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文檔簡介

1、實變函數(shù)綜合訓(xùn)練題(一)(含解答)一、選擇題(單選題)1、下列集合關(guān)系成立的是( A ) (A) (B) (C) (D)2、若是開集,則( B )(A) (B)的內(nèi)部 (C) (D)3、設(shè)是康托集,則( C )(A)是可數(shù)集 (B)是開集 (C) (D)4、設(shè)是中的可測集,是上的簡單函數(shù),則( D )(A)是上的連續(xù)函數(shù) (B)是上的單調(diào)函數(shù)(C)在上一定不可積 (D)是上的可測函數(shù)5、設(shè)是中的可測集,為上的可測函數(shù),若,則( A )(A)在上,不一定恒為零 (B)在上, (C)在上, (D)在上, 二、多項選擇題(每題至少有兩個或兩個以上的正確答案)1、設(shè)是中的無理點全體,則(C、D)(A)

2、是可數(shù)集 (B)是閉集 (C)中的每一點都是聚點 (D)2、若至少有一個內(nèi)點,則( B、D )(A)可以等于零 (B) (C)可能是可數(shù)集 (D)是不可數(shù)集3、設(shè)是可測集,則的特征函數(shù)是 (A、B、C )(A)上的簡單函數(shù) (B)上的可測函數(shù) (C)上的連續(xù)函數(shù) (D)上的連續(xù)函數(shù)4、設(shè)在可測集上可積,則( B、D )(A)和有且僅有一個在上可積 (B)和都在上可積(C)在上不一定可積 (D)在上一定可積5、設(shè)是的單調(diào)函數(shù),則( A、C、D)(A)是的有界變差函數(shù) (B)是的絕對連續(xù)函數(shù)(C)在上幾乎處處連續(xù) (D)在上幾乎處處可導(dǎo)三、填空題(將正確的答案填在橫線上)1、設(shè)為全集,為的兩個子集

3、,則 。2、設(shè),如果滿足,則是 閉 集。3、若開區(qū)間是直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間,則滿足、。4、設(shè)是無限集,則的基數(shù) (其中表示可數(shù)基數(shù))。5、設(shè),為可測集,則。6、設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù),若對任意實數(shù),都有是 可測集 ,則稱是可測集上的可測函數(shù)。7、設(shè)是的內(nèi)點,則。8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列,且,則由黎斯定理可得,存在的子列,使得。9、設(shè)是上的可測函數(shù),則在上的積分不一定存在,且在上 不一定 可積。10、若是上的絕對連續(xù)函數(shù),則一定 是 上的有界變差函數(shù)。四、判斷題(正確的打“”,錯誤的打“”)1、可列(數(shù))個閉集的并集仍為閉集。 ( )2、任何無限集均含有一個可數(shù)子集。 ( )3

4、、設(shè)是可測集,則一定存在型集,使得,且。( )4、設(shè)是零測集,是上的實函數(shù),則不一定是上的可測函數(shù)。( )5、設(shè)是可測集上的非負(fù)可測函數(shù),則必在上可積。 ( )五、簡答題1、簡述無窮多個開集的交集是否必為開集?答:不一定為開集。例如 取上一列開集為,而是閉集,不是開集。2、可測集上的可測函數(shù)與簡單函數(shù)有何關(guān)系?答:簡單函數(shù)是可測函數(shù);可測函數(shù)不一定是簡單函數(shù);可測函數(shù)一定可以表示成一列簡單函數(shù)的極限。3、上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有何關(guān)系?答:單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù);有界變差函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù),但一定可以表示成單調(diào)函數(shù)的和或差。六、計算題1、設(shè),其中是有理數(shù)集,求。解: 因為,所以于,于是2

5、、求。解: 因為而 所以,由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式:證明: (方法1)對任意,有且,即或且所以 或,即。反之,對任意,有或,即或且,所以且,即,綜上所述,。(方法2)。2、設(shè)是中的有理點全體,則是可測集且。證明: 因為是可數(shù)集,則對任意,取開區(qū)間,顯然它們把覆蓋住。于是 。讓得,從而是可測集且。3、證明:上的實值連續(xù)函數(shù)必為上的可測函數(shù)。證明:因為對于任意實數(shù),由連續(xù)函數(shù)的局部保號性易知,是開集,從而是可測集。所以必為上的可測函數(shù)。4、設(shè)是可測集上的可積函數(shù),為的一列可測子集,如果,則。證明:因為且,所以從而由題設(shè) 又在上的可積,且 所以由積分的絕對連續(xù)性得即。5、設(shè)是可測集上

6、的可積函數(shù),為中的一列遞增可測子集,。證明:記,其中顯然在上,且于是由勒貝格控制收斂定理即可的結(jié)論。實變函數(shù)綜合訓(xùn)練題(二)(含解答)一、選擇題(單選題)1、下列集合關(guān)系成立的是( A )(A) (B) (C) (D)2、若是閉集,則( B )(A)的內(nèi)部 (B) (C) (D)3、設(shè)是有理數(shù)集,則( C )(A) (B)是閉集 (C) (D)是不可數(shù)集4、設(shè)為上的連續(xù)函數(shù),為任意實數(shù),則( D )(A)是開集 (B)是開集(C)是閉集 (D)是開集5、 設(shè)是中的可測集,都是上的可測函數(shù),若,則( A )(A)于 (B)在上, (C)在上, (D)在上,二、多項選擇題(每題至少有兩個或兩個以上

7、的正確答案)1、設(shè)是中的有理點全體,則(C、D)(A)是閉集 (B)中的每一點都是內(nèi)點 (C)是可數(shù)集 (D)2、若的外測度為零,則( B、D )(A)一定是可數(shù)集 (B)一定是可測集 (C)不一定是可數(shù)集 (D) 3、設(shè),函數(shù)列為上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,為上幾乎處處有限的可測函數(shù),若,則下列哪些結(jié)論不一定成立(A、B、C、D)(A)存在 (B)在上可積 (C) (D) 4、若在可測集上有積分值,則(A、C )(A)和中至少有一個在上可積 (B)和都在上可積(C)在上也有積分值 (D)在上一定可積5、設(shè)是的絕對連續(xù)函數(shù),則( A、B、C )(A)是上的連續(xù)函數(shù) (B)是上的一致連續(xù)函數(shù)(C

8、)是上的有界變差函數(shù) (D)在上處處可導(dǎo)三、填空題(將正確的答案填在橫線上)1、 設(shè),是兩個集合,則 2、設(shè),如果滿足,則是 開 集。3、設(shè)為直線上的開集,若開區(qū)間滿足和 ,則 必為的 構(gòu)成 區(qū)間。4、設(shè)是偶數(shù)集,則則的基數(shù) (其中表示可數(shù)基數(shù))。5、設(shè),為可數(shù)集,且,則。6、設(shè)是可測集上的可測函數(shù),則對任意實數(shù),(),都有是 可測集 。7、若是可數(shù)集,則。8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列,是上的可測函數(shù),如果,則 不一定成立 。9、設(shè)是上的非負(fù)可測函數(shù),則在上的積分的值 一定存在 。10、若是上的有界變差函數(shù),則必可表示成兩個 遞增函數(shù)的差(或遞減函數(shù)的差) 。四、判斷題(正確的打“”,錯

9、誤的打“”)1、可列(數(shù))個開集的交集仍為開集。 ( )2、任何無限集均都是可數(shù)集。 ( )3、設(shè)是可測集,則一定存在型集,使得,且。( )4、設(shè)是可測集,則是上的可測函數(shù)對任意實數(shù),都有是可測集。 ( )5、設(shè)是可測集上的可測函數(shù),則一定存在。 ( )五、簡答題1、簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集?答:不一定為閉集。例如 取上一列閉集為,而是開集,不是閉集。2、可測集上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系?答:連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù);可測函數(shù)不一定連續(xù);可測函數(shù)在上是“基本上”連續(xù)的。3、上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有何關(guān)系?答:絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù);有界變差函數(shù)不一定是絕對連續(xù)函數(shù)。六、計算

10、題1、設(shè),其中是康托集,求。解:因為,所以于,于是再由積分與積分的關(guān)系得。2、設(shè),求。解:因為,而所以,由控制收斂定理七、證明題1、證明集合等式:證明:(方法1)對任意,有且,即且,所以 且,即。反之,對任意,有且,即且,所以且,即,綜上所述,。(方法2)。2、設(shè),且,則是可測集。證明: 對任意,顯然又(因為),從而所以(因為)所以,即是可測集。3、證明:上的單調(diào)函數(shù)必為上的可測函數(shù)。證明:不妨設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù),對于任意實數(shù),記,由于是單調(diào)遞增函數(shù),顯然是可測集。所以必為上的可測函數(shù)。4、設(shè)是可測集上的可測函數(shù),則在上可積在上可積。證明:必要性:因為在上可積,則和而,所以,即在上可積。充分性:

11、因為,且,則 ,。所以在上可積。5、設(shè)可測集上的非負(fù)可測函數(shù)列,且(), 存在使得,記,則在上勒貝格可積,且。證明:不妨設(shè),由題設(shè)注意到單調(diào)遞減可得,且在上恒有,于是,由勒貝格控制收斂定理得,在上勒貝格可積,且。6、 設(shè),為上幾乎處處有界的可測函數(shù)列,證明:在上的充要條件是。證明:先證。事實上,由對任意,再結(jié)合依測度收斂的定義即可得上面的結(jié)論。下面證明本題的結(jié)論。必要性:因可得,于是,當(dāng)時,有因此,當(dāng)時,并注意到和可得所以。充分性:對任意,由可得 ,從而。實變函數(shù)綜合訓(xùn)練題(三)(含解答)一、選擇題(單選題)1、下列集合關(guān)系成立的是( A ) (A) (B)(C) (D)2、若是孤立點集,則(

12、 B )(A) (B) (C)的內(nèi)部 (D)3、設(shè)是上的無理數(shù)集,則( C )(A)是可數(shù)集 (B)是開集 (C)是不可數(shù)集 (D)4、設(shè)是上的單調(diào)函數(shù),則( D )(A)在上連續(xù) (B)在中的不連續(xù)點有不可數(shù)個(C)在上一定不可積 (D)是上的可測函數(shù)5、設(shè)是中的可測集,為上的可測函數(shù),若,則( A )(A),在上幾乎處處為零 (B)在上, (C)在上, (D) 二、多項選擇題(每題至少有兩個或兩個以上的正確答案)1、設(shè)是上康托集,則(B、C)(A)是可數(shù)集 (B)是閉集 (C)中的每一點都是聚點 (D)2、若至少有一個聚點,則(C、D )(A) (B) (C)可能是可數(shù)集 (D)可能是不可

13、數(shù)集3、設(shè)是不可測集,則的特征函數(shù)是 (C、D )(A)上的簡單函數(shù) (B)上的可測函數(shù) (C)上的連續(xù)函數(shù) (D)上的不可測函數(shù)4、設(shè)在可測集上不可積,則( B、D )(A)和都在上不可積 (B)和至少有一個在上不可積(C)在上可能可積 (D)在上一定不可積5、設(shè)是的有界變差函數(shù),則( A、D)(A)在上幾乎處處連續(xù) (B)是的連續(xù)函數(shù)(C)在上不可導(dǎo) (D)在上幾乎處處可導(dǎo)三、填空題(將正確的答案填在橫線上)1、設(shè)為全集,為的兩個子集,則 2、設(shè),如果滿足,則是 完全 集。3、若開區(qū)間和是直線上開集的兩個不同的構(gòu)成區(qū)間,則。4、設(shè)是無限集,是至多可數(shù)集,則的基數(shù) 。5、設(shè),為可測集,則。6

14、、設(shè)是定義在可測集上的有限實函數(shù),若對任意實數(shù),都有是可測集,則是可測集上的 可測函數(shù) 。7、設(shè)是孤立點集,則。8、設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列,且,則 不一定成立 。9、設(shè)是上的可測函數(shù),則在上的可積的充要條件是在上 勒貝格可積 。10、若是上的有界變差函數(shù)或絕對連續(xù)函數(shù),則上的導(dǎo)數(shù) 幾乎處處存在 。四、判斷題(正確的打“”,錯誤的打“”)1、可列(數(shù))個型集的并集仍為型集。 ( )2、無限集中一定存在具有最大基數(shù)的無限集。 ( )3、設(shè)是可測集,則一定存在開集,使得,且。( )4、設(shè)和都是可測集,是和上的可測函數(shù),則不一定是上的可測函數(shù)。 ( )5、設(shè)是可測集上的可測函數(shù),且存在(可為)

15、,則和至少有在上可積。 ( )五、簡答題1、簡述無窮多個零測集的并集是否必為零測集?答:不一定為零測集。例如 ,顯然為單元素集,為零測集,不是零測集。2、上的可測集與Borel集的關(guān)系?答:Borel集是可測集;可測集不一定是Borel集;可測集一定可以表示成一個Borel集與零測集的差或并。3、可測集上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系?答:可測集上的連續(xù)函數(shù)一定是可測函數(shù);可測集上的可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù);對上的一個可測函數(shù),任取,在可測集中去掉一個測度小于的可測子集后,可使此可測函數(shù)成為連續(xù)函數(shù)。六、計算題1、設(shè),其中是有理數(shù)集,求。解: 因為,所以于,于是2、設(shè),求。解:因為,而所以,由控

16、制收斂定理七、證明題1、證明集合等式:證明: (方法1)對任意,有且,即,且所以 或,即。反之,對任意,有且,即,且,所以且,即,綜上所述,。(方法2)。2、設(shè)是中的無理點全體,則是可測集且。證明: 記是中的有理點全體,由于是可數(shù)集,從而可測,且。又,所以,是可測集且。3、設(shè),證明:是上的可測函數(shù)的充要條件是為可測集。證明:充分性:因為是上的可測函數(shù),則對任意實數(shù),是可測集,特別取,注意到,可得為可測集。必要性:若為可測集,則是上的簡單函數(shù),從而為上的可測函數(shù)。4、設(shè)為可測集上的可測函數(shù)列,若,則在上。證明:對任意,由于所以,即在上。5、設(shè),若是上一列幾乎處處收斂于零的可積函數(shù),且滿足對任意,

17、存在,只要,就有,證明:。證明:由題設(shè)及Egoroff定理得,對題設(shè)中的,存在可測集,在上一致收斂于,從而對題設(shè)中的,存在,當(dāng)時于是,當(dāng)時,并注意到題設(shè)的條件,有。即 。實變函數(shù)綜合訓(xùn)練題(四)(含解答)一、多項選擇題(每題至少有兩個或兩個以上的正確答案)1、設(shè)是中的有理點全體,則(C、D)考核對典型集合掌握的情況(A)是閉集 (B)中的每一點都是內(nèi)點 (C)是可數(shù)集 (D)2、設(shè)是中的無理點全體,則(C、D)(A)是可數(shù)集 (B)是閉集 (C)中的每一點都是聚點 (D)3、若的外測度為零,則( B、D )考核零測集的特點(A)一定是可數(shù)集 (B)一定是可測集 (C)不一定是可數(shù)集 (D) 4

18、、若至少有一個內(nèi)點,則( B、D )考核典型集的外測度可數(shù)性的特點(A)可以等于零 (B) (C)可能是可數(shù)集 (D)是不可數(shù)集5、設(shè),函數(shù)列為上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,為上幾乎處處有限的可測函數(shù),若,則下列哪些結(jié)論不一定成立(A、B、C、D)考核可測函數(shù)與勒貝格積分的簡單綜合(A)存在 (B)在上可積 (C) (D) 6、設(shè)是可測集,則的特征函數(shù)是 (A、B、C )考核特征函數(shù)的特點(A)上的簡單函數(shù)(B)上的可測函數(shù) (C)上的連續(xù)函數(shù)(D)上的連續(xù)函數(shù)7、若在可測集上有積分值,則(A、C )考核勒貝格積分的定義(A)和中至少有一個在上可積 (B)和都在上可積(C)在上也有積分值 (D)

19、在上一定可積8、設(shè)在可測集上可積,則( B、D )考核勒貝格積分的定義(A)和有且僅有一個在上可積 (B)和都在上可積(C)在上不一定可積 (D)在上一定可積9、設(shè)是的絕對連續(xù)函數(shù),則( A、B、C )考核絕對連續(xù)函數(shù)、有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)(A)是上的連續(xù)函數(shù) (B)是上的一致連續(xù)函數(shù)(C)是上的有界變差函數(shù) (D)在上處處可導(dǎo)10、設(shè)是的單調(diào)函數(shù),則( A、C、D)考核絕對連續(xù)函數(shù)、有界變差函數(shù)的基本性質(zhì)(A)是的有界變差函數(shù) (B)是的絕對連續(xù)函數(shù)(C)在上幾乎處處連續(xù) (D)在上幾乎處處可導(dǎo)二、單項選擇題(每題僅有一個正確答案)1設(shè)是中的無理點全體,則是().考核對典型集合掌握的情況(

20、)可數(shù)集 ()有限集 ()不可數(shù)集 ()零測集2下面集合關(guān)系成立的是(). 考核對集合的基本運算掌握的情況() () () ()3若至少有一個內(nèi)點,則有(). 考核對典型集合外測度掌握的情況() () ()() 4設(shè)是開集,則( ).考核開集閉集的基本特征() () () ()5設(shè)是可測集,則的特征函數(shù)是上的(). 考核對集合的特征函數(shù)的認(rèn)識()簡單函數(shù) ()常函數(shù) ()連續(xù)函數(shù)()單調(diào)函數(shù)6設(shè)是有理數(shù)集,,則是上的().考核目標(biāo)同上題()連續(xù)函數(shù)()單調(diào)函數(shù)()簡單函數(shù)()定積分存在的函數(shù)7設(shè)在可測集上勒貝格可積,則(). 考核勒貝格積分的定義()和有且僅有一個在上勒貝格可積;()和都在上勒

21、貝格可積()和都在上不勒貝格可積;()在上不勒貝格可積8設(shè)是上的無理數(shù)集,表示連續(xù)基數(shù),則(). 考核對典型集合基數(shù)和測度掌握的情況() () () ()9設(shè)是上的單調(diào)函數(shù),則是上的(). 考核基本的有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)()連續(xù)函數(shù) ()絕對連續(xù)函數(shù) ()可導(dǎo)函數(shù) ()有界變差函數(shù)10設(shè)在上絕對連續(xù),則在上().考核絕對連續(xù)函數(shù)的關(guān)系的基本性質(zhì)()有界變差 ()可導(dǎo) ()單調(diào) ()連續(xù)可微三、填空題1設(shè),為的兩個子集,則等于 考核集合之間的基本關(guān)系2設(shè),為兩個集合,則 等于 考核目標(biāo)同上3設(shè),如果滿足,則是 閉 集考核開集、閉集的定義4設(shè),如果中的每一點都是內(nèi)點,則是 開 集考核開集、閉

22、集的定義5若開區(qū)間是直線上開集的一個構(gòu)成區(qū)間,則滿足且 考核開集的構(gòu)成區(qū)間的定義和特點6設(shè)是上的開集,若開區(qū)間滿足且,則稱是開集的 構(gòu)成 區(qū)間考核開集的構(gòu)成區(qū)間的定義和特點7設(shè)是無限集,則的基數(shù) 大于或等于 (其中表示可數(shù)基數(shù))考核可數(shù)集的性質(zhì)8設(shè)是偶數(shù)集,則的基數(shù) 等于 (其中表示可數(shù)基數(shù))考核可數(shù)集的性質(zhì)9設(shè),為可測集,則 大于或等于 考核測度的性質(zhì),單調(diào)性和次可加性10設(shè),為可測集,則 小于或等于 考核測度的性質(zhì),次可加性11設(shè)是定義在可測集上的實函數(shù),若對任意實數(shù),都有是 可測集 ,則稱是可測集上的可測函數(shù). 考核可測函數(shù)的定義12設(shè)是可測集上的可測函數(shù),則對任意實數(shù),(),有是 可測

23、 集. 考核可測函數(shù)的基本性質(zhì)13設(shè)是可數(shù)集,則 等于 .考核典型集合的測度和外測度14設(shè)是康托集,則 等于 .考核典型集合的測度和外測度15設(shè)函數(shù)列為可測集上的可測函數(shù)列,且在上依測度收斂于,則存在的子列,使得在上 幾乎處處收斂于 . 考核函數(shù)列收斂與依測度收斂的關(guān)系的記憶,本題是其中的黎斯定理16設(shè),是上的可測函數(shù)列,是上的實函數(shù),若在上幾乎處處收斂于,則在上 依測度 收斂于.考核函數(shù)列收斂與依測度收斂的關(guān)系的記憶,本題是其中的勒貝格定理 17設(shè)在上黎曼可積,則在上勒貝格可積,且它們的積分值 相等 考核黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系18設(shè),都在上勒貝格可積,且?guī)缀跆幪幭嗟?則它們在上勒貝格積分

24、值 相等 考核勒貝格積分的基本性質(zhì)19若是上的絕對連續(xù)函數(shù),則 是 上的有界變差函數(shù)考核有界變差函數(shù)和絕對連續(xù)函數(shù)的關(guān)系20若是上的有界變差函數(shù),則可以表示成兩個單調(diào)函數(shù)的 和或差 考核有界變差函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的關(guān)系,即約當(dāng)分解定理四、判斷說明題(注意這類題不僅要求判斷對還是不對,而且還要簡單的說明理由)1無限個閉集的并集仍為閉集考核開集、閉集的性質(zhì)答:不對,因為閉集只對有限的并集運算封閉。2無限個開集的交集仍為開集考核開集、閉集的性質(zhì)答:不對,因為開集只對有限的交集運算封閉。3無限集均含有一個可數(shù)子集考核可數(shù)集的性質(zhì)答:對,因為這是可數(shù)集與無限集的關(guān)系。4無限集都是可數(shù)集考核無限集的分類答:不

25、對,因為無限集還包括不可數(shù)集。5設(shè)是可測集,則一定存在型集,使得,且考核可測集與型集或型集的關(guān)系答:對,因為這是可測集與型集的關(guān)系。6設(shè)是可測集,則一定存在型集,使得,且考核可測集與型集或型集的關(guān)系答:對,因為這是可數(shù)集與型集的關(guān)系。7設(shè)是測度為零的集,是上的實函數(shù),則不一定是上的可測函數(shù)考核可測函數(shù)的基本性質(zhì)答:不對,因為零測集上的任何實函數(shù)都是可測函數(shù)。8設(shè)是可測集,是上幾乎處處為零的實函數(shù),則在上可測考核可測函數(shù)的基本性質(zhì)答:對,因為常函數(shù)0是可測函數(shù),由可測函數(shù)的性質(zhì)可得在上可測。9設(shè)是可測集上的非負(fù)可測函數(shù),則必在上勒貝格可積考核勒貝格積分的定義答:不對,因為可測集上的非負(fù)可測函數(shù)只

26、能保證有勒貝格積分,不一定能保證勒貝格可積。10設(shè)是可測集上的可測函數(shù),則一定存在考核勒貝格積分的定義答:不對,因為可測集上的可測函數(shù),不一定能定義勒貝格積分,因此不一定能保證存在。五、簡答題(此類題關(guān)鍵是要把要點答出來)1簡述無窮多個開集的交集是否必為開集?考核開集、閉集的運算性質(zhì)要點:首先,回答結(jié)論:不一定為開集其次,舉出交集為開集的例子和交集不是開集的例子。2簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集?考核開集、閉集的運算性質(zhì)要點:首先,回答結(jié)論:不一定為閉集其次,舉出并集為閉集的例子和并集不是閉集的例子。3可測集上的可測函數(shù)與簡單函數(shù)有何關(guān)系?考核可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系要點:1、簡單函數(shù)是可

27、測函數(shù);2、可測函數(shù)不一定是簡單函數(shù);3、可測函數(shù)一定可表示成一列簡單函數(shù)的極限。4可測集上的可測函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有何關(guān)系?考核可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關(guān)系要點:1、連續(xù)函數(shù)是可測函數(shù);2、可測函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù);3、對任意,在中去掉一個測度小于的可測集后,可測函數(shù)能成為連續(xù)函數(shù)(魯津定理)。5上的有界變差函數(shù)與單調(diào)函數(shù)有何關(guān)系?考核單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)的關(guān)系要點:1、單調(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù);2、有界變差函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù);3、有界變差函數(shù)能分解成兩個單調(diào)函數(shù)的和或差。6上的絕對連續(xù)函數(shù)與有界變差函數(shù)有何關(guān)系?考核有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)的關(guān)系要點:1、絕對連續(xù)函數(shù)是有界變差函數(shù);2、有界變差函數(shù)不一定是絕對連續(xù)函數(shù)。六、計算題(注意這類題要寫出主要步驟)1設(shè),其中是有理數(shù)集,求考核簡單的勒貝格

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