第五章方差分析第一節(jié)

1、田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本原理與步驟方差分析的基本原理與步驟一、線性模型與基本假定一、線性模型與基本假定二、自由度與平方和的分解二、自由度與平方和的分解三、三、f檢驗(yàn)檢驗(yàn)四、多重比較四、多重比較五、單一自由度的正交比較五、單一自由度的正交比較*田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical

2、analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 一、線性模型與基本假定 假設(shè)某單因素試驗(yàn)有k個(gè)處理，n次重復(fù)，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，則共有nk個(gè)觀察值，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和符號(hào)如表5.1。 每個(gè)觀察值可用如下數(shù)學(xué)模型表示：ijiijx田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 方差分析的線性數(shù)學(xué)模型 方差

3、分析的數(shù)學(xué)模型就是指試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)或者說是每個(gè)觀察值的線性組成部分，它是進(jìn)行方差分析的基礎(chǔ)。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 表示為總平均數(shù)、處理效應(yīng)i、試驗(yàn)誤差ij 之和。由ij相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布n（0，2），可知各處理ai(i=1，2，k)所屬總體亦應(yīng)具正態(tài)性，即服從正態(tài)分布n(i,2)。盡管各總體的均數(shù)可以不等或相等，2則必須是相等的。ijiijxijx田間試驗(yàn)與統(tǒng)

4、計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 每個(gè)觀察值實(shí)際上包含兩個(gè)方面的變異：處理間變異和處理內(nèi)變異。四川農(nóng)業(yè)大學(xué)生物統(tǒng)計(jì)課程組 dr. 劉永建.( .)(.) .ijiijiiijxxxxxxxte田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural univer

5、sity all rights reserved 所以，單因素試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型可歸納為：效應(yīng)的可加性（additivity）、分布的正態(tài)性（normality）、方差的同質(zhì)性（homogeneity）。 這也是進(jìn)行其它類型方差分析的前提或基本假定。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 二、平方和與自由度的分解kinjiijekiitxxssxxnss11212)(,)(kinjijtx

6、xss112)(總變異：2211112211221111121()()()()2()()() ()2()()()()(knknijiijiijijkniiijiijiijkknkniiijiijiiijijkiijiixxxxxxxxxxxxxxnxxxxxxxxnxxxx211)knijettssssss田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 1 nkdft總變異：) 1() 1()

7、() 1(1nkkknkknk) 1(, 1nkdfkdfetettdfdfdf田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 自由度和平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式 ttekiitkinjijtssssssnkxxnssnkxxss12211221平方和：ttettdfdfdfkdfnkdf11自由度：eeettttttdfssmsdfssmsdfssms,田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析fiel

8、d experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 三、f檢驗(yàn) 方差分析的一個(gè)基本假定是要求各處理觀測(cè)值總體的方差相等，即 222212k田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved （i=1,2,k）表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的方差。如果

9、所分析的資料滿足這個(gè)方差同質(zhì)性的要求，那么各處理的樣本方差 都是2的無偏估計(jì)（unbiased estimate）量。 (i=1,2,k)是由試驗(yàn)資料中第i個(gè)處理的n個(gè)觀測(cè)值算得的方差。 22212,ksss2is2i田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 顯然，各 的合并方差 （以各處理內(nèi)的自由度n-1為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)）也是2的無偏估計(jì)量，且估計(jì)的精確度更高。很容易推證處理內(nèi)均方ms

10、e就是各 的合并。 2is2es2is2121222222112212()(1)(1)iijiekeekkkekxxssssssssssmsdfk nk ndfdfdfdf sdf sdf ssdfdfdf 田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 其中ssi、dfi（i=1,2,k）分別表示由試驗(yàn)資料中第i個(gè) 處理的n個(gè)觀測(cè)值算得的平方和與自由度。這就是說，處理內(nèi)均方mse是誤差方差的

11、無偏估計(jì)量。 田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 試驗(yàn)中各處理所屬總體的本質(zhì)差異體現(xiàn)在處理效應(yīng) 的差異上。我們把 稱為效應(yīng)方差，它也反映了各處理觀測(cè)值總體平均數(shù)的變異程度，記為 。 22()11iiakki2221iak田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan

12、agricultural university all rights reserved 因?yàn)楦?未知，所以無法求得 的確切值，只能通過試驗(yàn)結(jié)果中各處理均數(shù)的差異去估計(jì)。然而， 并非 的無偏估計(jì)量。 i2()1ixxk22田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 這是因?yàn)樘幚碛^測(cè)值的均數(shù)間的差異實(shí)際上包含了兩方面的內(nèi)容：一是各處理本質(zhì)上的差異即 （或 ）間的差異，二是本身的抽樣誤差。統(tǒng)計(jì)學(xué)

13、上已經(jīng)證明， 是 的無偏估計(jì)量。因而，我們前面所計(jì)算的處理間均方mst實(shí)際上是 的無偏估計(jì)量。ii2()1ixxk22n22n田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 因?yàn)?mse 是2 的無偏估計(jì)量， mst是 的無偏估計(jì)量，所以 為mse的數(shù)學(xué)期望（mathematical expectation）， 為mst的數(shù)學(xué)期望。又因?yàn)樗鼈兪蔷降钠谕担╡xpected value），故又

14、稱期望均方，簡(jiǎn)記為ems（expected mean squares）。 22n222n田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 當(dāng)處理效應(yīng)的方差 =0，亦即各處理觀測(cè)值總體平均數(shù)i（i=1，2，,k）相等時(shí)，處理間均方mst與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差2的估計(jì)值。2田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysisc

15、opyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 方差分析就是通過mst 與mse的比較來推斷 是否為零即 是否相等。統(tǒng)計(jì)學(xué)已證明，在 =0的條件下，服從自由度df1=k-1與df2=k（n-1）的f分布。即 i212(,)12 ,1, (1)tdf dfemsfdfkdfk nms2田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights

16、 reserved 例5.1 有一水稻施肥的盆栽試驗(yàn)，設(shè)置了有一水稻施肥的盆栽試驗(yàn)，設(shè)置了5個(gè)處理：個(gè)處理：a1和和a2分別施用兩種不同工藝流程的氨水，分別施用兩種不同工藝流程的氨水，a3施碳施碳酸氫銨，酸氫銨，a4施尿素，施尿素，a5不施氮肥。每個(gè)處理各不施氮肥。每個(gè)處理各4盆盆（施氮處理的施肥量每盆皆為折合純氮（施氮處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.2克），共克），共有有5420盆，隨機(jī)置于同一盆栽場(chǎng)。其稻谷產(chǎn)量盆，隨機(jī)置于同一盆栽場(chǎng)。其稻谷產(chǎn)量（g/盆）列于盆）列于表表5-2。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analys

17、iscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 計(jì)算各變異來源的平方和和自由度22222252613833.84 5243021402.2tijtcnkssxcc2222221089811412680301.25ittssccn402.2301.2101.0ettssssss120 119tdfnk 15 14tdfk 19415ettdfdfdf田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichua

18、n agricultural university all rights reserved 方差分析表5.2資料的方差分析表田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 四 多重比較(multiple comparison) 最小顯著差數(shù)法 最小顯著極差法 1. 新復(fù)極差法 2. q測(cè)驗(yàn)法 多重比較結(jié)果的表示方法 多重比較方法的選擇田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experi

19、ment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 最小顯著差數(shù)法 最小顯著差數(shù)(least significant difference)法：在f檢驗(yàn)顯著的前提下，計(jì)算顯著水平為 的最小顯著差數(shù) 。若兩個(gè)平均數(shù)差數(shù)的絕對(duì)值大于 ，表明在 水平上顯著，否則在 水平上不顯著。lsdlsd()eijdfxxlsdts2ijexxmssn 平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤 最小顯著差數(shù)田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statisti

20、cal analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 對(duì)于【例51】，各處理的多重比較如表5-4所示。 6.73,15,4eemsdfn226.731.83444ijexxmssn0.050.05(15)2.131 1.84333.9091ijxxlsdts0.010.01(15)2.947 1.84335.4060ijxxlsdts0.05(15)0.01(15)2.131,2.947tt田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical

21、analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 最小顯著極差法 最小顯著極差(least significant range)法：不同平均數(shù)間的比較采用不同的顯著尺度，稱多重極差(multiple range)。常用的有新復(fù)極差法和q測(cè)驗(yàn)法。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 1.

22、 新復(fù)極差法 新復(fù)極差法(new multiple range method)，是d. b. duncan(1955)提出的，故又稱duncan法，還稱ssr (shortest significant ranges)法。xkdfsssrlsre),(nmssex),(kdfessr2. q測(cè)驗(yàn)法xkdfsqlsre),(),(kdfeqnmssex q測(cè)驗(yàn)法（復(fù)極差法）是student-newman-keul基于極差的抽樣分布理論提出的，有時(shí)又稱snk測(cè)驗(yàn)或nk測(cè)驗(yàn)。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopy

23、right 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 對(duì)于【例51】，各處理平均數(shù)多重比較表見表5-5（同表5-4）。前已述及，在表5-5（即表5-4）中，極差4.5、3.0、1.5和3.0的秩次距為2；極差7.0、4.0和4.5的秩次距為3；極差8.5和7.0的秩次距為4；極差11.5的秩次距為5。 田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all ri

24、ghts reserved 6.731.29714exmssn6.73,15,4eemsdfn 查附表5，得dfe=15，k=2,3,4的q 值，進(jìn)而可得lsr，列于表5-6。因?yàn)樘镩g試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 對(duì)于【例51】，各處理平均數(shù)多重比較表同表5-4。 已算出 =1.2971，依dfe=15, k=2，3，4，5，由附表6查臨界ssr0.05(15,k)和ssr0.0

25、1(15,k)值，乘以 =1.2971，求得各最小顯著極差，ssr值與lsr值列于表5-7。 xsxs田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 多重比較結(jié)果的表示方法 三角形法 標(biāo)記字母法田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural univer

26、sity all rights reserved 列梯形表法 此法是將多重比較結(jié)果直接標(biāo)記在平均數(shù)多重比較表上，如表5-4、表5-5所示。由于在多重比較表中各個(gè)平均數(shù)差數(shù)構(gòu)成一個(gè)三角形陣列，故稱為三角形法。此法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)便直觀，缺點(diǎn)是占的篇幅較大。 田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 標(biāo)記字母法 對(duì)于【例51】，根據(jù)表5-4所表示的用ssr法進(jìn)行的多重比較結(jié)果，用字母標(biāo)記如表5-8

27、所示。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 多重比較方法的選擇 三種多重比較方法的檢驗(yàn)尺度有如下關(guān)系：測(cè)驗(yàn)法法法qssrlsd 一個(gè)試驗(yàn)資料，采用哪一種多重比較方法，主要根據(jù)是否定一個(gè)正確的ho和未否定一個(gè)不正確的ho的相對(duì)重要性來決定。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008

28、sichuan agricultural university all rights reserved 五 單一自由度的正交測(cè)驗(yàn)* 【例52】 調(diào)查某地元麥及元麥和蠶豆混種、間種田塊的產(chǎn)量（混、間種者為麥、豆產(chǎn)量合計(jì)），其結(jié)果見表5-9。其中，a1為元麥單種，a2為麥豆混種，a3為2行麥1行豆間種，a4為3行麥1行豆間種。 田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，其

29、中k=4，n=5，按照前面介紹的方法進(jìn)行方差分析（具體計(jì)算過程略），可以得到方差分析表，見表5-10。 田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 對(duì)于【例52】資料，試驗(yàn)者可能對(duì)下述問題感興趣： (1) 單種與混、間種； (2) 混種與間種； (3) 2行麥1行豆間種與3行麥1行豆間種； 相比結(jié)果如何?田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and stat

30、istical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 顯然，用多重比較方法經(jīng)常無法回答或不能很好回答這些問題。如果事先按照一定的原則設(shè)計(jì)好(k-1)個(gè)獨(dú)立的比較，將處理間平方和根據(jù)設(shè)計(jì)要求剖分成有意義的各具一個(gè)自由度的比較項(xiàng)，然后用f測(cè)驗(yàn)。這就是單一自由度的獨(dú)立比較(independent comparison of single degree of freedom)，又稱單個(gè)自由度的正交測(cè)驗(yàn)。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statis

31、tical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 首先將表5-10各處理的產(chǎn)量合計(jì)抄于表5-11，然后寫出各預(yù)定比較的正交系數(shù)ci(orthogonal coefficient)。 田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 正交系數(shù)構(gòu)成規(guī)則： 如果比較的兩個(gè)組包含的處理數(shù)相等，

32、則把系如果比較的兩個(gè)組包含的處理數(shù)相等，則把系數(shù)數(shù)+1分配給一個(gè)組的各處理，把系數(shù)分配給一個(gè)組的各處理，把系數(shù)-1分配給另一組分配給另一組的各處理。的各處理。 如果比較的兩個(gè)組包含的處理數(shù)不相等，則分如果比較的兩個(gè)組包含的處理數(shù)不相等，則分配到第一組的系數(shù)等于第二組的處理數(shù)，而分配到第配到第一組的系數(shù)等于第二組的處理數(shù)，而分配到第二組的系數(shù)等于第一組的處理數(shù)，但符號(hào)相反。二組的系數(shù)等于第一組的處理數(shù)，但符號(hào)相反。 把系數(shù)約簡(jiǎn)成最小的整數(shù)。把系數(shù)約簡(jiǎn)成最小的整數(shù)。 有時(shí)，一個(gè)比較可能是另兩個(gè)比較互作的結(jié)果。有時(shí)，一個(gè)比較可能是另兩個(gè)比較互作的結(jié)果。此時(shí)，這一比較的系數(shù)可用該兩個(gè)比較的相應(yīng)系數(shù)相此時(shí)，這一比較的系數(shù)可用該兩個(gè)比較的相應(yīng)系數(shù)相乘求得。乘求得。田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析田間試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析field experiment and statistical analysiscopyright 2008 sichuan agricultural university all rights reserved 11 122233