4分分4ln2yxxy 0 yx解解 將方程兩邊求微分將方程兩邊求微分, 得得yyxxyxxyd4d2dd3 再將點再將點(1,1)代入上方程代入上方程, 得得1dd)1 , 1( xy切線方程為切線方程為)1(11 xy0 yx即即隱函數(shù)第5頁/共31頁例3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設設yyxyx 解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx

4、得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(22231212()40 xyyxyyyy y 得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy第6頁/共31頁7例例.dd, 0sin2122xyyyx求求設設 解解 將方程兩邊求微分將方程兩邊求微分, 得得)0d()sin21(d yyx, 0 , 0dcos21dd yyyx,dcos22dxyy ,cos22ddyxy 22ddxy2)cos(22y xy)cos(2 2)cos(2sin2yy xy .)cos(2sin42yy 用用復合函數(shù)求導法則復合函數(shù)求導法則,注意變量

5、y是x的函數(shù).解得解得第7頁/共31頁8.)()2()(xvxu冪指函數(shù)冪指函數(shù)3. 對數(shù)求導法對數(shù)求導法作為隱函數(shù)求導法的一個簡單應用作為隱函數(shù)求導法的一個簡單應用, (1) 許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù)許多因子相乘除、乘方、開方的函數(shù).,e)4(1)1(23xxxxy 如如對數(shù)求導法,.sinxxy 適用于適用于方法先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), -對數(shù)求導法 然后利用隱函然后利用隱函數(shù)的求導法求出導數(shù)數(shù)的求導法求出導數(shù).介紹介紹第8頁/共31頁例4解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln

6、求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設第9頁/共31頁例5解1.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 第10頁/共31頁11解解2.),0(sinyxxyx 求求設設xxylnsinln yyd1)sinln(cosxxxxyy ).sinln(cossinxxxxxx 等式兩邊取對數(shù)等式兩邊取對數(shù), 得得再將上式兩邊求微分再將上式兩邊求微分,

7、 得得, )d1(sin)dcos(lnxxxxxx vuuvvudd)d( ,dsinlncosxxxxx 于是于是第11頁/共31頁12),0(sin xxyx將將則則xxylnsine xx ln(cos ).sinxx ,elnsinxxy 改寫成改寫成解解3第12頁/共31頁13.,1. 12sinyxxyx 求求設設解解)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy ).12sinln(cos2xxxxxxyy 等式兩邊取對數(shù), 得上式兩邊對x求導, 得3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 相關變化率第13頁/共31

8、頁一般地)0)()()()( xuxuxfxv( )( )fxf x)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf ( ) ( ) ( ) ln ( )( )v x u xv xu xu x 第14頁/共31頁15.,. 2yyxxy 求求設設解解,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 等式兩邊取對數(shù), 得上式兩邊對x求導, 得第15頁/共31頁16二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) )()(tytx 若參數(shù)方程若參數(shù)方程如如 ,22tytx2xt 2ty,42x .21xy (parametric

9、 equation)參數(shù)方程 稱此為由稱此為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù).22 x 消參數(shù)困難或無法消參數(shù)消參數(shù)困難或無法消參數(shù) 如何求導消去參數(shù)消去參數(shù) t.確定確定y與與x間的函數(shù)關系間的函數(shù)關系,所以所以所以所以第16頁/共31頁17)(),(tytx 設設函函數(shù)數(shù) yd,d)()(xtt .ddddddtxtyxy ,)()(中中在方程在方程 tytx . 0)( t 且且都可導,得得兩兩邊邊取取微微分分對對,)(tx ,d)(dttx 所以;d)(1dxtt 得得兩兩邊邊取取微微分分對對,)(ty ,d)(dtty 所以即 xydd,)()(tt 或者參數(shù)方程的求導公式

10、.第17頁/共31頁18例例解解txtyxydddddd ,cos1sintt taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .2)cos1()sin(處的切線方程處的切線方程在在求擺線求擺線 ttayttax,2時時當當 t 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay).22( axy即即),12( ax. ay 所所以以aOxyaaaaa2第18頁/共31頁19解解txtyxydddddd ttttsincos2sincos 4sin4cos24sin4cosdd4 txy211 4sin1,coscos2 ttyttx上對應于上對應于曲線曲線 考研數(shù)學二考研數(shù)學二,

11、 填空填空4分分的點處的的點處的法法線斜率線斜率為為21 故曲線在切故曲線在切線斜率為線斜率為.211 所所以以第19頁/共31頁20,)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx 22ddxy )()(tt )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即xtdd )()(ddttxy xyx ddddtdd第20頁/共31頁21如如: 33ddxy注注求二階導數(shù)不必死套公式求二階導數(shù)不必死套公式, 只要理解其含義只要理解其含義,這樣對求更高階的導數(shù)也容易處理這樣對求更高階的導數(shù)也容易處理. 22ddddxyxtxydddd22 .dddddd

12、22txtxy xtdd 第21頁/共31頁22解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導數(shù)表示的函數(shù)的二階導數(shù)求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ,tant )dd(dddd22xyxxy xtttddd)tan(d ttatsincos3sec22 .sin3sec4tat )cos()tan(3 tattxttdd1d)tan(d 3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 相關變化率星形線星形線aaOxyaa第22頁/共31頁23例例.42sin處處的的法法線線方方程程在在求求曲曲線線 ar解解 將曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)

13、換成將曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)換成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 為參數(shù)為參數(shù) 則曲線的切線斜率為則曲線的切線斜率為xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法線斜率為所以法線斜率為又切點為又切點為 4 4 ,224ax .224ay sin2sincos2cos2aa 故法線方程為故法線方程為axay2222 即即0 yx, 1參數(shù)方程參數(shù)方程 這種將極坐標方程化為參數(shù)方程這種將極坐標方程化為參數(shù)方程,借助借助參數(shù)方程處理問題的方法參數(shù)方程處理問題的方法,在高等數(shù)學中將在高等數(shù)學中將多次遇到多次遇到.第23頁/共31頁24x = x(t)

14、, y = y(t) 為兩可導函數(shù)為兩可導函數(shù)x, y之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為稱為相關變化率解法三步驟相關變化率解法三步驟: :找出相關變量的關系式找出相關變量的關系式對對t 求導求導相關變化率相關變化率求出未知的相關變化率求出未知的相關變化率三、相關變化率相關變化率相關變化率. .0),( yxFtytxdddd和和之間的關系式之間的關系式 代入指定時刻的變量值及已知變化率代入指定時刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)第24頁/共31頁25例例解解500)()(tantht 2sec 0),( hF (1)(2)則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀

15、察員視線),(t tdd 5001 thdd ,/140dd分分米米 th tdd 仰角增加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧度弧度 h 22tan1sec 500, 1tan,500 時時當當h一氣球從離開觀察員500米處離地面鉛直上升,其速率為140米/分. 當氣球高度為500米時, 觀察員視線的仰角增加率是多少?設氣球上升t秒后,其高度為h(t),兩邊對t求導得高度與仰角的關系第25頁/共31頁26水面水面例例橋面高出水面橋面高出水面的速度通過一座橋的速度通過一座橋某人以某人以,2sm解解橋面橋面20mxy222220)()()( tytxtz(1)在此人的正

16、下方有一條小船以在此人的正下方有一條小船以,20msm34的速度在的速度在與橋垂直的方向航行與橋垂直的方向航行,求經(jīng)求經(jīng)5s后后,人與小船相分離的人與小船相分離的速度速度.z對對t求導求導tyytxxtzzdd2dd2dd2 (2), 2dd tx,10 x,3702032010222 z(3),5時時當當 t,320 y).(2126dd5smtzt 設經(jīng)t秒鐘后人行走距離為xm,船航行距離為ym,船與人的距離為zm,.34dd ty3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 相關變化率第26頁/共31頁27設自開始充氣以來的時間設自開始充氣以來的時間t,;34)1(3rV ,)2(求求導

17、導兩兩邊邊對對t秒秒立方厘米立方厘米100dd)3( tV解解體積為在t時刻氣體的半徑為;dd334dd2trrtV 得得),(tVV ),(trr . )(41秒秒厘米厘米 trdd10 r設氣體以設氣體以100立方厘米立方厘米/秒的速度注入球狀秒的速度注入球狀的氣球的氣球, 求在半徑為求在半徑為10厘米時厘米時,氣球半徑增加的速率氣球半徑增加的速率(假定氣體壓力不變假定氣體壓力不變).氣球半徑與體積的關系第27頁/共31頁28四、小結隱函數(shù)求導法則:對數(shù)求導法:對方程兩邊取對數(shù)后, 再將方程兩邊微分.參數(shù)方程求導:將方程兩邊求微分.用公式.相關變化率:通過函數(shù)關系確定兩個變化率之間的關系,解法: 三個步驟.從其