2021屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式跟蹤檢測文含解析

1、第三章第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二節(jié)第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第第 3 課時(shí)課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1已知函數(shù) f(x)aexln x1.(1)設(shè) x2 是 f(x)的極值點(diǎn)，求 a，并求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng) a1e時(shí)，f(x)0.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aex1x.由題設(shè)知，f(2)0，所以 a12e2.從而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x，易知 f(2)0.當(dāng) 0 x2 時(shí)，f(x)0；當(dāng) x2 時(shí)，f(x)0.所以 f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增(2)證明：設(shè) g(x)exeln

2、x1，則 g(x)exe1x.當(dāng) 0 x1 時(shí)，g(x)0；當(dāng) x1 時(shí)，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)故當(dāng) x0 時(shí)，g(x)g(1)0.因此，當(dāng) a1e時(shí)，f(x)exeln x10.2已知函數(shù) f(x)ln x2x1，求證：f(x)x12.證明：f(x)ln x2x1.令 g(x)f(x)x12ln x2x1x12(x0)，則 g(x)1x2（x1）2122xx32x（x1）2（x1） （x2x2）2x（x1）2.當(dāng) x1 時(shí)，g(x)0；當(dāng) 0 x1 時(shí)，g(x)0，所以 g(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，即當(dāng) x1 時(shí)，g(x)取得極大

3、值即最大值，故 g(x)g(1)0，即 f(x)x12.3(2019 屆四省八校雙教研聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)axax ln x1(ar，a0)(1)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng) x1 時(shí)，求證：1x11ex1.解：(1)f(x)aa(ln x1)aln x，若 a0，則當(dāng) x(0，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng) x(1，)，f(x)0，所以 f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；若 a0，則當(dāng) x(0，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng) x(1，)，f(x)0，所以 f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增(2)證明：要證1x11ex1，即證xx1ex，令 t1x，t(0，1

4、)，原不等式轉(zhuǎn)化為11tet，兩邊同取以 e 為底的對數(shù)得，ln(1t)t，即證 tln(1t)0，令 g(t)tln(1t)，則 g(t)1t11tt10，故 g(t)在(0，1)上單調(diào)遞減，g(t)0)的圖象在 x1 處的切線方程是(e1)xeye10.(1)求 a，b 的值；(2)若 m0，證明：f(x)mx2x.解：(1)由(e1)xeye10 得該切線的斜率為e1e且 f(1)0，所以 f(1)(1b)1ea0，解得 a1e或 b1，又 f(x)(xb1)exa，所以 f(1)beae1e，若 a1e，則 b2e0 矛盾，若 b1，則 a1.故 a1，b1.(2)證明：證法一：由(1

5、)可知，f(x)(x1)(ex1)，由 m0，可得 xmx2x，令 g(x)(x1)(ex1)x，則 g(x)(x2)ex2，當(dāng) x2 時(shí)，g(x)(x2)ex222 時(shí)，設(shè) h(x)g(x)(x2)ex2，則 h(x)(x3)ex0，故函數(shù) g(x)在(2，)上單調(diào)遞增，又 g(0)0，所以當(dāng) x(，0)時(shí)，g(x)0，函數(shù) g(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，所以 g(x)ming(0)0.所以 g(x)g(0)0，所以(x1)(ex1)xmx2x，故 f(x)mx2x.證法二：由(1)可知 f(x)(x1)(ex1)，由 m0，可得 xmx2x，令 g(x)(x1)(ex1)x，則 g(x)(x2)ex2，令 t(x)g(x)，則 t(x)(x3)ex，當(dāng) x3 時(shí)，t(x)0，g(x)單調(diào)遞減，且 g(x)3 時(shí)， t(x)0， g(x)單調(diào)遞增， 又 g(0)0， 所以當(dāng) x(3， 0)時(shí)， g(x)0，所